MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfixfolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfixfolem1 18241
Description: Lemma 1 for symgfixfo 18242. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgfixf.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.h 𝐻 = (𝑞𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixfo.e 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
symgfixfolem1 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸𝑄)
Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝑆,𝑞   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝐸(𝑞)   𝐻(𝑥,𝑞)   𝑉(𝑞)   𝑍(𝑞)

Proof of Theorem symgfixfolem1
StepHypRef Expression
1 symgfixf.s . . . 4 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2 symgfixfo.e . . . 4 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
31, 2symgextf1o 18226 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁)
433adant1 1121 . 2 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁)
5 iftrue 4313 . . 3 (𝑥 = 𝐾 → if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)) = 𝐾)
6 simp2 1128 . . 3 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐾𝑁)
72, 5, 6, 6fvmptd3 6564 . 2 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝐾) = 𝐾)
8 mptexg 6756 . . . . 5 (𝑁𝑉 → (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥))) ∈ V)
983ad2ant1 1124 . . . 4 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥))) ∈ V)
102, 9syl5eqel 2863 . . 3 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸 ∈ V)
11 symgfixf.p . . . 4 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
12 symgfixf.q . . . 4 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
1311, 12symgfixelq 18236 . . 3 (𝐸 ∈ V → (𝐸𝑄 ↔ (𝐸:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐸𝐾) = 𝐾)))
1410, 13syl 17 . 2 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑄 ↔ (𝐸:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐸𝐾) = 𝐾)))
154, 7, 14mpbir2and 703 1 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  {crab 3094  Vcvv 3398  cdif 3789  ifcif 4307  {csn 4398  cmpt 4965  cres 5357  1-1-ontowf1o 6134  cfv 6135  Basecbs 16255  SymGrpcsymg 18180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-plusg 16351  df-tset 16357  df-symg 18181
This theorem is referenced by:  symgfixfo  18242
  Copyright terms: Public domain W3C validator