Theorem symgmatr01 21711

Description: Applying a permutation that does not fix a certain element of a set to a second element to an index of a matrix a row with 0's and a 1. (Contributed by AV, 3-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgmatr01.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgmatr01.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
symgmatr01.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
symgmatr01	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑞,𝐿   𝑘,𝐾,𝑞   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘,𝑞   𝑄,𝑘,𝑞   𝑖,𝑗,𝑘,𝑞,𝐿   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑄,𝑖,𝑗   1 ,𝑖,𝑗,𝑘   0 ,𝑖,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗,𝑘,𝑞)   1 (𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem symgmatr01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgmatr01.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2	1	symgmatr01lem 21710	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) = 0 ))
3	2	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) = 0 )
4		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗))))
5		eqeq1 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑘 = 𝐾))
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑘 = 𝐾))
7		eqeq1 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑄‘𝑘) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝑘) = 𝐿))
8	7	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝑘) = 𝐿))
9	8	ifbid 4479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ) = if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ))
10		oveq12 7264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘)))
11	6, 9, 10	ifbieq12d 4484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)) = if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))))
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)) = if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))))
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
14		eldifi 4057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → 𝑄 ∈ 𝑃)
15		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
16	15, 1	symgfv 18902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁)
17	16	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁))
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁))
19	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁))
20	19	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁)
21		symgmatr01.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
22	21	fvexi 6770	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
23		symgmatr01.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
24	23	fvexi 6770	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
25	22, 24	ifex 4506	. . . . . . . 8 ⊢ if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ) ∈ V
26		ovex 7288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘)) ∈ V
27	25, 26	ifex 4506	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) ∈ V)
29	4, 12, 13, 20, 28	ovmpod 7403	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))))
30	29	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 ↔ if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) = 0 ))
31	30	rexbidva 3224	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → (∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑁 if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) = 0 ))
32	3, 31	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 )
33	32	ex 412	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  {crab 3067  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880  ifcif 4456  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  SymGrpcsymg 18889  1_rcur 19652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-tset 16907  df-efmnd 18423  df-symg 18890

This theorem is referenced by:  smadiadetlem0  21718