Theorem vdegp1ci 27916

Description: The induction step for a vertex degree calculation, for example in the Königsberg graph. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑋, 𝑈} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈, yields degree 𝑃 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdegp1ai.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1ai.u	⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
vdegp1ai.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1ai.w	⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
vdegp1ai.d	⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai.vf	⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
vdegp1bi.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
vdegp1bi.xu	⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
vdegp1ci.f	⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩)

Assertion

Ref	Expression
vdegp1ci	⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1ci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdegp1ai.vg	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vdegp1ai.u	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
3		vdegp1ai.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4		vdegp1ai.w	. 2 ⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
5		vdegp1ai.d	. 2 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
6		vdegp1ai.vf	. 2 ⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
7		vdegp1bi.x	. 2 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
8		vdegp1bi.xu	. 2 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
9		vdegp1ci.f	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩)
10		prcom 4674	. . . . 5 ⊢ {𝑋, 𝑈} = {𝑈, 𝑋}
11		s1eq 14316	. . . . 5 ⊢ ({𝑋, 𝑈} = {𝑈, 𝑋} → ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩ = ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩ = ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩
13	12	oveq2i 7283	. . 3 ⊢ (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
14	9, 13	eqtri 2768	. 2 ⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14	vdegp1bi 27915	1 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  {crab 3070   ∖ cdif 3889  ∅c0 4262  𝒫 cpw 4539  {csn 4567  {cpr 4569   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  1c1 10883   + caddc 10885   ≤ cle 11021  2c2 12039  ♯chash 14055  Word cword 14228   ++ cconcat 14284  ⟨“cs1 14311  Vtxcvtx 27377  iEdgciedg 27378  VtxDegcvtxdg 27843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-oadd 8293  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-dju 9670  df-card 9708  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-n0 12245  df-xnn0 12317  df-z 12331  df-uz 12594  df-xadd 12860  df-fz 13251  df-fzo 13394  df-hash 14056  df-word 14229  df-concat 14285  df-s1 14312  df-vtx 27379  df-iedg 27380  df-vtxdg 27844

This theorem is referenced by:  konigsberglem2  28626  konigsberglem3  28627