Theorem tpf1o 14647

Description: A bijection onto a (proper) triple. (Contributed by AV, 21-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
tpf.t	⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}

Assertion

Ref	Expression
tpf1o	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem tpf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpf1o.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
2		tpf.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
3	1, 2	tpfo 14646	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)–onto→𝑇)
4	3	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 𝐹:(0..^3)–onto→𝑇)
5		3nn0 12625	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		hashfzo0 14576	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(0..^3)) = 3
8		eqcom 2767	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑇) = 3 ↔ 3 = (♯‘𝑇))
9	8	bilani 510	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 3 = (♯‘𝑇))
10	7, 9	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → (♯‘(0..^3)) = (♯‘𝑇))
11		fzofi 14118	. . . . 5 ⊢ (0..^3) ∈ Fin
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (0..^3) ∈ Fin)
13		tpfi 9318	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin
14	2, 13	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ Fin
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑇) = 3 → 𝑇 ∈ Fin)
16		hashen 14492	. . . 4 ⊢ (((0..^3) ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → ((♯‘(0..^3)) = (♯‘𝑇) ↔ (0..^3) ≈ 𝑇))
17	12, 15, 16	syl2an 608	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → ((♯‘(0..^3)) = (♯‘𝑇) ↔ (0..^3) ≈ 𝑇))
18	10, 17	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → (0..^3) ≈ 𝑇)
19	14	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 𝑇 ∈ Fin)
20		fofinf1o 9322	. 2 ⊢ ((𝐹:(0..^3)–onto→𝑇 ∧ (0..^3) ≈ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇)
21	4, 18, 19, 20	syl3anc 1398	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ifcif 4481  {ctp 4587   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  –onto→wfo 6536  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ≈ cen 8971  Fincfn 8974  0cc0 11201  1c1 11202  3c3 12399  ℕ₀cn0 12607  ..^cfzo 13789  ♯chash 14475

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-hash 14476

This theorem is used by:  isgrtri  49117