MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wspniunwspnon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wspniunwspnon 29773
Description: The set of nonempty simple paths of fixed length is the double union of the simple paths of the fixed length between different vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.) (Proof shortened by AV, 15-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
wspniunwspnon.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wspniunwspnon ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 ∪ 𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})(𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺,𝑊   𝑥,𝑁,𝑊   𝑥,𝑈,𝑊   𝑥,𝑉,𝑊

Proof of Theorem wspniunwspnon
Dummy variables 𝑝 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wspthsnonn0vne 29767 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ 𝑊)
21ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ≠ ∅ → 𝑥 ≠ 𝑊))
32adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → ((𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ≠ ∅ → 𝑥 ≠ 𝑊))
4 ne0i 4331 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) → (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ≠ ∅)
53, 4impel 504 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)) → 𝑥 ≠ 𝑊)
65necomd 2986 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)) → 𝑊 ≠ 𝑥)
76ex 411 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) → 𝑊 ≠ 𝑥))
87pm4.71rd 561 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ↔ (𝑊 ≠ 𝑥 ∧ 𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊))))
98rexbidv 3169 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (∃𝑊 ∈ 𝑉 𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑊 ∈ 𝑉 (𝑊 ≠ 𝑥 ∧ 𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊))))
10 rexdifsn 4794 . . . . . 6 (∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑊 ∈ 𝑉 (𝑊 ≠ 𝑥 ∧ 𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)))
119, 10bitr4di 288 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (∃𝑊 ∈ 𝑉 𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)))
1211rexbidv 3169 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑊 ∈ 𝑉 𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)))
13 wspniunwspnon.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1413wspthsnwspthsnon 29766 . . . 4 (𝑀 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑊 ∈ 𝑉 𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊))
15 vex 3467 . . . . 5 𝑀 ∈ V
16 eleq1w 2808 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑀 → (𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ↔ 𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)))
1716rexbidv 3169 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑀 → (∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)))
1817rexbidv 3169 . . . . 5 (𝑝 = 𝑀 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)))
1915, 18elab 3661 . . . 4 (𝑀 ∈ {𝑝 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊))
2012, 14, 193bitr4g 313 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ 𝑀 ∈ {𝑝 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)}))
2120eqrdv 2723 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = {𝑝 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)})
22 dfiunv2 5034 . 2 ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 ∪ 𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})(𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) = {𝑝 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)}
2321, 22eqtr4di 2783 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 ∪ 𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})(𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702   ≠ wne 2930  âˆƒwrex 3060   ∖ cdif 3938  âˆ…c0 4319  {csn 4625  âˆª ciun 4992  â€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  â„•cn 12237  Vtxcvtx 28848   WSPathsN cwwspthsn 29678   WSPathsNOn cwwspthsnon 29679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-hash 14317  df-word 14492  df-wlks 29452  df-wlkson 29453  df-trls 29545  df-trlson 29546  df-pths 29569  df-spths 29570  df-spthson 29572  df-wwlks 29680  df-wwlksn 29681  df-wwlksnon 29682  df-wspthsn 29683  df-wspthsnon 29684
This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  30181
  Copyright terms: Public domain W3C validator