Theorem thlbasOLD 21693

Description: Obsolete proof of thlbas 21692 as of 11-Nov-2024. Base set of the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
thlval.k	⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
thlbasOLD	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐾)

Proof of Theorem thlbasOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thlbas.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
2	1	fvexi 6915	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ V
3		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (toInc‘𝐶) = (toInc‘𝐶)
4	3	ipobas 18556	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 = (Base‘(toInc‘𝐶)))
5	2, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘(toInc‘𝐶))
6		baseid 17216	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
7		1re 11264	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		1nn 12275	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
9		1nn0 12540	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		1lt10 12868	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;10
11	8, 9, 9, 10	declti 12767	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;11
12	7, 11	ltneii 11377	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ ;11
13		basendx 17222	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) = 1
14		ocndx 17395	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
15	13, 14	neeq12i 2997	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ 1 ≠ ;11)
16	12, 15	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
17	6, 16	setsnid 17211	. . . 4 ⊢ (Base‘(toInc‘𝐶)) = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
18	5, 17	eqtri 2754	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
19		thlval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
20		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
21	19, 1, 3, 20	thlval 21691	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐾 = ((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
22	21	fveq2d 6905	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (Base‘𝐾) = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
23	18, 22	eqtr4id 2785	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐶 = (Base‘𝐾))
24		base0 17218	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
25		fvprc 6893	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (ClSubSp‘𝑊) = ∅)
26	1, 25	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐶 = ∅)
27		fvprc 6893	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
28	19, 27	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
29	28	fveq2d 6905	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐾) = (Base‘∅))
30	24, 26, 29	3eqtr4a 2792	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐶 = (Base‘𝐾))
31	23, 30	pm2.61i 182	1 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  Vcvv 3462  ∅c0 4325  ⟨cop 4639  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  1c1 11159  ;cdc 12729   sSet csts 17165  ndxcnx 17195  Basecbs 17213  occoc 17274  toInccipo 18552  ocvcocv 21656  ClSubSpccss 21657  toHLcthl 21658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ocomp 17287  df-ipo 18553  df-thl 21661

This theorem is referenced by: (None)