Theorem tpf1o 14504

Description: A bijection onto a (proper) triple. (Contributed by AV, 21-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
tpf.t	⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}

Assertion

Ref	Expression
tpf1o	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem tpf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpf1o.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
2		tpf.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
3	1, 2	tpfo 14503	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)–onto→𝑇)
4	3	adantr 483	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 𝐹:(0..^3)–onto→𝑇)
5		3nn0 12489	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		hashfzo0 14433	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(0..^3)) = 3
8		eqcom 2763	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑇) = 3 ↔ 3 = (♯‘𝑇))
9	8	bilani 507	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 3 = (♯‘𝑇))
10	7, 9	eqtrid 2803	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → (♯‘(0..^3)) = (♯‘𝑇))
11		fzofi 13977	. . . . 5 ⊢ (0..^3) ∈ Fin
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (0..^3) ∈ Fin)
13		tpfi 9259	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin
14	2, 13	eqeltri 2852	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ Fin
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑇) = 3 → 𝑇 ∈ Fin)
16		hashen 14350	. . . 4 ⊢ (((0..^3) ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → ((♯‘(0..^3)) = (♯‘𝑇) ↔ (0..^3) ≈ 𝑇))
17	12, 15, 16	syl2an 604	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → ((♯‘(0..^3)) = (♯‘𝑇) ↔ (0..^3) ≈ 𝑇))
18	10, 17	mpbid 234	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → (0..^3) ≈ 𝑇)
19	14	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 𝑇 ∈ Fin)
20		fofinf1o 9265	. 2 ⊢ ((𝐹:(0..^3)–onto→𝑇 ∧ (0..^3) ≈ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇)
21	4, 18, 19, 20	syl3anc 1386	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ifcif 4474  {ctp 4580   class class class wbr 5094   ↦ cmpt 5175  –onto→wfo 6508  –1-1-onto→wf1o 6509  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385   ≈ cen 8913  Fincfn 8916  0cc0 11063  1c1 11064  3c3 12263  ℕ₀cn0 12471  ..^cfzo 13649  ♯chash 14333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-hash 14334

This theorem is referenced by:  isgrtri  48513