Theorem wlklenvclwlk 30167

Description: The number of vertices in a walk equals the length of the walk after it is "closed" (i.e. enhanced by an edge from its last vertex to its first vertex). (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Jun-2018.) (Revised by AV, 2-May-2021.) (Revised by JJ, 14-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
wlklenvclwlk	⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))

Proof of Theorem wlklenvclwlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5103	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ↔ ⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
2		wlkcl 30129	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
3		wlklenvp1 30132	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
4	2, 3	jca 521	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1)))
5	1, 4	sylbir 238	. 2 ⊢ (⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1)))
6		ccatws1len 14735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
7	6	eqeq1d 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1) ↔ ((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1)))
8		eqcom 2767	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) + 1) = ((♯‘𝐹) + 1) ↔ ((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1))
9	7, 8	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1) ↔ ((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1)))
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1) ↔ ((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1)))
11		nn0cn 12585	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
12	11	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
13		lencl 14645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
14	13	nn0cnd 12638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
16		1cnd 11273	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
17	12, 15, 16	addcan2d 11485	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1) ↔ (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
18	17	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝐹) + 1) = ((♯‘𝑊) + 1) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
19	10, 18	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
20	19	expimpd 459	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1)) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))
21	5, 20	syl5 35	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (⟨𝐹, (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11169  0cc0 11171  1c1 11172   + caddc 11174  ℕ₀cn0 12575  ♯chash 14441  Word cword 14625   ++ cconcat 14682  ⟨“cs1 14709  Vtxcvtx 29507  Walkscwlks 30110

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-hash 14442  df-word 14626  df-concat 14683  df-s1 14710  df-wlks 30113

This theorem is used by: (None)