Theorem 3wlkond 29929

Description: A walk of length 3 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by AV, 8-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
3wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
3wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
3wlkond	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃)

Proof of Theorem 3wlkond

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2		3wlkd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3		3wlkd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4		3wlkd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
5		3wlkd.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
6		3wlkd.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		3wlkd.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	3wlkd 29928	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
9	8	wlkonwlk1l 29425	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃)
10	1, 2, 3	3wlkdlem3 29919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
11		simpll 764	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘0) = 𝐴)
12	11	eqcomd 2732	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → 𝐴 = (𝑃‘0))
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑃‘0))
14	1	fveq2i 6887	. . . . . . 7 ⊢ (lastS‘𝑃) = (lastS‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
15		fvex 6897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃‘3) ∈ V
16		eleq1 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃‘3) = 𝐷 → ((𝑃‘3) ∈ V ↔ 𝐷 ∈ V))
17	15, 16	mpbii 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘3) = 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
18		lsws4 14861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ V → (lastS‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 𝐷)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘3) = 𝐷 → (lastS‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 𝐷)
20	14, 19	eqtr2id 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃‘3) = 𝐷 → 𝐷 = (lastS‘𝑃))
21	20	ad2antll 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → 𝐷 = (lastS‘𝑃))
22	10, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (lastS‘𝑃))
23	13, 22	oveq12d 7422	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐷) = ((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃)))
24	23	breqd 5152	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃 ↔ 𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃))
25	9, 24	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐷)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943  {cpr 4625   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  1c1 11110  2c2 12268  3c3 12269  lastSclsw 14516  ⟨“cs3 14797  ⟨“cs4 14798  Vtxcvtx 28760  iEdgciedg 28761  WalksOncwlkson 29359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14294  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-s4 14805  df-wlks 29361  df-wlkson 29362

This theorem is referenced by:  3trlond  29931