Theorem thlbas 20362

Description: Base set of the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
thlval.k	⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
thlbas	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐾)

Proof of Theorem thlbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thlval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
2		thlbas.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3		eqid 2797	. . . . 5 ⊢ (toInc‘𝐶) = (toInc‘𝐶)
4		eqid 2797	. . . . 5 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	thlval 20361	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐾 = ((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
6	5	fveq2d 6413	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (Base‘𝐾) = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
7	2	fvexi 6423	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ V
8	3	ipobas 17467	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 = (Base‘(toInc‘𝐶)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘(toInc‘𝐶))
10		baseid 16241	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
11		1re 10326	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
12		1nn 11323	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
13		1nn0 11594	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		1lt10 11920	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;10
15	12, 13, 13, 14	declti 11818	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;11
16	11, 15	ltneii 10438	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ ;11
17		basendx 16245	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) = 1
18		ocndx 16372	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
19	17, 18	neeq12i 3035	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ 1 ≠ ;11)
20	16, 19	mpbir 223	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
21	10, 20	setsnid 16237	. . . 4 ⊢ (Base‘(toInc‘𝐶)) = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
22	9, 21	eqtri 2819	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
23	6, 22	syl6reqr 2850	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐶 = (Base‘𝐾))
24		base0 16234	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
25		fvprc 6402	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (ClSubSp‘𝑊) = ∅)
26	2, 25	syl5eq 2843	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐶 = ∅)
27		fvprc 6402	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
28	1, 27	syl5eq 2843	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
29	28	fveq2d 6413	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐾) = (Base‘∅))
30	24, 26, 29	3eqtr4a 2857	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐶 = (Base‘𝐾))
31	23, 30	pm2.61i 177	1 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2969  Vcvv 3383  ∅c0 4113  ⟨cop 4372  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876  1c1 10223  ;cdc 11779  ndxcnx 16178   sSet csts 16179  Basecbs 16181  occoc 16272  toInccipo 17463  ocvcocv 20326  ClSubSpccss 20327  toHLcthl 20328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-fz 12577  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ocomp 16285  df-ipo 17464  df-thl 20331

This theorem is referenced by: (None)