Theorem wlkp1lem2 29931

Description: Lemma for wlkp1 29938. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})

Assertion

Ref	Expression
wlkp1lem2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))

Proof of Theorem wlkp1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
2	1	fveq2i 6874	. . 3 ⊢ (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})))
4		opex 5436	. . 3 ⊢ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V
5		wlkp1.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
6		wlkp1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7	6	wlkf 29873	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
8		wrdfin 14559	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹 ∈ Fin)
9	5, 7, 8	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Fin)
10		wlkp1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
11		fzonel 13693	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
13		eleq1 2853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
14	13	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
15	12, 14	imbitrrid 249	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
16	10, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
17		wrdfn 14555	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
18		fnop 6634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
19	18	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
20	5, 7, 17, 19	4syl 20	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
21	16, 20	mtod 201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
22	9, 21	jca 520	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹))
23		hashunsng 14419	. . 3 ⊢ (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V → ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹) → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + 1)))
24	4, 22, 23	mpsyl 69	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + 1))
25	10	eqcomi 2774	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = 𝑁)
27	26	oveq1d 7415	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) + 1) = (𝑁 + 1))
28	3, 24, 27	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ∪ cun 3905   ⊆ wss 3907  {csn 4585  {cpr 4587  ⟨cop 4591   class class class wbr 5105  dom cdm 5652  Fun wfun 6519   Fn wfn 6520  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Fincfn 8931  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091  ..^cfzo 13673  ♯chash 14357  Word cword 14540  Vtxcvtx 29255  iEdgciedg 29256  Edgcedg 29306  Walkscwlks 29855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-hash 14358  df-word 14541  df-wlks 29858

This theorem is referenced by:  wlkp1lem8  29937  wlkp1  29938  eupthp1  30476