Theorem toplatlub 49585

Description: Least upper bounds in a topology are realized by unions. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
topclat.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
toplatlub.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
toplatlub.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐽)
toplatlub.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
toplatlub	⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = ∪ 𝑆)

Proof of Theorem toplatlub

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topclat.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐽)
2		toplatlub.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3		toplatlub.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐽)
4		toplatlub.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐼)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
6		uniopn 22937	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝑆 ∈ 𝐽)
7	2, 3, 6	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ 𝐽)
8		intmin 4925	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑆 ∈ 𝐽 → ∩ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥} = ∪ 𝑆)
9	8	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ (∪ 𝑆 ∈ 𝐽 → ∪ 𝑆 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
10	7, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ ∪ 𝑆 ⊆ 𝑥})
11	1, 2, 3, 5, 10, 7	ipolub 49573	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = ∪ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {crab 3413   ⊆ wss 3904  ∪ cuni 4864  ∩ cint 4904  ‘cfv 6517  lubclub 18324  toInccipo 18542  Topctop 22933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-fz 13510  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ocomp 17290  df-proset 18309  df-poset 18328  df-lub 18359  df-ipo 18543  df-top 22934

This theorem is referenced by: (None)