Theorem toplatlub 49472

Description: Least upper bounds in a topology are realized by unions. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
topclat.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
toplatlub.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
toplatlub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐽)
toplatlub.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
toplatlub	⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = ∪ 𝑆)

Proof of Theorem toplatlub

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topclat.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
2		toplatlub.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3		toplatlub.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐽)
4		toplatlub.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐼)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
6		uniopn 22871	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑆 ∈ 𝐽)
7	2, 3, 6	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ 𝐽)
8		intmin 4911	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑆 ∈ 𝐽 → ∩ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥} = ∪ 𝑆)
9	8	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (∪ 𝑆 ∈ 𝐽 → ∪ 𝑆 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
10	7, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
11	1, 2, 3, 5, 10, 7	ipolub 49460	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = ∪ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4851  ∩ cint 4890  ‘cfv 6490  lubclub 18264  toInccipo 18482  Topctop 22867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ocomp 17230  df-proset 18249  df-poset 18268  df-lub 18299  df-ipo 18483  df-top 22868

This theorem is referenced by: (None)