MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcprecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcprecl 16815
Description: Closure of the prime power pre-function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pclem.1 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
pclem.2 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
pcprecl ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem pcprecl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pclem.2 . . 3 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
2 pclem.1 . . . . 5 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
32pclem 16814 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
4 suprzcl2 12960 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
53, 4syl 17 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
61, 5eqeltrid 2833 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆𝐴)
7 oveq2 7434 . . . 4 (𝑥 = 𝑆 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑆))
87breq1d 5162 . . 3 (𝑥 = 𝑆 → ((𝑃𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃𝑆) ∥ 𝑁))
9 oveq2 7434 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑥 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑥))
109breq1d 5162 . . . . 5 (𝑛 = 𝑥 → ((𝑃𝑛) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃𝑥) ∥ 𝑁))
1110cbvrabv 3441 . . . 4 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ 𝑁}
122, 11eqtri 2756 . . 3 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ 𝑁}
138, 12elrab2 3687 . 2 (𝑆𝐴 ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑁))
146, 13sylib 217 1 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3430  wss 3949  c0 4326   class class class wbr 5152  cfv 6553  (class class class)co 7426  supcsup 9471  cr 11145  0cc0 11146   < clt 11286  cle 11287  2c2 12305  0cn0 12510  cz 12596  cuz 12860  cexp 14066  cdvds 16238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239
This theorem is referenced by:  pcprendvds  16816  pcprendvds2  16817  pcpre1  16818  pcpremul  16819  pceulem  16821  pczpre  16823  pczcl  16824  pczdvds  16839
  Copyright terms: Public domain W3C validator