Theorem upwordsing 45584

Description: Singleton is an increasing sequence for any compatible range. (Contributed by Ender Ting, 21-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
upwordsing.1	⊢ 𝐴 ∈ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
upwordsing	⊢ ⟨“𝐴”⟩ ∈ UpWord 𝑆

Proof of Theorem upwordsing

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upwordsing.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑆
2		s1cl 14548	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆)
3		elab6g 3658	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆 → (⟨“𝐴”⟩ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))} ↔ ∀𝑤(𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1))))))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))} ↔ ∀𝑤(𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))))
5		s1cl 14548	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆)
6		eleq1a 2828	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆 → (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → 𝑤 ∈ Word 𝑆))
7	1, 5, 6	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → 𝑤 ∈ Word 𝑆)
8		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (♯‘𝑤) = (♯‘⟨“𝐴”⟩))
9	8	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘⟨“𝐴”⟩) − 1))
10		s1len 14552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
11	10	oveq1i 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘⟨“𝐴”⟩) − 1) = (1 − 1)
12		1m1e0 12280	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
13	11, 12	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘⟨“𝐴”⟩) − 1) = 0
14	9, 13	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → ((♯‘𝑤) − 1) = 0)
15	14	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = (0..^0))
16		fzo0 13652	. . . . . 6 ⊢ (0..^0) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅)
18		rzal 4507	. . . . 5 ⊢ ((0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅ → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))
20	7, 19	jca 512	. . 3 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1))))
21	4, 20	mpgbir 1801	. 2 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))}
22		df-upword 45579	. 2 ⊢ UpWord 𝑆 = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))}
23	21, 22	eleqtrri 2832	1 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ ∈ UpWord 𝑆

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  ∀wral 3061  ∅c0 4321   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   − cmin 11440  ..^cfzo 13623  ♯chash 14286  Word cword 14460  ⟨“cs1 14541  UpWord cupword 45578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-s1 14542  df-upword 45579

This theorem is referenced by: (None)