Theorem tpf1o 14461

Description: A bijection onto a (proper) triple. (Contributed by AV, 21-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
tpf.t	⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}

Assertion

Ref	Expression
tpf1o	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem tpf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpf1o.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
2		tpf.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
3	1, 2	tpfo 14460	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)–onto→𝑇)
4	3	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 𝐹:(0..^3)–onto→𝑇)
5		3nn0 12453	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		hashfzo0 14390	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(0..^3)) = 3
8		eqcom 2747	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑇) = 3 ↔ 3 = (♯‘𝑇))
9	8	bilani 505	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 3 = (♯‘𝑇))
10	7, 9	eqtrid 2787	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → (♯‘(0..^3)) = (♯‘𝑇))
11		fzofi 13934	. . . . 5 ⊢ (0..^3) ∈ Fin
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (0..^3) ∈ Fin)
13		tpfi 9233	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin
14	2, 13	eqeltri 2836	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ Fin
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑇) = 3 → 𝑇 ∈ Fin)
16		hashen 14307	. . . 4 ⊢ (((0..^3) ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → ((♯‘(0..^3)) = (♯‘𝑇) ↔ (0..^3) ≈ 𝑇))
17	12, 15, 16	syl2an 602	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → ((♯‘(0..^3)) = (♯‘𝑇) ↔ (0..^3) ≈ 𝑇))
18	10, 17	mpbid 233	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → (0..^3) ≈ 𝑇)
19	14	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 𝑇 ∈ Fin)
20		fofinf1o 9239	. 2 ⊢ ((𝐹:(0..^3)–onto→𝑇 ∧ (0..^3) ≈ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇)
21	4, 18, 19, 20	syl3anc 1379	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ifcif 4461  {ctp 4566   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  –onto→wfo 6490  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ≈ cen 8887  Fincfn 8890  0cc0 11036  1c1 11037  3c3 12235  ℕ₀cn0 12435  ..^cfzo 13606  ♯chash 14290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-hash 14291

This theorem is referenced by:  isgrtri  48435