Theorem thlbas 21622

Description: Base set of the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 11-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
thlval.k	⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
thlbas	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐾)

Proof of Theorem thlbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thlbas.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
2	1	fvexi 6840	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ V
3		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (toInc‘𝐶) = (toInc‘𝐶)
4	3	ipobas 18456	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 = (Base‘(toInc‘𝐶)))
5	2, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘(toInc‘𝐶))
6		baseid 17142	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
7		basendxnocndx 17306	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
8	6, 7	setsnid 17138	. . . 4 ⊢ (Base‘(toInc‘𝐶)) = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
9	5, 8	eqtri 2752	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
10		thlval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
11		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
12	10, 1, 3, 11	thlval 21621	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐾 = ((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
13	12	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (Base‘𝐾) = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
14	9, 13	eqtr4id 2783	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐶 = (Base‘𝐾))
15		base0 17144	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
16		fvprc 6818	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (ClSubSp‘𝑊) = ∅)
17	1, 16	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐶 = ∅)
18		fvprc 6818	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
19	10, 18	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
20	19	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐾) = (Base‘∅))
21	15, 17, 20	3eqtr4a 2790	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐶 = (Base‘𝐾))
22	14, 21	pm2.61i 182	1 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  ∅c0 4286  ⟨cop 4585  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   sSet csts 17093  ndxcnx 17123  Basecbs 17139  occoc 17188  toInccipo 18452  ocvcocv 21586  ClSubSpccss 21587  toHLcthl 21588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-fz 13430  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ocomp 17201  df-ipo 18453  df-thl 21591

This theorem is referenced by: (None)