MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  monoord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem monoord 13495
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, increasing case. (Contributed by NM, 13-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
monoord.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
monoord.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
monoord.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
Assertion
Ref Expression
monoord (𝜑 → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem monoord
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoord.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzfz2 13009 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
4 eleq1 2821 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)))
5 fveq2 6677 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
65breq2d 5043 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀)))
74, 6imbi12d 348 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀))))
87imbi2d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀)))))
9 eleq1 2821 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
10 fveq2 6677 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑛))
1110breq2d 5043 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → ((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛)))
129, 11imbi12d 348 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛))))
1312imbi2d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛)))))
14 eleq1 2821 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
15 fveq2 6677 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
1615breq2d 5043 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
1714, 16imbi12d 348 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
1817imbi2d 344 . . . 4 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))))
19 eleq1 2821 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
20 fveq2 6677 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑁))
2120breq2d 5043 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁)))
2219, 21imbi12d 348 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁))))
2322imbi2d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁)))))
24 fveq2 6677 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
2524eleq1d 2818 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℝ))
26 monoord.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2726ralrimiva 3097 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
28 eluzfz1 13008 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
291, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
3025, 27, 29rspcdva 3529 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
3130leidd 11287 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀))
3231a1d 25 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀)))
33 peano2fzr 13014 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
3433adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
3534expr 460 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
3635imim1d 82 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛)) → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛))))
37 fveq2 6677 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
38 fvoveq1 7196 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
3937, 38breq12d 5044 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
40 monoord.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
4140ralrimiva 3097 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
4241adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
43 simprl 771 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
44 eluzelz 12337 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
46 simprr 773 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
47 elfzuz3 12998 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)))
49 eluzp1m1 12353 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛))
5045, 48, 49syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛))
51 elfzuzb 12995 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛)))
5243, 50, 51sylanbrc 586 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
5339, 42, 52rspcdva 3529 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5430adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
5537eleq1d 2818 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℝ))
5627adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
5755, 56, 34rspcdva 3529 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
58 fveq2 6677 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5958eleq1d 2818 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ))
6059, 56, 46rspcdva 3529 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
61 letr 10815 . . . . . . 7 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛) ∧ (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6254, 57, 60, 61syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛) ∧ (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6353, 62mpan2d 694 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → ((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6436, 63animpimp2impd 845 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛))) → (𝜑 → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))))
658, 13, 18, 23, 32, 64uzind4i 12395 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁))))
661, 65mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁)))
673, 66mpd 15 1 (𝜑 → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054   class class class wbr 5031  cfv 6340  (class class class)co 7173  cr 10617  1c1 10619   + caddc 10621  cle 10757  cmin 10951  cz 12065  cuz 12327  ...cfz 12984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-fz 12985
This theorem is referenced by:  monoord2  13496  sermono  13497  climub  15114  isercolllem1  15117  climsup  15122  dvfsumlem3  24783  emcllem7  25742  lmdvg  31478  monoords  42397  iblspltprt  43079  itgspltprt  43085  fourierdlem11  43224  fourierdlem12  43225  fourierdlem15  43228  fourierdlem50  43262  fourierdlem79  43291
  Copyright terms: Public domain W3C validator