Theorem wspniunwspnon 30542

Description: The set of nonempty simple paths of fixed length is the double union of the simple paths of the fixed length between different vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.) (Proof shortened by AV, 15-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wspniunwspnon.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wspniunwspnon	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 ∪ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})(𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem wspniunwspnon

Dummy variables 𝑝 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wspthsnonn0vne 30536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ 𝑦)
2	1	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ≠ ∅ → 𝑥 ≠ 𝑦))
3	2	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → ((𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ≠ ∅ → 𝑥 ≠ 𝑦))
4		ne0i 4290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) → (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ≠ ∅)
5	3, 4	impel 515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
6	5	necomd 3014	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)) → 𝑦 ≠ 𝑥)
7	6	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) → 𝑦 ≠ 𝑥))
8	7	pm4.71rd 572	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ (𝑦 ≠ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))))
9	8	rexbidv 3190	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (∃𝑦 ∈ 𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))))
10		rexdifsn 4757	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
11	9, 10	bitr4di 292	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (∃𝑦 ∈ 𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
12	11	rexbidv 3190	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
13		wspniunwspnon.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
14	13	wspthsnwspthsnon 30535	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))
15		vex 3458	. . . . 5 ⊢ 𝑤 ∈ V
16		eleq1w 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑤 → (𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
17	16	rexbidv 3190	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
18	17	rexbidv 3190	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
19	15, 18	elab 3636	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑝 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))
20	12, 14, 19	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑤 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ 𝑤 ∈ {𝑝 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)}))
21	20	eqrdv 2761	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = {𝑝 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)})
22		dfiunv2 4995	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 ∪ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})(𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) = {𝑝 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)}
23	21, 22	eqtr4di 2816	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 ∪ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})(𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  {csn 4588  ∪ ciun 4954  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℕcn 12362  Vtxcvtx 29604   WSPathsN cwwspthsn 30447   WSPathsNOn cwwspthsnon 30448

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-wlks 30210  df-wlkson 30211  df-trls 30305  df-trlson 30306  df-pths 30329  df-spths 30330  df-spthson 30332  df-wwlks 30449  df-wwlksn 30450  df-wwlksnon 30451  df-wspthsn 30452  df-wspthsnon 30453

This theorem is used by:  frgrhash2wsp  30963