Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem thlbas 20758
 Description: Base set of the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
thlbas 𝐶 = (Base‘𝐾)

Proof of Theorem thlbas
StepHypRef Expression
1 thlval.k . . . . 5 𝐾 = (toHL‘𝑊)
2 thlbas.c . . . . 5 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3 eqid 2825 . . . . 5 (toInc‘𝐶) = (toInc‘𝐶)
4 eqid 2825 . . . . 5 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
51, 2, 3, 4thlval 20757 . . . 4 (𝑊 ∈ V → 𝐾 = ((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
65fveq2d 6670 . . 3 (𝑊 ∈ V → (Base‘𝐾) = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
72fvexi 6680 . . . . 5 𝐶 ∈ V
83ipobas 17757 . . . . 5 (𝐶 ∈ V → 𝐶 = (Base‘(toInc‘𝐶)))
97, 8ax-mp 5 . . . 4 𝐶 = (Base‘(toInc‘𝐶))
10 baseid 16535 . . . . 5 Base = Slot (Base‘ndx)
11 1re 10633 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
12 1nn 11641 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
13 1nn0 11905 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
14 1lt10 12229 . . . . . . . 8 1 < 10
1512, 13, 13, 14declti 12128 . . . . . . 7 1 < 11
1611, 15ltneii 10745 . . . . . 6 1 ≠ 11
17 basendx 16539 . . . . . . 7 (Base‘ndx) = 1
18 ocndx 16665 . . . . . . 7 (oc‘ndx) = 11
1917, 18neeq12i 3086 . . . . . 6 ((Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ 1 ≠ 11)
2016, 19mpbir 232 . . . . 5 (Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
2110, 20setsnid 16531 . . . 4 (Base‘(toInc‘𝐶)) = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
229, 21eqtri 2848 . . 3 𝐶 = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
236, 22syl6reqr 2879 . 2 (𝑊 ∈ V → 𝐶 = (Base‘𝐾))
24 base0 16528 . . 3 ∅ = (Base‘∅)
25 fvprc 6659 . . . 4 𝑊 ∈ V → (ClSubSp‘𝑊) = ∅)
262, 25syl5eq 2872 . . 3 𝑊 ∈ V → 𝐶 = ∅)
27 fvprc 6659 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
281, 27syl5eq 2872 . . . 4 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
2928fveq2d 6670 . . 3 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐾) = (Base‘∅))
3024, 26, 293eqtr4a 2886 . 2 𝑊 ∈ V → 𝐶 = (Base‘𝐾))
3123, 30pm2.61i 183 1 𝐶 = (Base‘𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3020  Vcvv 3499  ∅c0 4294  ⟨cop 4569  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151  1c1 10530  ;cdc 12090  ndxcnx 16472   sSet csts 16473  Basecbs 16475  occoc 16565  toInccipo 17753  ocvcocv 20722  ClSubSpccss 20723  toHLcthl 20724 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ocomp 16578  df-ipo 17754  df-thl 20727 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator