MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlklenvclwlk Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wlklenvclwlk 29381
Description: The number of vertices in a walk equals the length of the walk after it is "closed" (i.e. enhanced by an edge from its last vertex to its first vertex). (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Jun-2018.) (Revised by AV, 2-May-2021.) (Revised by JJ, 14-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
wlklenvclwlk (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (⟨𝐹, (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (Walksβ€˜πΊ) β†’ (β™―β€˜πΉ) = (β™―β€˜π‘Š)))
Proof of Theorem wlklenvclwlk
StepHypRef Expression
1 df-br 5139 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ↔ ⟨𝐹, (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (Walksβ€˜πΊ))
2 wlkcl 29341 . . . 4 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
3 wlklenvp1 29344 . . . 4 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β†’ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜πΉ) + 1))
42, 3jca 511 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β†’ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜πΉ) + 1)))
51, 4sylbir 234 . 2 (⟨𝐹, (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (Walksβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜πΉ) + 1)))
6 ccatws1len 14567 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
76eqeq1d 2726 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜πΉ) + 1) ↔ ((β™―β€˜π‘Š) + 1) = ((β™―β€˜πΉ) + 1)))
8 eqcom 2731 . . . . . 6 (((β™―β€˜π‘Š) + 1) = ((β™―β€˜πΉ) + 1) ↔ ((β™―β€˜πΉ) + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
97, 8bitrdi 287 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜πΉ) + 1) ↔ ((β™―β€˜πΉ) + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
109adantr 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜πΉ) + 1) ↔ ((β™―β€˜πΉ) + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
11 nn0cn 12479 . . . . . . 7 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚)
1211adantl 481 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚)
13 lencl 14480 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
1413nn0cnd 12531 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
1514adantr 480 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
16 1cnd 11206 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
1712, 15, 16addcan2d 11415 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0) β†’ (((β™―β€˜πΉ) + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1) ↔ (β™―β€˜πΉ) = (β™―β€˜π‘Š)))
1817biimpd 228 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0) β†’ (((β™―β€˜πΉ) + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1) β†’ (β™―β€˜πΉ) = (β™―β€˜π‘Š)))
1910, 18sylbid 239 . . 3 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜πΉ) + 1) β†’ (β™―β€˜πΉ) = (β™―β€˜π‘Š)))
2019expimpd 453 . 2 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜πΉ) + 1)) β†’ (β™―β€˜πΉ) = (β™―β€˜π‘Š)))
215, 20syl5 34 1 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (⟨𝐹, (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (Walksβ€˜πΊ) β†’ (β™―β€˜πΉ) = (β™―β€˜π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4626   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  β„•0cn0 12469  β™―chash 14287  Word cword 14461   ++ cconcat 14517  βŸ¨β€œcs1 14542  Vtxcvtx 28725  Walkscwlks 29322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-hash 14288  df-word 14462  df-concat 14518  df-s1 14543  df-wlks 29325
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator