Theorem wwlksnextproplem3 29848

Description: Lemma 3 for wwlksnextprop 29849. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlksnextprop.x	⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
wwlksnextprop.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
wwlksnextprop.y	⊢ 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}

Assertion

Ref	Expression
wwlksnextproplem3	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑤,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)

Proof of Theorem wwlksnextproplem3

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 12489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2		iswwlksn 29775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
4		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5	4	wwlkbp 29778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
6		lencl 14505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7		eqcom 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (♯‘𝑊))
8		nn0cn 12459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
10		1cnd 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
11		nn0cn 12459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
12	1, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
14		subadd2 11432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (♯‘𝑊)))
15	14	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) → (((𝑁 + 1) + 1) = (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
16	9, 10, 13, 15	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) + 1) = (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
17	7, 16	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
18		eqcom 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) ↔ (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
19	18	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
20	17, 19	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1)))
21	20	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))))
22	21	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))))
23	6, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))))
24	5, 23	simpl2im 503	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))))
25	24	imp31 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
26	25	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) = (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))
27		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺))
28		nn0ge0 12474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
29		2re 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
31		nn0re 12458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
32	30, 31	addge02d 11774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (𝑁 + 2)))
33	28, 32	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ (𝑁 + 2))
34		nn0cn 12459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
35		1cnd 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35, 35	addassd 11203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
37		1p1e2 12313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 + 1) = 2
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
39	38	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
40	36, 39	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
41	33, 40	breqtrrd 5138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
43		breq2 5114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
44	43	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
45	42, 44	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
46		wwlksm1edg 29818	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
47	27, 45, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
48	26, 47	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
49	48	expcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
50	3, 49	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
51	50	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
52	51	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
53	52	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
54		wwlksnextprop.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
55	4, 54	wwlknp 29780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
56		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
57		peano2nn0 12489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
58	1, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
59		peano2re 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
60	31, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
61	60	lep1d 12121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
62		elfz2nn0 13586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
63	1, 58, 61, 62	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
64	63	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
65		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
67	64, 66	eleqtrrd 2832	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
68	67	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
69	56, 68	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
70	69	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
71	70	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
72	55, 71	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
73	72	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
74	73	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
75		pfxlen 14655	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
77	53, 76	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1)))
78		iswwlksn 29775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
79	78	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
80	77, 79	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
81	80	exp31 419	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))))
82		wwlksnextprop.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
83	81, 82	eleq2s 2847	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))))
84	83	3imp 1110	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
85	82	wwlksnextproplem1 29846	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑊‘0))
86	85	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑊‘0))
87		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊‘0) = 𝑃)
88	86, 87	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑃)
89		fveq1 6860	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) → (𝑤‘0) = ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0))
90	89	eqeq1d 2732	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) → ((𝑤‘0) = 𝑃 ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑃))
91		wwlksnextprop.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}
92	90, 91	elrab2 3665	. 2 ⊢ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ 𝑌 ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑃))
93	84, 88, 92	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  {crab 3408  Vcvv 3450  {cpr 4594   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   ≤ cle 11216   − cmin 11412  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ...cfz 13475  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485   prefix cpfx 14642  Vtxcvtx 28930  Edgcedg 28981  WWalkscwwlks 29762   WWalksN cwwlksn 29763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-substr 14613  df-pfx 14643  df-wwlks 29767  df-wwlksn 29768

This theorem is referenced by:  wwlksnextprop  29849