MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wspniunwspnon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wspniunwspnon 29953
Description: The set of nonempty simple paths of fixed length is the double union of the simple paths of the fixed length between different vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.) (Proof shortened by AV, 15-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
wspniunwspnon.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wspniunwspnon ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = 𝑥𝑉 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})(𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem wspniunwspnon
Dummy variables 𝑝 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wspthsnonn0vne 29947 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ≠ ∅) → 𝑥𝑦)
21ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ≠ ∅ → 𝑥𝑦))
32adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → ((𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ≠ ∅ → 𝑥𝑦))
4 ne0i 4347 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) → (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ≠ ∅)
53, 4impel 505 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)) → 𝑥𝑦)
65necomd 2994 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)) → 𝑦𝑥)
76ex 412 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → (𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) → 𝑦𝑥))
87pm4.71rd 562 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → (𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ (𝑦𝑥𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))))
98rexbidv 3177 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → (∃𝑦𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦𝑉 (𝑦𝑥𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))))
10 rexdifsn 4799 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦𝑉 (𝑦𝑥𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
119, 10bitr4di 289 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → (∃𝑦𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
1211rexbidv 3177 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → (∃𝑥𝑉𝑦𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
13 wspniunwspnon.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1413wspthsnwspthsnon 29946 . . . 4 (𝑤 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))
15 vex 3482 . . . . 5 𝑤 ∈ V
16 eleq1w 2822 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑤 → (𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
1716rexbidv 3177 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
1817rexbidv 3177 . . . . 5 (𝑝 = 𝑤 → (∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
1915, 18elab 3681 . . . 4 (𝑤 ∈ {𝑝 ∣ ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)} ↔ ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))
2012, 14, 193bitr4g 314 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → (𝑤 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ 𝑤 ∈ {𝑝 ∣ ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)}))
2120eqrdv 2733 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = {𝑝 ∣ ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)})
22 dfiunv2 5040 . 2 𝑥𝑉 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})(𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) = {𝑝 ∣ ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)}
2321, 22eqtr4di 2793 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = 𝑥𝑉 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})(𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wne 2938  wrex 3068  cdif 3960  c0 4339  {csn 4631   ciun 4996  cfv 6563  (class class class)co 7431  cn 12264  Vtxcvtx 29028   WSPathsN cwwspthsn 29858   WSPathsNOn cwwspthsnon 29859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-wlks 29632  df-wlkson 29633  df-trls 29725  df-trlson 29726  df-pths 29749  df-spths 29750  df-spthson 29752  df-wwlks 29860  df-wwlksn 29861  df-wwlksnon 29862  df-wspthsn 29863  df-wspthsnon 29864
This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  30361
  Copyright terms: Public domain W3C validator