Theorem wspniunwspnon 29979

Description: The set of nonempty simple paths of fixed length is the double union of the simple paths of the fixed length between different vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.) (Proof shortened by AV, 15-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wspniunwspnon.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wspniunwspnon	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 ∪ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})(𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem wspniunwspnon

Dummy variables 𝑝 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wspthsnonn0vne 29973	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ 𝑦)
2	1	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ≠ ∅ → 𝑥 ≠ 𝑦))
3	2	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → ((𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ≠ ∅ → 𝑥 ≠ 𝑦))
4		ne0i 4271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) → (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ≠ ∅)
5	3, 4	impel 505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
6	5	necomd 2985	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)) → 𝑦 ≠ 𝑥)
7	6	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) → 𝑦 ≠ 𝑥))
8	7	pm4.71rd 562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ (𝑦 ≠ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))))
9	8	rexbidv 3159	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (∃𝑦 ∈ 𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))))
10		rexdifsn 4729	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
11	9, 10	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (∃𝑦 ∈ 𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
12	11	rexbidv 3159	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
13		wspniunwspnon.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
14	13	wspthsnwspthsnon 29972	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))
15		vex 3431	. . . . 5 ⊢ 𝑤 ∈ V
16		eleq1w 2818	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑤 → (𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
17	16	rexbidv 3159	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
18	17	rexbidv 3159	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
19	15, 18	elab 3619	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑝 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))
20	12, 14, 19	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑤 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ 𝑤 ∈ {𝑝 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)}))
21	20	eqrdv 2733	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = {𝑝 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)})
22		dfiunv2 4965	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 ∪ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})(𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) = {𝑝 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)}
23	21, 22	eqtr4di 2788	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑉 ∪ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})(𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2713   ≠ wne 2930  ∃wrex 3059   ∖ cdif 3882  ∅c0 4263  {csn 4557  ∪ ciun 4923  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℕcn 12163  Vtxcvtx 29053   WSPathsN cwwspthsn 29884   WSPathsNOn cwwspthsnon 29885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-hash 14282  df-word 14465  df-wlks 29656  df-wlkson 29657  df-trls 29747  df-trlson 29748  df-pths 29770  df-spths 29771  df-spthson 29773  df-wwlks 29886  df-wwlksn 29887  df-wwlksnon 29888  df-wspthsn 29889  df-wspthsnon 29890

This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  30390