Theorem thlbasOLD 21715

Description: Obsolete version of thlbas 21714 as of 11-Nov-2024. Base set of the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
thlval.k	⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
thlbasOLD	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐾)

Proof of Theorem thlbasOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thlbas.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
2	1	fvexi 6920	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ V
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (toInc‘𝐶) = (toInc‘𝐶)
4	3	ipobas 18576	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝐶 = (Base‘(toInc‘𝐶)))
5	2, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘(toInc‘𝐶))
6		baseid 17250	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
7		1re 11261	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		1nn 12277	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
9		1nn0 12542	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		1lt10 12872	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;10
11	8, 9, 9, 10	declti 12771	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;11
12	7, 11	ltneii 11374	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ ;11
13		basendx 17256	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) = 1
14		ocndx 17425	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
15	13, 14	neeq12i 3007	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ 1 ≠ ;11)
16	12, 15	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
17	6, 16	setsnid 17245	. . . 4 ⊢ (Base‘(toInc‘𝐶)) = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
18	5, 17	eqtri 2765	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
19		thlval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
20		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
21	19, 1, 3, 20	thlval 21713	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐾 = ((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
22	21	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (Base‘𝐾) = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
23	18, 22	eqtr4id 2796	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐶 = (Base‘𝐾))
24		base0 17252	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
25		fvprc 6898	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (ClSubSp‘𝑊) = ∅)
26	1, 25	eqtrid 2789	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐶 = ∅)
27		fvprc 6898	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
28	19, 27	eqtrid 2789	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
29	28	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐾) = (Base‘∅))
30	24, 26, 29	3eqtr4a 2803	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐶 = (Base‘𝐾))
31	23, 30	pm2.61i 182	1 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480  ∅c0 4333  ⟨cop 4632  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156  ;cdc 12733   sSet csts 17200  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  occoc 17305  toInccipo 18572  ocvcocv 21678  ClSubSpccss 21679  toHLcthl 21680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-ipo 18573  df-thl 21683

This theorem is referenced by: (None)