Theorem toplatlub 48789

Description: Least upper bounds in a topology are realized by unions. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
topclat.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
toplatlub.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
toplatlub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐽)
toplatlub.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
toplatlub	⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = ∪ 𝑆)

Proof of Theorem toplatlub

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topclat.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
2		toplatlub.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3		toplatlub.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐽)
4		toplatlub.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐼)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
6		uniopn 22919	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑆 ∈ 𝐽)
7	2, 3, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ 𝐽)
8		intmin 4973	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑆 ∈ 𝐽 → ∩ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥} = ∪ 𝑆)
9	8	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ (∪ 𝑆 ∈ 𝐽 → ∪ 𝑆 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
10	7, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
11	1, 2, 3, 5, 10, 7	ipolub 48777	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = ∪ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433   ⊆ wss 3963  ∪ cuni 4912  ∩ cint 4951  ‘cfv 6563  lubclub 18367  toInccipo 18585  Topctop 22915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ocomp 17319  df-proset 18352  df-poset 18371  df-lub 18404  df-ipo 18586  df-top 22916

This theorem is referenced by: (None)