Theorem symgfixelq 19395

Description: A permutation of a set fixing an element of the set. (Contributed by AV, 4-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgfixf.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}

Assertion

Ref	Expression
symgfixelq	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝑄 ↔ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝐹(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑉(𝑞)

Proof of Theorem symgfixelq

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6901	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝐾) = (𝐹‘𝐾))
2	1	eqeq1d 2730	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝐹‘𝐾) = 𝐾))
3		symgfixf.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
4		fveq1 6901	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑓 → (𝑞‘𝐾) = (𝑓‘𝐾))
5	4	eqeq1d 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑓 → ((𝑞‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑓‘𝐾) = 𝐾))
6	5	cbvrabv 3441	. . . 4 ⊢ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} = {𝑓 ∈ 𝑃 ∣ (𝑓‘𝐾) = 𝐾}
7	3, 6	eqtri 2756	. . 3 ⊢ 𝑄 = {𝑓 ∈ 𝑃 ∣ (𝑓‘𝐾) = 𝐾}
8	2, 7	elrab2 3687	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾))
9		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
10		symgfixf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
11	9, 10	elsymgbas2 19334	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝑃 ↔ 𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁))
12	11	anbi1d 629	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾) ↔ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)))
13	8, 12	bitrid 282	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝑄 ↔ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430  –1-1-onto→wf1o 6552  ‘cfv 6553  Basecbs 17187  SymGrpcsymg 19328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-tset 17259  df-efmnd 18828  df-symg 19329

This theorem is referenced by:  symgfixelsi  19397  symgfixf1  19399  symgfixfolem1  19400