Theorem wlkp1lem2 28042

Description: Lemma for wlkp1 28049. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})

Assertion

Ref	Expression
wlkp1lem2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))

Proof of Theorem wlkp1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
2	1	fveq2i 6777	. . 3 ⊢ (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})))
4		opex 5379	. . 3 ⊢ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V
5		wlkp1.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
6		wlkp1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7	6	wlkf 27981	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
8		wrdfin 14235	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹 ∈ Fin)
9	5, 7, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Fin)
10		wlkp1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
11		fzonel 13401	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
13		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
14	13	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
15	12, 14	syl5ibr 245	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
16	10, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
17		wrdfn 14231	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
18	5, 7, 17	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
19		fnop 6542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
20	19	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
21	18, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
22	16, 21	mtod 197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
23	9, 22	jca 512	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹))
24		hashunsng 14107	. . 3 ⊢ (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V → ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹) → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + 1)))
25	4, 23, 24	mpsyl 68	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + 1))
26	10	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = 𝑁)
28	27	oveq1d 7290	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) + 1) = (𝑁 + 1))
29	3, 25, 28	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  {csn 4561  {cpr 4563  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  Fun wfun 6427   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217  Vtxcvtx 27366  iEdgciedg 27367  Edgcedg 27417  Walkscwlks 27963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-wlks 27966

This theorem is referenced by:  wlkp1lem8  28048  wlkp1  28049  eupthp1  28580