MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3wlkond Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3wlkond 28100
Description: A walk of length 3 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by AV, 8-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
3wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
3wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
3wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
3wlkond (𝜑𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃)

Proof of Theorem 3wlkond
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . . 4 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2 3wlkd.f . . . 4 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3 3wlkd.s . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
4 3wlkd.n . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
5 3wlkd.e . . . 4 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
6 3wlkd.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7 3wlkd.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 73wlkd 28099 . . 3 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
98wlkonwlk1l 27597 . 2 (𝜑𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃)
101, 2, 33wlkdlem3 28090 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
11 simpll 767 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘0) = 𝐴)
1211eqcomd 2744 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → 𝐴 = (𝑃‘0))
1310, 12syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 = (𝑃‘0))
141fveq2i 6671 . . . . . . 7 (lastS‘𝑃) = (lastS‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
15 fvex 6681 . . . . . . . . 9 (𝑃‘3) ∈ V
16 eleq1 2820 . . . . . . . . 9 ((𝑃‘3) = 𝐷 → ((𝑃‘3) ∈ V ↔ 𝐷 ∈ V))
1715, 16mpbii 236 . . . . . . . 8 ((𝑃‘3) = 𝐷𝐷 ∈ V)
18 lsws4 14350 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ V → (lastS‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 𝐷)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝑃‘3) = 𝐷 → (lastS‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 𝐷)
2014, 19eqtr2id 2786 . . . . . 6 ((𝑃‘3) = 𝐷𝐷 = (lastS‘𝑃))
2120ad2antll 729 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → 𝐷 = (lastS‘𝑃))
2210, 21syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷 = (lastS‘𝑃))
2313, 22oveq12d 7182 . . 3 (𝜑 → (𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐷) = ((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃)))
2423breqd 5038 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃))
259, 24mpbird 260 1 (𝜑𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  Vcvv 3397  wss 3841  {cpr 4515   class class class wbr 5027  cfv 6333  (class class class)co 7164  0cc0 10608  1c1 10609  2c2 11764  3c3 11765  lastSclsw 13996  ⟨“cs3 14286  ⟨“cs4 14287  Vtxcvtx 26933  iEdgciedg 26934  WalksOncwlkson 27531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-hash 13776  df-word 13949  df-lsw 13997  df-concat 14005  df-s1 14032  df-s2 14292  df-s3 14293  df-s4 14294  df-wlks 27533  df-wlkson 27534
This theorem is referenced by:  3trlond  28102
  Copyright terms: Public domain W3C validator