MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wspniunwspnon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wspniunwspnon 29721
Description: The set of nonempty simple paths of fixed length is the double union of the simple paths of the fixed length between different vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.) (Proof shortened by AV, 15-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
wspniunwspnon.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wspniunwspnon ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 ∪ 𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})(𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺,𝑊   𝑥,𝑁,𝑊   𝑥,𝑈,𝑊   𝑥,𝑉,𝑊

Proof of Theorem wspniunwspnon
Dummy variables 𝑝 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wspthsnonn0vne 29715 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ 𝑊)
21ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ≠ ∅ → 𝑥 ≠ 𝑊))
32adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → ((𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ≠ ∅ → 𝑥 ≠ 𝑊))
4 ne0i 4330 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) → (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ≠ ∅)
53, 4impel 505 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)) → 𝑥 ≠ 𝑊)
65necomd 2991 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)) → 𝑊 ≠ 𝑥)
76ex 412 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) → 𝑊 ≠ 𝑥))
87pm4.71rd 562 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ↔ (𝑊 ≠ 𝑥 ∧ 𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊))))
98rexbidv 3173 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (∃𝑊 ∈ 𝑉 𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑊 ∈ 𝑉 (𝑊 ≠ 𝑥 ∧ 𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊))))
10 rexdifsn 4793 . . . . . 6 (∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑊 ∈ 𝑉 (𝑊 ≠ 𝑥 ∧ 𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)))
119, 10bitr4di 289 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (∃𝑊 ∈ 𝑉 𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)))
1211rexbidv 3173 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑊 ∈ 𝑉 𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)))
13 wspniunwspnon.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1413wspthsnwspthsnon 29714 . . . 4 (𝑀 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑊 ∈ 𝑉 𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊))
15 vex 3473 . . . . 5 𝑀 ∈ V
16 eleq1w 2811 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑀 → (𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ↔ 𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)))
1716rexbidv 3173 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑀 → (∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)))
1817rexbidv 3173 . . . . 5 (𝑝 = 𝑀 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)))
1915, 18elab 3665 . . . 4 (𝑀 ∈ {𝑝 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑀 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊))
2012, 14, 193bitr4g 314 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ 𝑀 ∈ {𝑝 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)}))
2120eqrdv 2725 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = {𝑝 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)})
22 dfiunv2 5032 . 2 ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 ∪ 𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})(𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊) = {𝑝 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊)}
2321, 22eqtr4di 2785 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 ∪ 𝑊 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})(𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2704   ≠ wne 2935  âˆƒwrex 3065   ∖ cdif 3941  âˆ…c0 4318  {csn 4624  âˆª ciun 4991  â€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  â„•cn 12234  Vtxcvtx 28796   WSPathsN cwwspthsn 29626   WSPathsNOn cwwspthsnon 29627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-wlks 29400  df-wlkson 29401  df-trls 29493  df-trlson 29494  df-pths 29517  df-spths 29518  df-spthson 29520  df-wwlks 29628  df-wwlksn 29629  df-wwlksnon 29630  df-wspthsn 29631  df-wspthsnon 29632
This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  30129
  Copyright terms: Public domain W3C validator