MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipobas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipobas 17623
Description: Base set of the inclusion poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ipoval.i 𝐼 = (toInc‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipobas (𝐹𝑉𝐹 = (Base‘𝐼))

Proof of Theorem ipobas
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipostr 17621 . . 3 ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥𝐹 {𝑦𝐹 ∣ (𝑦𝑥) = ∅})⟩}) Struct ⟨1, 11⟩
2 baseid 16399 . . 3 Base = Slot (Base‘ndx)
3 snsspr1 4621 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)})⟩}
4 ssun1 4037 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)})⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥𝐹 {𝑦𝐹 ∣ (𝑦𝑥) = ∅})⟩})
53, 4sstri 3867 . . 3 {⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥𝐹 {𝑦𝐹 ∣ (𝑦𝑥) = ∅})⟩})
61, 2, 5strfv 16387 . 2 (𝐹𝑉𝐹 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥𝐹 {𝑦𝐹 ∣ (𝑦𝑥) = ∅})⟩})))
7 ipoval.i . . . 4 𝐼 = (toInc‘𝐹)
8 eqid 2778 . . . 4 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}
97, 8ipoval 17622 . . 3 (𝐹𝑉𝐼 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥𝐹 {𝑦𝐹 ∣ (𝑦𝑥) = ∅})⟩}))
109fveq2d 6503 . 2 (𝐹𝑉 → (Base‘𝐼) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥𝐹 {𝑦𝐹 ∣ (𝑦𝑥) = ∅})⟩})))
116, 10eqtr4d 2817 1 (𝐹𝑉𝐹 = (Base‘𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  {crab 3092  cun 3827  cin 3828  wss 3829  c0 4178  {csn 4441  {cpr 4443  cop 4447   cuni 4712  {copab 4991  cmpt 5008  cfv 6188  1c1 10336  cdc 11911  ndxcnx 16336  Basecbs 16339  TopSetcts 16427  lecple 16428  occoc 16429  ordTopcordt 16628  toInccipo 17619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-fz 12709  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ocomp 16442  df-ipo 17620
This theorem is referenced by:  ipopos  17628  isipodrs  17629  ipodrsfi  17631  mrelatglb  17652  mrelatglb0  17653  mrelatlub  17654  mreclatBAD  17655  thlbas  20542
  Copyright terms: Public domain W3C validator