Theorem wlklenvclwlk 27124

Description: The number of vertices in a walk equals the length of the walk after it is "closed" (i.e. enhanced by an edge from its last vertex to its first vertex). (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Jun-2018.) (Revised by AV, 2-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlklenvclwlk	⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))

Proof of Theorem wlklenvclwlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4967	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ↔ ⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
2		wlklenvp1 27088	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
3		wlkcl 27085	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
4		wrdsymb1 13756	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
5	4	s1cld 13806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
6		ccatlen 13778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)))
7	5, 6	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)))
8		s1len 13809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1)
10	9	oveq2d 7037	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
11	7, 10	eqtrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
12	11	eqeq1d 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1) ↔ ((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1)))
13		lencl 13734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
14		eqcom 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1) ↔ ((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1))
15		nn0cn 11760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
17		nn0cn 11760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
19		1cnd 10487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
20	16, 18, 19	addcan2d 10696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1) ↔ (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
21	20	biimpd 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
22	14, 21	syl5bi 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
23	22	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊))))
24	23	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊))))
25	13, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊))))
26	25	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊))))
27	12, 26	sylbid 241	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊))))
28	27	com3l 89	. . . 4 ⊢ ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊))))
29	2, 3, 28	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
30	1, 29	sylbir 236	. 2 ⊢ (⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
31	30	com12 32	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ⟨cop 4482   class class class wbr 4966  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021  ℂcc 10386  0cc0 10388  1c1 10389   + caddc 10391   ≤ cle 10527  ℕ₀cn0 11750  ♯chash 13545  Word cword 13712   ++ cconcat 13773  ⟨“cs1 13798  Vtxcvtx 26469  Walkscwlks 27066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-ifp 1056  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-hash 13546  df-word 13713  df-concat 13774  df-s1 13799  df-wlks 27069

This theorem is referenced by: (None)