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Theorem wwlksnextproplem3 29430
Description: Lemma 3 for wwlksnextprop 29431. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlksnextprop.x 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
wwlksnextprop.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
wwlksnextprop.y π‘Œ = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑃}
Assertion
Ref Expression
wwlksnextproplem3 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ π‘Œ)
Distinct variable groups:   𝑀,𝐺   𝑀,𝑁   𝑀,𝑃   𝑀,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑀)   𝑋(𝑀)   π‘Œ(𝑀)
Proof of Theorem wwlksnextproplem3
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 12518 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
2 iswwlksn 29357 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))))
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))))
4 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
54wwlkbp 29360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)))
6 lencl 14489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
7 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š))
8 nn0cn 12488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
98adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
10 1cnd 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
11 nn0cn 12488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
121, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
1312adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
14 subadd2 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„‚) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š)))
1514bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„‚) β†’ (((𝑁 + 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š) ↔ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1)))
169, 10, 13, 15syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 + 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š) ↔ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1)))
177, 16bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1)))
18 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1) ↔ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
1918biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
2017, 19syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
2120ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))))
2221com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))))
236, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))))
245, 23simpl2im 502 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))))
2524imp31 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
2625oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) = (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
27 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
28 nn0ge0 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑁)
29 2re 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ ℝ)
31 nn0re 12487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3230, 31addge02d 11809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (0 ≀ 𝑁 ↔ 2 ≀ (𝑁 + 2)))
3328, 32mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ≀ (𝑁 + 2))
34 nn0cn 12488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
35 1cnd 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„‚)
3634, 35, 35addassd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
37 1p1e2 12343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 + 1) = 2
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (1 + 1) = 2)
3938oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
4036, 39eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
4133, 40breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ≀ ((𝑁 + 1) + 1))
4241adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 2 ≀ ((𝑁 + 1) + 1))
43 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜π‘Š) ↔ 2 ≀ ((𝑁 + 1) + 1)))
4443ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜π‘Š) ↔ 2 ≀ ((𝑁 + 1) + 1)))
4542, 44mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š))
46 wwlksm1edg 29400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
4727, 45, 46syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
4826, 47eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
4948expcom 412 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
503, 49sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
5150com12 32 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
5251adantr 479 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
5352imp 405 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
54 wwlksnextprop.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
554, 54wwlknp 29362 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
56 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
57 peano2nn0 12518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ β„•0)
581, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ β„•0)
59 peano2re 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6031, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6160lep1d 12151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ≀ ((𝑁 + 1) + 1))
62 elfz2nn0 13598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ β„•0 ∧ (𝑁 + 1) ≀ ((𝑁 + 1) + 1)))
631, 58, 61, 62syl3anbrc 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
6463adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
65 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (0...(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
6665adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (0...(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
6764, 66eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
6867adantll 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
6956, 68jca 510 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))))
7069ex 411 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))))
71703adant3 1130 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))))
7255, 71syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))))
7372adantr 479 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))))
7473imp 405 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))))
75 pfxlen 14639 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
7674, 75syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
7753, 76jca 510 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1)))
78 iswwlksn 29357 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
7978adantl 480 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
8077, 79mpbird 256 . . . . 5 (((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
8180exp31 418 . . . 4 (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = 𝑃 β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))))
82 wwlksnextprop.x . . . 4 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
8381, 82eleq2s 2849 . . 3 (π‘Š ∈ 𝑋 β†’ ((π‘Šβ€˜0) = 𝑃 β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))))
84833imp 1109 . 2 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
8582wwlksnextproplem1 29428 . . . 4 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
86853adant2 1129 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
87 simp2 1135 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃)
8886, 87eqtrd 2770 . 2 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑃)
89 fveq1 6891 . . . 4 (𝑀 = (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) β†’ (π‘€β€˜0) = ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜0))
9089eqeq1d 2732 . . 3 (𝑀 = (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) β†’ ((π‘€β€˜0) = 𝑃 ↔ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑃))
91 wwlksnextprop.y . . 3 π‘Œ = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑃}
9290, 91elrab2 3687 . 2 ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ π‘Œ ↔ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑃))
9384, 88, 92sylanbrc 581 1 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430  Vcvv 3472  {cpr 4631   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ≀ cle 11255   βˆ’ cmin 11450  2c2 12273  β„•0cn0 12478  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  β™―chash 14296  Word cword 14470   prefix cpfx 14626  Vtxcvtx 28521  Edgcedg 28572  WWalkscwwlks 29344   WWalksN cwwlksn 29345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14297  df-word 14471  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-wwlks 29349  df-wwlksn 29350
This theorem is referenced by:  wwlksnextprop  29431
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