Theorem wlkp1lem2 27464

Description: Lemma for wlkp1 27471. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})

Assertion

Ref	Expression
wlkp1lem2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))

Proof of Theorem wlkp1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
2	1	fveq2i 6648	. . 3 ⊢ (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})))
4		opex 5321	. . 3 ⊢ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V
5		wlkp1.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
6		wlkp1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7	6	wlkf 27404	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
8		wrdfin 13875	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹 ∈ Fin)
9	5, 7, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Fin)
10		wlkp1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
11		fzonel 13046	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
13		eleq1 2877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
14	13	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
15	12, 14	syl5ibr 249	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
16	10, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
17		wrdfn 13871	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
18	5, 7, 17	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
19		fnop 6431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
20	19	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
21	18, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
22	16, 21	mtod 201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
23	9, 22	jca 515	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹))
24		hashunsng 13749	. . 3 ⊢ (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V → ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹) → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + 1)))
25	4, 23, 24	mpsyl 68	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + 1))
26	10	eqcomi 2807	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = 𝑁)
28	27	oveq1d 7150	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) + 1) = (𝑁 + 1))
29	3, 25, 28	3eqtrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881  {csn 4525  {cpr 4527  ⟨cop 4531   class class class wbr 5030  dom cdm 5519  Fun wfun 6318   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  ..^cfzo 13028  ♯chash 13686  Word cword 13857  Vtxcvtx 26789  iEdgciedg 26790  Edgcedg 26840  Walkscwlks 27386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-wlks 27389

This theorem is referenced by:  wlkp1lem8  27470  wlkp1  27471  eupthp1  28001