| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | peano2nn0 12566 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁 + 1) ∈
ℕ0) |
| 2 | | iswwlksn 29858 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0
→ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)))) |
| 3 | 1, 2 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)))) |
| 4 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(Vtx‘𝐺) =
(Vtx‘𝐺) |
| 5 | 4 | wwlkbp 29861 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) |
| 6 | | lencl 14571 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈
ℕ0) |
| 7 | | eqcom 2744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((♯‘𝑊) =
((𝑁 + 1) + 1) ↔
((𝑁 + 1) + 1) =
(♯‘𝑊)) |
| 8 | | nn0cn 12536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
((♯‘𝑊)
∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ) |
| 9 | 8 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((♯‘𝑊)
∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) →
(♯‘𝑊) ∈
ℂ) |
| 10 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((♯‘𝑊)
∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈
ℂ) |
| 11 | | nn0cn 12536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0
→ (𝑁 + 1) ∈
ℂ) |
| 12 | 1, 11 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁 + 1) ∈
ℂ) |
| 13 | 12 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((♯‘𝑊)
∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈
ℂ) |
| 14 | | subadd2 11512 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((♯‘𝑊)
∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) →
(((♯‘𝑊) −
1) = (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) =
(♯‘𝑊))) |
| 15 | 14 | bicomd 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((♯‘𝑊)
∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) → (((𝑁 + 1) + 1) =
(♯‘𝑊) ↔
((♯‘𝑊) −
1) = (𝑁 +
1))) |
| 16 | 9, 10, 13, 15 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((♯‘𝑊)
∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) + 1) =
(♯‘𝑊) ↔
((♯‘𝑊) −
1) = (𝑁 +
1))) |
| 17 | 7, 16 | bitrid 283 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((♯‘𝑊)
∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) →
((♯‘𝑊) =
((𝑁 + 1) + 1) ↔
((♯‘𝑊) −
1) = (𝑁 +
1))) |
| 18 | | eqcom 2744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((♯‘𝑊)
− 1) = (𝑁 + 1) ↔
(𝑁 + 1) =
((♯‘𝑊) −
1)) |
| 19 | 18 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((♯‘𝑊)
− 1) = (𝑁 + 1) →
(𝑁 + 1) =
((♯‘𝑊) −
1)) |
| 20 | 17, 19 | biimtrdi 253 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((♯‘𝑊)
∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) →
((♯‘𝑊) =
((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))) |
| 21 | 20 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((♯‘𝑊)
∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 →
((♯‘𝑊) =
((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1)))) |
| 22 | 21 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((♯‘𝑊)
∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1)))) |
| 23 | 6, 22 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1)))) |
| 24 | 5, 23 | simpl2im 503 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1)))) |
| 25 | 24 | imp31 417 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1)) |
| 26 | 25 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) = (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) |
| 27 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺)) |
| 28 | | nn0ge0 12551 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 0 ≤ 𝑁) |
| 29 | | 2re 12340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 30 | 29 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℝ) |
| 31 | | nn0re 12535 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
ℝ) |
| 32 | 30, 31 | addge02d 11852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (0 ≤ 𝑁 ↔ 2
≤ (𝑁 +
2))) |
| 33 | 28, 32 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 2 ≤ (𝑁 +
2)) |
| 34 | | nn0cn 12536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
ℂ) |
| 35 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 1 ∈ ℂ) |
| 36 | 34, 35, 35 | addassd 11283 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((𝑁 + 1) + 1) =
(𝑁 + (1 +
1))) |
| 37 | | 1p1e2 12391 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (1 + 1) =
2 |
| 38 | 37 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (1 + 1) = 2) |
| 39 | 38 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁 + (1 + 1)) =
(𝑁 + 2)) |
| 40 | 36, 39 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((𝑁 + 1) + 1) =
(𝑁 + 2)) |
| 41 | 33, 40 | breqtrrd 5171 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 2 ≤ ((𝑁 + 1) +
1)) |
| 42 | 41 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≤
((𝑁 + 1) +
1)) |
| 43 | | breq2 5147 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((♯‘𝑊) =
((𝑁 + 1) + 1) → (2
≤ (♯‘𝑊)
↔ 2 ≤ ((𝑁 + 1) +
1))) |
| 44 | 43 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 ≤
(♯‘𝑊) ↔ 2
≤ ((𝑁 + 1) +
1))) |
