Theorem tpf1o 14473

Description: A bijection onto a (proper) triple. (Contributed by AV, 21-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
tpf.t	⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}

Assertion

Ref	Expression
tpf1o	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem tpf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpf1o.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
2		tpf.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
3	1, 2	tpfo 14472	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)–onto→𝑇)
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 𝐹:(0..^3)–onto→𝑇)
5		3nn0 12467	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		hashfzo0 14402	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(0..^3)) = 3
8		eqcom 2737	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑇) = 3 ↔ 3 = (♯‘𝑇))
9	8	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑇) = 3 → 3 = (♯‘𝑇))
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 3 = (♯‘𝑇))
11	7, 10	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → (♯‘(0..^3)) = (♯‘𝑇))
12		fzofi 13946	. . . . 5 ⊢ (0..^3) ∈ Fin
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (0..^3) ∈ Fin)
14		tpfi 9283	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin
15	2, 14	eqeltri 2825	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ Fin
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑇) = 3 → 𝑇 ∈ Fin)
17		hashen 14319	. . . 4 ⊢ (((0..^3) ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → ((♯‘(0..^3)) = (♯‘𝑇) ↔ (0..^3) ≈ 𝑇))
18	13, 16, 17	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → ((♯‘(0..^3)) = (♯‘𝑇) ↔ (0..^3) ≈ 𝑇))
19	11, 18	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → (0..^3) ≈ 𝑇)
20	15	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 𝑇 ∈ Fin)
21		fofinf1o 9290	. 2 ⊢ ((𝐹:(0..^3)–onto→𝑇 ∧ (0..^3) ≈ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇)
22	4, 19, 20, 21	syl3anc 1373	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4491  {ctp 4596   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  –onto→wfo 6512  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ≈ cen 8918  Fincfn 8921  0cc0 11075  1c1 11076  3c3 12249  ℕ₀cn0 12449  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303

This theorem is referenced by:  isgrtri  47946