Theorem wspniunwspnon 29943

Description: The set of nonempty simple paths of fixed length is the double union of the simple paths of the fixed length between different vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.) (Proof shortened by AV, 15-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wspniunwspnon.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wspniunwspnon	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 ∪ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})(𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem wspniunwspnon

Dummy variables 𝑝 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wspthsnonn0vne 29937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ 𝑦)
2	1	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ≠ ∅ → 𝑥 ≠ 𝑦))
3	2	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → ((𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ≠ ∅ → 𝑥 ≠ 𝑦))
4		ne0i 4341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) → (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ≠ ∅)
5	3, 4	impel 505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
6	5	necomd 2996	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)) → 𝑦 ≠ 𝑥)
7	6	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) → 𝑦 ≠ 𝑥))
8	7	pm4.71rd 562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ (𝑦 ≠ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))))
9	8	rexbidv 3179	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (∃𝑦 ∈ 𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))))
10		rexdifsn 4794	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
11	9, 10	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (∃𝑦 ∈ 𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
12	11	rexbidv 3179	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
13		wspniunwspnon.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
14	13	wspthsnwspthsnon 29936	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))
15		vex 3484	. . . . 5 ⊢ 𝑤 ∈ V
16		eleq1w 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑤 → (𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
17	16	rexbidv 3179	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
18	17	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
19	15, 18	elab 3679	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑝 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))
20	12, 14, 19	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑤 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ 𝑤 ∈ {𝑝 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)}))
21	20	eqrdv 2735	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = {𝑝 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)})
22		dfiunv2 5035	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 ∪ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})(𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) = {𝑝 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)}
23	21, 22	eqtr4di 2795	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 ∪ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})(𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2714   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3948  ∅c0 4333  {csn 4626  ∪ ciun 4991  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℕcn 12266  Vtxcvtx 29013   WSPathsN cwwspthsn 29848   WSPathsNOn cwwspthsnon 29849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-wlks 29617  df-wlkson 29618  df-trls 29710  df-trlson 29711  df-pths 29734  df-spths 29735  df-spthson 29737  df-wwlks 29850  df-wwlksn 29851  df-wwlksnon 29852  df-wspthsn 29853  df-wspthsnon 29854

This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  30351