Theorem vdegp1ci 29740

Description: The induction step for a vertex degree calculation, for example in the Königsberg graph. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑋, 𝑈} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈, yields degree 𝑃 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdegp1ai.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1ai.u	⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
vdegp1ai.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1ai.w	⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
vdegp1ai.d	⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai.vf	⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
vdegp1bi.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
vdegp1bi.xu	⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
vdegp1ci.f	⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩)

Assertion

Ref	Expression
vdegp1ci	⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1ci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdegp1ai.vg	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vdegp1ai.u	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
3		vdegp1ai.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4		vdegp1ai.w	. 2 ⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
5		vdegp1ai.d	. 2 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
6		vdegp1ai.vf	. 2 ⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
7		vdegp1bi.x	. 2 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
8		vdegp1bi.xu	. 2 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
9		vdegp1ci.f	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩)
10		prcom 4692	. . . . 5 ⊢ {𝑋, 𝑈} = {𝑈, 𝑋}
11		s1eq 14615	. . . . 5 ⊢ ({𝑋, 𝑈} = {𝑈, 𝑋} → ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩ = ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩ = ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩
13	12	oveq2i 7408	. . 3 ⊢ (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑈}”⟩) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
14	9, 13	eqtri 2786	. 2 ⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14	vdegp1bi 29739	1 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)

Syntax hints:   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  {crab 3415   ∖ cdif 3902  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4556  {csn 4583  {cpr 4585   class class class wbr 5101  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  1c1 11075   + caddc 11077   ≤ cle 11218  2c2 12273  ♯chash 14344  Word cword 14527   ++ cconcat 14584  ⟨“cs1 14610  Vtxcvtx 29198  iEdgciedg 29199  VtxDegcvtxdg 29667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-oadd 8442  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-n0 12483  df-xnn0 12556  df-z 12570  df-uz 12841  df-xadd 13116  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-hash 14345  df-word 14528  df-concat 14585  df-s1 14611  df-vtx 29200  df-iedg 29201  df-vtxdg 29668

This theorem is referenced by:  konigsberglem2  30456  konigsberglem3  30457