Theorem wlkp1lem2 29766

Description: Lemma for wlkp1 29773. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})

Assertion

Ref	Expression
wlkp1lem2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))

Proof of Theorem wlkp1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
2	1	fveq2i 6837	. . 3 ⊢ (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})))
4		opex 5410	. . 3 ⊢ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V
5		wlkp1.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
6		wlkp1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7	6	wlkf 29708	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
8		wrdfin 14492	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹 ∈ Fin)
9	5, 7, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Fin)
10		wlkp1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
11		fzonel 13626	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
13		eleq1 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
14	13	notbid 319	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
15	12, 14	imbitrrid 247	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
16	10, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
17		wrdfn 14488	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
18		fnop 6601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
19	18	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
20	5, 7, 17, 19	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
21	16, 20	mtod 199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
22	9, 21	jca 516	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹))
23		hashunsng 14352	. . 3 ⊢ (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V → ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹) → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + 1)))
24	4, 22, 23	mpsyl 68	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + 1))
25	10	eqcomi 2749	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = 𝑁)
27	26	oveq1d 7378	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) + 1) = (𝑁 + 1))
28	3, 24, 27	3eqtrd 2779	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  {csn 4562  {cpr 4564  ⟨cop 4568   class class class wbr 5079  dom cdm 5625  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039  ..^cfzo 13606  ♯chash 14290  Word cword 14473  Vtxcvtx 29090  iEdgciedg 29091  Edgcedg 29141  Walkscwlks 29690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-ifp 1069  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-hash 14291  df-word 14474  df-wlks 29693

This theorem is referenced by:  wlkp1lem8  29772  wlkp1  29773  eupthp1  30311