Theorem upwordsing 46803

Description: Singleton is an increasing sequence for any compatible range. (Contributed by Ender Ting, 21-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
upwordsing.1	⊢ 𝐴 ∈ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
upwordsing	⊢ ⟨“𝐴”⟩ ∈ UpWord 𝑆

Proof of Theorem upwordsing

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upwordsing.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑆
2		s1cl 14650	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆)
3		elab6g 3682	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆 → (⟨“𝐴”⟩ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))} ↔ ∀𝑤(𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1))))))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))} ↔ ∀𝑤(𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))))
5		eleq1a 2839	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆 → (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → 𝑤 ∈ Word 𝑆))
6	1, 2, 5	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → 𝑤 ∈ Word 𝑆)
7		fveq2 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (♯‘𝑤) = (♯‘⟨“𝐴”⟩))
8	7	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘⟨“𝐴”⟩) − 1))
9		s1len 14654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
10	9	oveq1i 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘⟨“𝐴”⟩) − 1) = (1 − 1)
11		1m1e0 12365	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
12	10, 11	eqtri 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘⟨“𝐴”⟩) − 1) = 0
13	8, 12	eqtrdi 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → ((♯‘𝑤) − 1) = 0)
14	13	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = (0..^0))
15		fzo0 13740	. . . . . 6 ⊢ (0..^0) = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2796	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅)
17		rzal 4532	. . . . 5 ⊢ ((0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅ → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))
19	6, 18	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1))))
20	4, 19	mpgbir 1797	. 2 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))}
21		df-upword 46798	. 2 ⊢ UpWord 𝑆 = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))}
22	20, 21	eleqtrri 2843	1 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ ∈ UpWord 𝑆

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ∀wral 3067  ∅c0 4352   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   − cmin 11520  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  Word cword 14562  ⟨“cs1 14643  UpWord cupword 46797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-s1 14644  df-upword 46798

This theorem is referenced by: (None)