Theorem smadiadetlem0 22969

Description: Lemma 0 for smadiadet 22978: The products of the Leibniz' formula vanish for all permutations fixing the index of the row containing the 0's and the 1 to the column with the 1. (Contributed by AV, 3-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marep01ma.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marep01ma.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marep01ma.r	⊢ 𝑅 ∈ CRing
marep01ma.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
marep01ma.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
smadiadetlem.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
smadiadetlem.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
smadiadetlem0	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑛)))) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑛,𝐵   𝑖,𝑞,𝐾,𝑗,𝑛   𝑖,𝐿,𝑗,𝑛,𝑞   𝑖,𝑀,𝑗,𝑛   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑖,𝑗,𝑛,𝑞   𝑄,𝑖,𝑗,𝑛,𝑞   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   1 ,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛   𝑛,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑞)   𝐵(𝑞)   𝑅(𝑞)   1 (𝑞)   𝐺(𝑖, 𝑗, 𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem smadiadetlem0

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smadiadetlem.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2		marep01ma.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		marep01ma.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ CRing
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → 𝑅 ∈ CRing)
5		marep01ma.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6		marep01ma.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
7	5, 6	matrcl 22720	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
8	7	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → 𝑁 ∈ Fin)
11		crngring 20465	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	3, 11	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → 𝑅 ∈ Ring)
13		eldifi 4078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → 𝑄 ∈ 𝑃)
14	13	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → 𝑄 ∈ 𝑃)
15		marep01ma.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
16	5, 6, 3, 2, 15	marep01ma 22968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗))) ∈ 𝐵)
17	16	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗))) ∈ 𝐵)
18	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗))) ∈ 𝐵)
19		smadiadetlem.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
20	5, 6, 19	matepm2cl 22771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗))) ∈ 𝐵) → ∀𝑚 ∈ 𝑁 (𝑚(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑚)) ∈ (Base‘𝑅))
21	12, 14, 18, 20	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → ∀𝑚 ∈ 𝑁 (𝑚(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑚)) ∈ (Base‘𝑅))
22		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → 𝑚 = 𝑛)
23		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑄‘𝑚) = (𝑄‘𝑛))
24	22, 23	oveq12d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑚)) = (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑛)))
25	24	eleq1d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑚)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑅)))
26	25	rspccv 3574	. . . . 5 ⊢ (∀𝑚 ∈ 𝑁 (𝑚(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑚)) ∈ (Base‘𝑅) → (𝑛 ∈ 𝑁 → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑅)))
27	21, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → (𝑛 ∈ 𝑁 → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑅)))
28	27	imp 412	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑅))
29		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝑛 = 𝑚)
30		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑄‘𝑛) = (𝑄‘𝑚))
31	29, 30	oveq12d 7436	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑚(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑚)))
32	31	adantl 487	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑛 = 𝑚) → (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑛)) = (𝑚(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑚)))
33	19, 2, 15	symgmatr01 22962	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑚 ∈ 𝑁 (𝑚(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑚)) = 0 ))
34	33	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑚 ∈ 𝑁 (𝑚(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑚)) = 0 ))
35	34	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → ∃𝑚 ∈ 𝑁 (𝑚(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑚)) = 0 )
36	1, 2, 4, 10, 28, 32, 35	gsummgp0 20540	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑛)))) = 0 )
37	36	ex 418	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑛)))) = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896  ifcif 4482   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ∈ cmpo 7420  Fincfn 8966  Basecbs 17380  0_gc0g 17603   Σ_g cgsu 17604  SymGrpcsymg 19576  mulGrpcmgp 20353  1_rcur 20400  Ringcrg 20452  CRingccrg 20453   Mat cmat 22715

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-prds 17611  df-pws 17613  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-efmnd 19058  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-symg 19577  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-cring 20455  df-sra 21441  df-rgmod 21442  df-dsmm 22031  df-frlm 22046  df-mat 22716

This theorem is used by:  smadiadetlem1a  22971