Theorem symgmatr01 21551

Description: Applying a permutation that does not fix a certain element of a set to a second element to an index of a matrix a row with 0's and a 1. (Contributed by AV, 3-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgmatr01.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgmatr01.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
symgmatr01.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
symgmatr01	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑞,𝐿   𝑘,𝐾,𝑞   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘,𝑞   𝑄,𝑘,𝑞   𝑖,𝑗,𝑘,𝑞,𝐿   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑄,𝑖,𝑗   1 ,𝑖,𝑗,𝑘   0 ,𝑖,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗,𝑘,𝑞)   1 (𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem symgmatr01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgmatr01.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2	1	symgmatr01lem 21550	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) = 0 ))
3	2	imp 410	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) = 0 )
4		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗))))
5		eqeq1 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑘 = 𝐾))
6	5	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑘 = 𝐾))
7		eqeq1 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑄‘𝑘) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝑘) = 𝐿))
8	7	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝑘) = 𝐿))
9	8	ifbid 4462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ) = if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ))
10		oveq12 7222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘)))
11	6, 9, 10	ifbieq12d 4467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)) = if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))))
12	11	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)) = if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))))
13		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
14		eldifi 4041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → 𝑄 ∈ 𝑃)
15		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
16	15, 1	symgfv 18772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁)
17	16	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁))
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁))
19	18	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁))
20	19	imp 410	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁)
21		symgmatr01.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
22	21	fvexi 6731	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
23		symgmatr01.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
24	23	fvexi 6731	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
25	22, 24	ifex 4489	. . . . . . . 8 ⊢ if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ) ∈ V
26		ovex 7246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘)) ∈ V
27	25, 26	ifex 4489	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) ∈ V)
29	4, 12, 13, 20, 28	ovmpod 7361	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))))
30	29	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 ↔ if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) = 0 ))
31	30	rexbidva 3215	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → (∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑁 if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) = 0 ))
32	3, 31	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 )
33	32	ex 416	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3408   ∖ cdif 3863  ifcif 4439  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ∈ cmpo 7215  Basecbs 16760  0_gc0g 16944  SymGrpcsymg 18759  1_rcur 19516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-tset 16821  df-efmnd 18296  df-symg 18760

This theorem is referenced by:  smadiadetlem0  21558