Users' Mathboxes Mathbox for Ender Ting < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  upwordsing Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upwordsing 45197
Description: Singleton is an increasing sequence for any compatible range. (Contributed by Ender Ting, 21-Nov-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
upwordsing.1 𝐴𝑆
Assertion
Ref Expression
upwordsing ⟨“𝐴”⟩ ∈ UpWord 𝑆

Proof of Theorem upwordsing
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upwordsing.1 . . . 4 𝐴𝑆
2 s1cl 14497 . . . 4 (𝐴𝑆 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆)
3 elab6g 3626 . . . 4 (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆 → (⟨“𝐴”⟩ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))} ↔ ∀𝑤(𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1))))))
41, 2, 3mp2b 10 . . 3 (⟨“𝐴”⟩ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))} ↔ ∀𝑤(𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))))
5 s1cl 14497 . . . . 5 (𝐴𝑆 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆)
6 eleq1a 2833 . . . . 5 (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆 → (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → 𝑤 ∈ Word 𝑆))
71, 5, 6mp2b 10 . . . 4 (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → 𝑤 ∈ Word 𝑆)
8 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (♯‘𝑤) = (♯‘⟨“𝐴”⟩))
98oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘⟨“𝐴”⟩) − 1))
10 s1len 14501 . . . . . . . . . 10 (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
1110oveq1i 7372 . . . . . . . . 9 ((♯‘⟨“𝐴”⟩) − 1) = (1 − 1)
12 1m1e0 12232 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
1311, 12eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((♯‘⟨“𝐴”⟩) − 1) = 0
149, 13eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → ((♯‘𝑤) − 1) = 0)
1514oveq2d 7378 . . . . . 6 (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = (0..^0))
16 fzo0 13603 . . . . . 6 (0..^0) = ∅
1715, 16eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅)
18 rzal 4471 . . . . 5 ((0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅ → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))
1917, 18syl 17 . . . 4 (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))
207, 19jca 513 . . 3 (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1))))
214, 20mpgbir 1802 . 2 ⟨“𝐴”⟩ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))}
22 df-upword 45192 . 2 UpWord 𝑆 = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))}
2321, 22eleqtrri 2837 1 ⟨“𝐴”⟩ ∈ UpWord 𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wal 1540   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2714  wral 3065  c0 4287   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196  cmin 11392  ..^cfzo 13574  chash 14237  Word cword 14409  ⟨“cs1 14490  UpWord cupword 45191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-s1 14491  df-upword 45192
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator