Theorem thlbasOLD 21732

Description: Obsolete version of thlbas 21731 as of 11-Nov-2024. Base set of the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
thlval.k	⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
thlbasOLD	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐾)

Proof of Theorem thlbasOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thlbas.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
2	1	fvexi 6920	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ V
3		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (toInc‘𝐶) = (toInc‘𝐶)
4	3	ipobas 18588	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 = (Base‘(toInc‘𝐶)))
5	2, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘(toInc‘𝐶))
6		baseid 17247	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
7		1re 11258	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		1nn 12274	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
9		1nn0 12539	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		1lt10 12869	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;10
11	8, 9, 9, 10	declti 12768	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;11
12	7, 11	ltneii 11371	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ ;11
13		basendx 17253	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) = 1
14		ocndx 17426	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
15	13, 14	neeq12i 3004	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ 1 ≠ ;11)
16	12, 15	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
17	6, 16	setsnid 17242	. . . 4 ⊢ (Base‘(toInc‘𝐶)) = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
18	5, 17	eqtri 2762	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
19		thlval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
20		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
21	19, 1, 3, 20	thlval 21730	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐾 = ((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
22	21	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (Base‘𝐾) = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
23	18, 22	eqtr4id 2793	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐶 = (Base‘𝐾))
24		base0 17249	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
25		fvprc 6898	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (ClSubSp‘𝑊) = ∅)
26	1, 25	eqtrid 2786	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐶 = ∅)
27		fvprc 6898	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
28	19, 27	eqtrid 2786	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
29	28	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐾) = (Base‘∅))
30	24, 26, 29	3eqtr4a 2800	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐶 = (Base‘𝐾))
31	23, 30	pm2.61i 182	1 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  Vcvv 3477  ∅c0 4338  ⟨cop 4636  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  1c1 11153  ;cdc 12730   sSet csts 17196  ndxcnx 17226  Basecbs 17244  occoc 17305  toInccipo 18584  ocvcocv 21695  ClSubSpccss 21696  toHLcthl 21697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-ipo 18585  df-thl 21700

This theorem is referenced by: (None)