Theorem symgfixelq 19041

Description: A permutation of a set fixing an element of the set. (Contributed by AV, 4-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgfixf.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}

Assertion

Ref	Expression
symgfixelq	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝑄 ↔ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝐹(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑉(𝑞)

Proof of Theorem symgfixelq

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6773	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝐾) = (𝐹‘𝐾))
2	1	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝐹‘𝐾) = 𝐾))
3		symgfixf.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
4		fveq1 6773	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑓 → (𝑞‘𝐾) = (𝑓‘𝐾))
5	4	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑓 → ((𝑞‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑓‘𝐾) = 𝐾))
6	5	cbvrabv 3426	. . . 4 ⊢ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} = {𝑓 ∈ 𝑃 ∣ (𝑓‘𝐾) = 𝐾}
7	3, 6	eqtri 2766	. . 3 ⊢ 𝑄 = {𝑓 ∈ 𝑃 ∣ (𝑓‘𝐾) = 𝐾}
8	2, 7	elrab2 3627	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾))
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
10		symgfixf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
11	9, 10	elsymgbas2 18980	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝑃 ↔ 𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁))
12	11	anbi1d 630	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾) ↔ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)))
13	8, 12	bitrid 282	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝑄 ↔ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  SymGrpcsymg 18974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-tset 16981  df-efmnd 18508  df-symg 18975

This theorem is referenced by:  symgfixelsi  19043  symgfixf1  19045  symgfixfolem1  19046