Theorem tpf1o 14436

Description: A bijection onto a (proper) triple. (Contributed by AV, 21-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
tpf.t	⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}

Assertion

Ref	Expression
tpf1o	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem tpf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpf1o.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
2		tpf.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
3	1, 2	tpfo 14435	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)–onto→𝑇)
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 𝐹:(0..^3)–onto→𝑇)
5		3nn0 12431	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		hashfzo0 14365	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(0..^3)) = 3
8		eqcom 2744	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑇) = 3 ↔ 3 = (♯‘𝑇))
9	8	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑇) = 3 → 3 = (♯‘𝑇))
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 3 = (♯‘𝑇))
11	7, 10	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → (♯‘(0..^3)) = (♯‘𝑇))
12		fzofi 13909	. . . . 5 ⊢ (0..^3) ∈ Fin
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (0..^3) ∈ Fin)
14		tpfi 9238	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin
15	2, 14	eqeltri 2833	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ Fin
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑇) = 3 → 𝑇 ∈ Fin)
17		hashen 14282	. . . 4 ⊢ (((0..^3) ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → ((♯‘(0..^3)) = (♯‘𝑇) ↔ (0..^3) ≈ 𝑇))
18	13, 16, 17	syl2an 597	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → ((♯‘(0..^3)) = (♯‘𝑇) ↔ (0..^3) ≈ 𝑇))
19	11, 18	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → (0..^3) ≈ 𝑇)
20	15	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 𝑇 ∈ Fin)
21		fofinf1o 9244	. 2 ⊢ ((𝐹:(0..^3)–onto→𝑇 ∧ (0..^3) ≈ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇)
22	4, 19, 20, 21	syl3anc 1374	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑇) = 3) → 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4481  {ctp 4586   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  –onto→wfo 6498  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ≈ cen 8892  Fincfn 8895  0cc0 11038  1c1 11039  3c3 12213  ℕ₀cn0 12413  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266

This theorem is referenced by:  isgrtri  48292