Theorem wwlksnextproplem3 30327

Description: Lemma 3 for wwlksnextprop 30328. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlksnextprop.x	⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
wwlksnextprop.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
wwlksnextprop.y	⊢ 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}

Assertion

Ref	Expression
wwlksnextproplem3	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑤,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)

Proof of Theorem wwlksnextproplem3

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 12559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2		iswwlksn 30254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
3	1, 2	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
4		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5	4	wwlkbp 30257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
6		lencl 14588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7		eqcom 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (♯‘𝑊))
8		nn0cn 12529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
9	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
10		1cnd 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
11		nn0cn 12529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
12	1, 11	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
13	12	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
14		subadd2 11476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (♯‘𝑊)))
15	14	bicomd 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) → (((𝑁 + 1) + 1) = (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
16	9, 10, 13, 15	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) + 1) = (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
17	7, 16	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
18		eqcom 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) ↔ (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
19	18	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
20	17, 19	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1)))
21	20	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))))
22	21	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))))
23	6, 22	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))))
24	5, 23	simpl2im 513	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))))
25	24	imp31 423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
26	25	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) = (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))
27		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺))
28		nn0ge0 12544	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
29		2re 12330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
31		nn0re 12528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
32	30, 31	addge02d 11818	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (𝑁 + 2)))
33	28, 32	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ (𝑁 + 2))
34		nn0cn 12529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
35		1cnd 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35, 35	addassd 11246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
37		1p1e2 12379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 + 1) = 2
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
39	38	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
40	36, 39	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
41	33, 40	breqtrrd 5141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
42	41	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
43		breq2 5115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
44	43	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
45	42, 44	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
46		wwlksm1edg 30297	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
47	27, 45, 46	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
48	26, 47	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
49	48	expcom 419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
50	3, 49	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
51	50	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
52	51	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
53	52	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
54		wwlksnextprop.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
55	4, 54	wwlknp 30259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
56		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
57		peano2nn0 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
58	1, 57	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
59		peano2re 11398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
60	31, 59	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
61	60	lep1d 12161	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
62		elfz2nn0 13663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
63	1, 58, 61, 62	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
64	63	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
65		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
66	65	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
67	64, 66	eleqtrrd 2868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
68	67	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
69	56, 68	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
70	69	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
71	70	3adant3 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
72	55, 71	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
73	72	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
74	73	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
75		pfxlen 14743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
76	74, 75	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
77	53, 76	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1)))
78		iswwlksn 30254	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
79	78	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
80	77, 79	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
81	80	exp31 425	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))))
82		wwlksnextprop.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
83	81, 82	eleq2s 2883	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))))
84	83	3imp 1128	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
85	82	wwlksnextproplem1 30325	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑊‘0))
86	85	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑊‘0))
87		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊‘0) = 𝑃)
88	86, 87	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑃)
89		fveq1 6884	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) → (𝑤‘0) = ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0))
90	89	eqeq1d 2767	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) → ((𝑤‘0) = 𝑃 ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑃))
91		wwlksnextprop.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}
92	90, 91	elrab2 3656	. 2 ⊢ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ 𝑌 ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑃))
93	84, 88, 92	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {crab 3418  Vcvv 3457  {cpr 4593   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   ≤ cle 11259   − cmin 11456  2c2 12310  ℕ₀cn0 12519  ...cfz 13551  ..^cfzo 13699  ♯chash 14384  Word cword 14568   prefix cpfx 14730  Vtxcvtx 29401  Edgcedg 29452  WWalkscwwlks 30241   WWalksN cwwlksn 30242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-hash 14385  df-word 14569  df-substr 14699  df-pfx 14731  df-wwlks 30246  df-wwlksn 30247

This theorem is used by:  wwlksnextprop  30328