MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfixfolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfixfolem1 19228
Description: Lemma 1 for symgfixfo 19229. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgfixf.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.h 𝐻 = (𝑞𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixfo.e 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
symgfixfolem1 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸𝑄)
Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝑆,𝑞   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝐸(𝑞)   𝐻(𝑥,𝑞)   𝑉(𝑞)   𝑍(𝑞)

Proof of Theorem symgfixfolem1
StepHypRef Expression
1 symgfixf.s . . . 4 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2 symgfixfo.e . . . 4 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
31, 2symgextf1o 19213 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁)
433adant1 1131 . 2 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁1-1-onto𝑁)
5 iftrue 4496 . . 3 (𝑥 = 𝐾 → if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)) = 𝐾)
6 simp2 1138 . . 3 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐾𝑁)
72, 5, 6, 6fvmptd3 6975 . 2 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝐾) = 𝐾)
8 mptexg 7175 . . . . 5 (𝑁𝑉 → (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥))) ∈ V)
983ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥))) ∈ V)
102, 9eqeltrid 2838 . . 3 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸 ∈ V)
11 symgfixf.p . . . 4 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
12 symgfixf.q . . . 4 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
1311, 12symgfixelq 19223 . . 3 (𝐸 ∈ V → (𝐸𝑄 ↔ (𝐸:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐸𝐾) = 𝐾)))
1410, 13syl 17 . 2 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑄 ↔ (𝐸:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐸𝐾) = 𝐾)))
154, 7, 14mpbir2and 712 1 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3447  cdif 3911  ifcif 4490  {csn 4590  cmpt 5192  cres 5639  1-1-ontowf1o 6499  cfv 6500  Basecbs 17091  SymGrpcsymg 19156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-tset 17160  df-efmnd 18687  df-symg 19157
This theorem is referenced by:  symgfixfo  19229
  Copyright terms: Public domain W3C validator