Theorem symgmatr01 22969

Description: Applying a permutation that does not fix a certain element of a set to a second element to an index of a matrix a row with 0's and a 1. (Contributed by AV, 3-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgmatr01.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgmatr01.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
symgmatr01.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
symgmatr01	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑞,𝐿   𝑘,𝐾,𝑞   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘,𝑞   𝑄,𝑘,𝑞   𝑖,𝑗,𝑘,𝑞,𝐿   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑄,𝑖,𝑗   1 ,𝑖,𝑗,𝑘   0 ,𝑖,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑞)   1 (𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem symgmatr01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgmatr01.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2	1	symgmatr01lem 22968	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) = 0 ))
3	2	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) = 0 )
4		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗))))
5		eqeq1 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑘 = 𝐾))
6	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑘 = 𝐾))
7		eqeq1 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑄‘𝑘) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝑘) = 𝐿))
8	7	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝑘) = 𝐿))
9	8	ifbid 4506	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ) = if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ))
10		oveq12 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘)))
11	6, 9, 10	ifbieq12d 4511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)) = if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))))
12	11	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)) = if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))))
13		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
14		eldifi 4078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → 𝑄 ∈ 𝑃)
15		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
16	15, 1	symgfv 19594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁)
17	16	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁))
18	14, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁))
19	18	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁))
20	19	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁)
21		symgmatr01.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
22	21	fvexi 6899	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
23		symgmatr01.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
24	23	fvexi 6899	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
25	22, 24	ifex 4533	. . . . . . . 8 ⊢ if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ) ∈ V
26		ovex 7453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘)) ∈ V
27	25, 26	ifex 4533	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) ∈ V)
29	4, 12, 13, 20, 28	ovmpod 7572	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))))
30	29	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 ↔ if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) = 0 ))
31	30	rexbidva 3185	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → (∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑁 if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) = 0 ))
32	3, 31	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 )
33	32	ex 418	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896  ifcif 4482  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  Basecbs 17387  0_gc0g 17610  SymGrpcsymg 19583  1_rcur 20407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-tset 17447  df-efmnd 19065  df-symg 19584

This theorem is used by:  smadiadetlem0  22976