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Theorem upgrwlkupwlk 47115
Description: In a pseudograph, a walk is a simple walk. (Contributed by AV, 30-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 2-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
upgrwlkupwlk ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃)
Proof of Theorem upgrwlkupwlk
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkv 29400 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
3 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
42, 3iswlk 29398 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
5 simpr1 1192 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))))) β†’ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ))
6 simpr2 1193 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))))) β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))
7 df-ifp 1062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ (((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) ∨ (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
8 dfsn2 4637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜π‘˜)}
9 preq2 4734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜π‘˜)} = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})
108, 9eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})
1110eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} ↔ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))}))
1211biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})
1312a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) β†’ ((((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))}))
14 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
15 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) β†’ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ))
16 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
173, 16upgredginwlk 29424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ)) β†’ (π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
1814, 15, 17syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph)) β†’ (π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
1918imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Edgβ€˜πΊ))
20 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph)) β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
24 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Edgβ€˜πΊ))
25 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
26 df-ne 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ↔ Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
27 fvexd 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ V)
28 fvexd 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ V)
29 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
3027, 28, 293jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ V ∧ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ V ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3126, 30sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ V ∧ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ V ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ V ∧ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ V ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3332adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ V ∧ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ V ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
342, 16upgredgpr 28929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ∧ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ V ∧ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ V ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
3523, 24, 25, 33, 34syl31anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
3635eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})
3736exp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})))
3819, 37mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))}))
3938com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))}))
4013, 39jaoi 856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) ∨ (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ ((((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))}))
4140com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) ∨ (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))}))
427, 41biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))}))
4342ralimdva 3162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))}))
4443ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})))
4544com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})))
46453impia 1115 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))}))
4746impcom 407 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})
485, 6, 473jca 1126 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))))) β†’ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))}))
4948exp31 419 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))}))))
5049com23 86 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))}))))
514, 50sylbid 239 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))}))))
5251impd 410 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) β†’ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})))
5352impcom 407 . . . . 5 (((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) β†’ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))}))
542, 3isupwlk 47111 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ (𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})))
5554adantl 481 . . . . 5 (((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) β†’ (𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})))
5653, 55mpbird 257 . . . 4 (((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) β†’ 𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃)
5756exp31 419 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ 𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃)))
581, 57mpid 44 . 2 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ 𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃))
5958impcom 407 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹(UPWalksβ€˜πΊ)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846  if-wif 1061   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127  ...cfz 13502  ..^cfzo 13645  β™―chash 14307  Word cword 14482  Vtxcvtx 28783  iEdgciedg 28784  Edgcedg 28834  UPGraphcupgr 28867  Walkscwlks 29384  UPWalkscupwlks 47108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-hash 14308  df-word 14483  df-edg 28835  df-uhgr 28845  df-upgr 28869  df-wlks 29387  df-upwlks 47109
This theorem is referenced by:  upgrwlkupwlkb  47116
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