Theorem thlbasOLD 21590

Description: Obsolete proof of thlbas 21589 as of 11-Nov-2024. Base set of the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
thlval.k	⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
thlbasOLD	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐾)

Proof of Theorem thlbasOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thlbas.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
2	1	fvexi 6899	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ V
3		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (toInc‘𝐶) = (toInc‘𝐶)
4	3	ipobas 18496	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 = (Base‘(toInc‘𝐶)))
5	2, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘(toInc‘𝐶))
6		baseid 17156	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
7		1re 11218	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		1nn 12227	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
9		1nn0 12492	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		1lt10 12820	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;10
11	8, 9, 9, 10	declti 12719	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;11
12	7, 11	ltneii 11331	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ ;11
13		basendx 17162	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) = 1
14		ocndx 17335	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
15	13, 14	neeq12i 3001	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ 1 ≠ ;11)
16	12, 15	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
17	6, 16	setsnid 17151	. . . 4 ⊢ (Base‘(toInc‘𝐶)) = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
18	5, 17	eqtri 2754	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
19		thlval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
20		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
21	19, 1, 3, 20	thlval 21588	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐾 = ((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
22	21	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (Base‘𝐾) = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
23	18, 22	eqtr4id 2785	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐶 = (Base‘𝐾))
24		base0 17158	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
25		fvprc 6877	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (ClSubSp‘𝑊) = ∅)
26	1, 25	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐶 = ∅)
27		fvprc 6877	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
28	19, 27	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
29	28	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐾) = (Base‘∅))
30	24, 26, 29	3eqtr4a 2792	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐶 = (Base‘𝐾))
31	23, 30	pm2.61i 182	1 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  Vcvv 3468  ∅c0 4317  ⟨cop 4629  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113  ;cdc 12681   sSet csts 17105  ndxcnx 17135  Basecbs 17153  occoc 17214  toInccipo 18492  ocvcocv 21553  ClSubSpccss 21554  toHLcthl 21555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ocomp 17227  df-ipo 18493  df-thl 21558

This theorem is referenced by: (None)