MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3wlkond Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3wlkond 29999
Description: A walk of length 3 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by AV, 8-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©
3wlkd.f 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ©
3wlkd.s (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n (πœ‘ β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷))
3wlkd.e (πœ‘ β†’ ({𝐴, 𝐡} βŠ† (πΌβ€˜π½) ∧ {𝐡, 𝐢} βŠ† (πΌβ€˜πΎ) ∧ {𝐢, 𝐷} βŠ† (πΌβ€˜πΏ)))
3wlkd.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3wlkd.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
3wlkond (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)

Proof of Theorem 3wlkond
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . . 4 𝑃 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©
2 3wlkd.f . . . 4 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎπΏβ€βŸ©
3 3wlkd.s . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4 3wlkd.n . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢) ∧ (𝐡 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐷) ∧ 𝐢 β‰  𝐷))
5 3wlkd.e . . . 4 (πœ‘ β†’ ({𝐴, 𝐡} βŠ† (πΌβ€˜π½) ∧ {𝐡, 𝐢} βŠ† (πΌβ€˜πΎ) ∧ {𝐢, 𝐷} βŠ† (πΌβ€˜πΏ)))
6 3wlkd.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
7 3wlkd.i . . . 4 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 73wlkd 29998 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
98wlkonwlk1l 29495 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹((π‘ƒβ€˜0)(WalksOnβ€˜πΊ)(lastSβ€˜π‘ƒ))𝑃)
101, 2, 33wlkdlem3 29989 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜1) = 𝐡) ∧ ((π‘ƒβ€˜2) = 𝐢 ∧ (π‘ƒβ€˜3) = 𝐷)))
11 simpll 765 . . . . . 6 ((((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜1) = 𝐡) ∧ ((π‘ƒβ€˜2) = 𝐢 ∧ (π‘ƒβ€˜3) = 𝐷)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = 𝐴)
1211eqcomd 2733 . . . . 5 ((((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜1) = 𝐡) ∧ ((π‘ƒβ€˜2) = 𝐢 ∧ (π‘ƒβ€˜3) = 𝐷)) β†’ 𝐴 = (π‘ƒβ€˜0))
1310, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (π‘ƒβ€˜0))
141fveq2i 6903 . . . . . . 7 (lastSβ€˜π‘ƒ) = (lastSβ€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©)
15 fvex 6913 . . . . . . . . 9 (π‘ƒβ€˜3) ∈ V
16 eleq1 2816 . . . . . . . . 9 ((π‘ƒβ€˜3) = 𝐷 β†’ ((π‘ƒβ€˜3) ∈ V ↔ 𝐷 ∈ V))
1715, 16mpbii 232 . . . . . . . 8 ((π‘ƒβ€˜3) = 𝐷 β†’ 𝐷 ∈ V)
18 lsws4 14895 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ V β†’ (lastSβ€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©) = 𝐷)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((π‘ƒβ€˜3) = 𝐷 β†’ (lastSβ€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©) = 𝐷)
2014, 19eqtr2id 2780 . . . . . 6 ((π‘ƒβ€˜3) = 𝐷 β†’ 𝐷 = (lastSβ€˜π‘ƒ))
2120ad2antll 727 . . . . 5 ((((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜1) = 𝐡) ∧ ((π‘ƒβ€˜2) = 𝐢 ∧ (π‘ƒβ€˜3) = 𝐷)) β†’ 𝐷 = (lastSβ€˜π‘ƒ))
2210, 21syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (lastSβ€˜π‘ƒ))
2313, 22oveq12d 7442 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐷) = ((π‘ƒβ€˜0)(WalksOnβ€˜πΊ)(lastSβ€˜π‘ƒ)))
2423breqd 5161 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃 ↔ 𝐹((π‘ƒβ€˜0)(WalksOnβ€˜πΊ)(lastSβ€˜π‘ƒ))𝑃))
259, 24mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐴(WalksOnβ€˜πΊ)𝐷)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947  {cpr 4632   class class class wbr 5150  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  0cc0 11144  1c1 11145  2c2 12303  3c3 12304  lastSclsw 14550  βŸ¨β€œcs3 14831  βŸ¨β€œcs4 14832  Vtxcvtx 28827  iEdgciedg 28828  WalksOncwlkson 29429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-hash 14328  df-word 14503  df-lsw 14551  df-concat 14559  df-s1 14584  df-s2 14837  df-s3 14838  df-s4 14839  df-wlks 29431  df-wlkson 29432
This theorem is referenced by:  3trlond  30001
  Copyright terms: Public domain W3C validator