Theorem symgfixfolem1 19614

Description: Lemma 1 for symgfixfo 19615. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgfixf.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.h	⊢ 𝐻 = (𝑞 ∈ 𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixfo.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
symgfixfolem1	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸 ∈ 𝑄)

Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝑆,𝑞   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝐸(𝑞)   𝐻(𝑥, 𝑞)   𝑉(𝑞)   𝑍(𝑞)

Proof of Theorem symgfixfolem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgfixf.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2		symgfixfo.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))
3	1, 2	symgextf1o 19599	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁)
4	3	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁)
5		iftrue 4487	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)) = 𝐾)
6		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ 𝑁)
7	2, 5, 6, 6	fvmptd3 7005	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝐾) = 𝐾)
8		mptexg 7215	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥))) ∈ V)
9	8	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥))) ∈ V)
10	2, 9	eqeltrid 2864	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸 ∈ V)
11		symgfixf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
12		symgfixf.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
13	11, 12	symgfixelq 19609	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝑄 ↔ (𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐸‘𝐾) = 𝐾)))
14	10, 13	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∈ 𝑄 ↔ (𝐸:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐸‘𝐾) = 𝐾)))
15	4, 7, 14	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸 ∈ 𝑄)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895  ifcif 4481  {csn 4583   ↦ cmpt 5185   ↾ cres 5649  –1-1-onto→wf1o 6526  ‘cfv 6527  Basecbs 17349  SymGrpcsymg 19545

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-fz 13610  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-tset 17409  df-efmnd 19027  df-symg 19546

This theorem is used by:  symgfixfo  19615