| 45 | 42, 44 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≤
(♯‘𝑊)) |
| 46 | | wwlksm1edg 29901 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ 2 ≤
(♯‘𝑊)) →
(𝑊 prefix
((♯‘𝑊) −
1)) ∈ (WWalks‘𝐺)) |
| 47 | 27, 45, 46 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈
(WWalks‘𝐺)) |
| 48 | 26, 47 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)) |
| 49 | 48 | expcom 413 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((𝑊 ∈
(WWalks‘𝐺) ∧
(♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))) |
| 50 | 3, 49 | sylbid 240 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))) |
| 51 | 50 | com12 32 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))) |
| 52 | 51 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))) |
| 53 | 52 | imp 406 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)) |
| 54 | | wwlksnextprop.e |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺) |
| 55 | 4, 54 | wwlknp 29863 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)) |
| 56 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) |
| 57 | | peano2nn0 12566 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0
→ ((𝑁 + 1) + 1) ∈
ℕ0) |
| 58 | 1, 57 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((𝑁 + 1) + 1) ∈
ℕ0) |
| 59 | | peano2re 11434 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈
ℝ) |
| 60 | 31, 59 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁 + 1) ∈
ℝ) |
| 61 | 60 | lep1d 12199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)) |
| 62 | | elfz2nn0 13658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0
∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈
ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))) |
| 63 | 1, 58, 61, 62 | syl3anbrc 1344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁 + 1) ∈
(0...((𝑁 + 1) +
1))) |
| 64 | 63 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((♯‘𝑊)
= ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (𝑁 + 1) ∈
(0...((𝑁 + 1) +
1))) |
| 65 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((♯‘𝑊) =
((𝑁 + 1) + 1) →
(0...(♯‘𝑊)) =
(0...((𝑁 + 1) +
1))) |
| 66 | 65 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((♯‘𝑊)
= ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (0...(♯‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1))) |
| 67 | 64, 66 | eleqtrrd 2844 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((♯‘𝑊)
= ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (𝑁 + 1) ∈
(0...(♯‘𝑊))) |
| 68 | 67 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈
(0...(♯‘𝑊))) |
| 69 | 56, 68 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))) |
| 70 | 69 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))) |
| 71 | 70 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))) |
| 72 | 55, 71 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))) |
| 73 | 72 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))) |
| 74 | 73 | imp 406 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))) |
| 75 | | pfxlen 14721 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1)) |
| 76 | 74, 75 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) →
(♯‘(𝑊 prefix
(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1)) |
| 77 | 53, 76 | jca 511 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))) |
| 78 | | iswwlksn 29858 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1)))) |
| 79 | 78 | adantl 481 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1)))) |
| 80 | 77, 79 | mpbird 257 |
. . . . 5
⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) |
| 81 | 80 | exp31 419 |
. . . 4
⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))) |
| 82 | | wwlksnextprop.x |
. . . 4
⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) |
| 83 | 81, 82 | eleq2s 2859 |
. . 3
⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))) |
| 84 | 83 | 3imp 1111 |
. 2
⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) |
| 85 | 82 | wwlksnextproplem1 29929 |
. . . 4
⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑊‘0)) |
| 86 | 85 | 3adant2 1132 |
. . 3
⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑊‘0)) |
| 87 | | simp2 1138 |
. . 3
⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊‘0) = 𝑃) |
| 88 | 86, 87 | eqtrd 2777 |
. 2
⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑃) |
| 89 | | fveq1 6905 |
. . . 4
⊢ (𝑤 = (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) → (𝑤‘0) = ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0)) |
| 90 | 89 | eqeq1d 2739 |
. . 3
⊢ (𝑤 = (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) → ((𝑤‘0) = 𝑃 ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑃)) |
| 91 | | wwlksnextprop.y |
. . 3
⊢ 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} |
| 92 | 90, 91 | elrab2 3695 |
. 2
⊢ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ 𝑌 ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑃)) |
| 93 | 84, 88, 92 | sylanbrc 583 |
1
⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ 𝑌) |