Theorem upwordsing 46869

Description: Singleton is an increasing sequence for any compatible range. (Contributed by Ender Ting, 21-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
upwordsing.1	⊢ 𝐴 ∈ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
upwordsing	⊢ ⟨“𝐴”⟩ ∈ UpWord 𝑆

Proof of Theorem upwordsing

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upwordsing.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑆
2		s1cl 14527	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆)
3		elab6g 3626	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆 → (⟨“𝐴”⟩ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))} ↔ ∀𝑤(𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1))))))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))} ↔ ∀𝑤(𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))))
5		eleq1a 2823	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆 → (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → 𝑤 ∈ Word 𝑆))
6	1, 2, 5	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → 𝑤 ∈ Word 𝑆)
7		fveq2 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (♯‘𝑤) = (♯‘⟨“𝐴”⟩))
8	7	oveq1d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘⟨“𝐴”⟩) − 1))
9		s1len 14531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
10	9	oveq1i 7363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘⟨“𝐴”⟩) − 1) = (1 − 1)
11		1m1e0 12218	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
12	10, 11	eqtri 2752	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘⟨“𝐴”⟩) − 1) = 0
13	8, 12	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → ((♯‘𝑤) − 1) = 0)
14	13	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = (0..^0))
15		fzo0 13604	. . . . . 6 ⊢ (0..^0) = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅)
17		rzal 4462	. . . . 5 ⊢ ((0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅ → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))
19	6, 18	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐴”⟩ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1))))
20	4, 19	mpgbir 1799	. 2 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))}
21		df-upword 46864	. 2 ⊢ UpWord 𝑆 = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))}
22	20, 21	eleqtrri 2827	1 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ ∈ UpWord 𝑆

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∀wral 3044  ∅c0 4286   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   < clt 11168   − cmin 11365  ..^cfzo 13575  ♯chash 14255  Word cword 14438  ⟨“cs1 14520  UpWord cupword 46863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-s1 14521  df-upword 46864

This theorem is referenced by: (None)