Theorem symgfixfolem1 19344

Description: Lemma 1 for symgfixfo 19345. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgfixf.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.h	⊢ 𝐻 = (𝑞 ∈ 𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixfo.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
symgfixfolem1	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸 ∈ 𝑄)

Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝑆,𝑞   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝐸(𝑞)   𝐻(𝑥,𝑞)   𝑉(𝑞)   𝑍(𝑞)

Proof of Theorem symgfixfolem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgfixf.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2		symgfixfo.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))
3	1, 2	symgextf1o 19329	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁)
4	3	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁)
5		iftrue 4490	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)) = 𝐾)
6		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ 𝑁)
7	2, 5, 6, 6	fvmptd3 6973	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝐾) = 𝐾)
8		mptexg 7177	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥))) ∈ V)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥))) ∈ V)
10	2, 9	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸 ∈ V)
11		symgfixf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
12		symgfixf.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
13	11, 12	symgfixelq 19339	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝑄 ↔ (𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐸‘𝐾) = 𝐾)))
14	10, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∈ 𝑄 ↔ (𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐸‘𝐾) = 𝐾)))
15	4, 7, 14	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸 ∈ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3402  Vcvv 3444   ∖ cdif 3908  ifcif 4484  {csn 4585   ↦ cmpt 5183   ↾ cres 5633  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  SymGrpcsymg 19275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-efmnd 18772  df-symg 19276

This theorem is referenced by:  symgfixfo  19345