Theorem symgfixelq 19303

Description: A permutation of a set fixing an element of the set. (Contributed by AV, 4-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgfixf.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}

Assertion

Ref	Expression
symgfixelq	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝑄 ↔ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝐹(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑉(𝑞)

Proof of Theorem symgfixelq

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6890	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝐾) = (𝐹‘𝐾))
2	1	eqeq1d 2734	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝐹‘𝐾) = 𝐾))
3		symgfixf.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
4		fveq1 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑓 → (𝑞‘𝐾) = (𝑓‘𝐾))
5	4	eqeq1d 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑓 → ((𝑞‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑓‘𝐾) = 𝐾))
6	5	cbvrabv 3442	. . . 4 ⊢ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} = {𝑓 ∈ 𝑃 ∣ (𝑓‘𝐾) = 𝐾}
7	3, 6	eqtri 2760	. . 3 ⊢ 𝑄 = {𝑓 ∈ 𝑃 ∣ (𝑓‘𝐾) = 𝐾}
8	2, 7	elrab2 3686	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾))
9		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
10		symgfixf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
11	9, 10	elsymgbas2 19242	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝑃 ↔ 𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁))
12	11	anbi1d 630	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾) ↔ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)))
13	8, 12	bitrid 282	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝑄 ↔ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  Basecbs 17146  SymGrpcsymg 19236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-tset 17218  df-efmnd 18752  df-symg 19237

This theorem is referenced by:  symgfixelsi  19305  symgfixf1  19307  symgfixfolem1  19308