Theorem symgmatr01 22882

Description: Applying a permutation that does not fix a certain element of a set to a second element to an index of a matrix a row with 0's and a 1. (Contributed by AV, 3-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgmatr01.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgmatr01.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
symgmatr01.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
symgmatr01	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑞,𝐿   𝑘,𝐾,𝑞   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘,𝑞   𝑄,𝑘,𝑞   𝑖,𝑗,𝑘,𝑞,𝐿   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑄,𝑖,𝑗   1 ,𝑖,𝑗,𝑘   0 ,𝑖,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑞)   1 (𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem symgmatr01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgmatr01.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2	1	symgmatr01lem 22881	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) = 0 ))
3	2	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) = 0 )
4		eqidd 2763	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗))))
5		eqeq1 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑘 = 𝐾))
6	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑘 = 𝐾))
7		eqeq1 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑄‘𝑘) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝑘) = 𝐿))
8	7	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝑘) = 𝐿))
9	8	ifbid 4509	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ) = if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ))
10		oveq12 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘)))
11	6, 9, 10	ifbieq12d 4514	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)) = if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))))
12	11	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)) = if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))))
13		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
14		eldifi 4081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → 𝑄 ∈ 𝑃)
15		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
16	15, 1	symgfv 19513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁)
17	16	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁))
18	14, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁))
19	18	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁))
20	19	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁)
21		symgmatr01.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
22	21	fvexi 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
23		symgmatr01.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
24	23	fvexi 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
25	22, 24	ifex 4536	. . . . . . . 8 ⊢ if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ) ∈ V
26		ovex 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘)) ∈ V
27	25, 26	ifex 4536	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) ∈ V)
29	4, 12, 13, 20, 28	ovmpod 7569	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))))
30	29	eqeq1d 2764	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 ↔ if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) = 0 ))
31	30	rexbidva 3186	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → (∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑁 if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) = 0 ))
32	3, 31	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 )
33	32	ex 418	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  {crab 3414  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899  ifcif 4485  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419  Basecbs 17307  0_gc0g 17530  SymGrpcsymg 19502  1_rcur 20326

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-tset 17367  df-efmnd 18984  df-symg 19503

This theorem is used by:  smadiadetlem0  22889