Theorem pcprecl 16761

Description: Closure of the prime power pre-function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclem.1	⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
pclem.2	⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
pcprecl	⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem pcprecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pclem.2	. . 3 ⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
2		pclem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
3	2	pclem 16760	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))
4		suprzcl2 12846	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
6	1, 5	eqeltrid 2837	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
7		oveq2 7363	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝑃↑𝑥) = (𝑃↑𝑆))
8	7	breq1d 5105	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → ((𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))
9		oveq2 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑𝑥))
10	9	breq1d 5105	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
11	10	cbvrabv 3407	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}
12	2, 11	eqtri 2756	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}
13	8, 12	elrab2 3647	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))
14	6, 13	sylib 218	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  {crab 3397   ⊆ wss 3899  ∅c0 4284   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  supcsup 9334  ℝcr 11015  0cc0 11016   < clt 11156   ≤ cle 11157  2c2 12190  ℕ₀cn0 12391  ℤcz 12478  ℤ_≥cuz 12742  ↑cexp 13978   ∥ cdvds 16173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-rp 12901  df-fl 13706  df-seq 13919  df-exp 13979  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-dvds 16174

This theorem is referenced by:  pcprendvds  16762  pcprendvds2  16763  pcpre1  16764  pcpremul  16765  pceulem  16767  pczpre  16769  pczcl  16770  pczdvds  16785