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Theorem wwlksnextproplem3 28898
Description: Lemma 3 for wwlksnextprop 28899. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlksnextprop.x 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
wwlksnextprop.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
wwlksnextprop.y π‘Œ = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑃}
Assertion
Ref Expression
wwlksnextproplem3 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ π‘Œ)
Distinct variable groups:   𝑀,𝐺   𝑀,𝑁   𝑀,𝑃   𝑀,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑀)   𝑋(𝑀)   π‘Œ(𝑀)

Proof of Theorem wwlksnextproplem3
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 12460 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
2 iswwlksn 28825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))))
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))))
4 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
54wwlkbp 28828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)))
6 lencl 14428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
7 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š))
8 nn0cn 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
98adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
10 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
11 nn0cn 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
121, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
1312adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
14 subadd2 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„‚) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š)))
1514bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„‚) β†’ (((𝑁 + 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š) ↔ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1)))
169, 10, 13, 15syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 + 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š) ↔ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1)))
177, 16bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1)))
18 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1) ↔ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
1918biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
2017, 19syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
2120ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))))
2221com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))))
236, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))))
245, 23simpl2im 505 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))))
2524imp31 419 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
2625oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) = (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
27 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
28 nn0ge0 12445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑁)
29 2re 12234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ ℝ)
31 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3230, 31addge02d 11751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (0 ≀ 𝑁 ↔ 2 ≀ (𝑁 + 2)))
3328, 32mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ≀ (𝑁 + 2))
34 nn0cn 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
35 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„‚)
3634, 35, 35addassd 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
37 1p1e2 12285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 + 1) = 2
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (1 + 1) = 2)
3938oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
4036, 39eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
4133, 40breqtrrd 5138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ≀ ((𝑁 + 1) + 1))
4241adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 2 ≀ ((𝑁 + 1) + 1))
43 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜π‘Š) ↔ 2 ≀ ((𝑁 + 1) + 1)))
4443ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜π‘Š) ↔ 2 ≀ ((𝑁 + 1) + 1)))
4542, 44mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š))
46 wwlksm1edg 28868 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
4727, 45, 46syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
4826, 47eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
4948expcom 415 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
503, 49sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
5150com12 32 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
5251adantr 482 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
5352imp 408 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
54 wwlksnextprop.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
554, 54wwlknp 28830 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
56 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
57 peano2nn0 12460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ β„•0)
581, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ β„•0)
59 peano2re 11335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6031, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6160lep1d 12093 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ≀ ((𝑁 + 1) + 1))
62 elfz2nn0 13539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ β„•0 ∧ (𝑁 + 1) ≀ ((𝑁 + 1) + 1)))
631, 58, 61, 62syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
6463adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
65 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (0...(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
6665adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (0...(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
6764, 66eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
6867adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
6956, 68jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))))
7069ex 414 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))))
71703adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))))
7255, 71syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))))
7372adantr 482 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))))
7473imp 408 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))))
75 pfxlen 14578 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
7674, 75syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
7753, 76jca 513 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1)))
78 iswwlksn 28825 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
7978adantl 483 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
8077, 79mpbird 257 . . . . 5 (((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
8180exp31 421 . . . 4 (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = 𝑃 β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))))
82 wwlksnextprop.x . . . 4 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
8381, 82eleq2s 2856 . . 3 (π‘Š ∈ 𝑋 β†’ ((π‘Šβ€˜0) = 𝑃 β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))))
84833imp 1112 . 2 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
8582wwlksnextproplem1 28896 . . . 4 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
86853adant2 1132 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
87 simp2 1138 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃)
8886, 87eqtrd 2777 . 2 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑃)
89 fveq1 6846 . . . 4 (𝑀 = (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) β†’ (π‘€β€˜0) = ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜0))
9089eqeq1d 2739 . . 3 (𝑀 = (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) β†’ ((π‘€β€˜0) = 𝑃 ↔ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑃))
91 wwlksnextprop.y . . 3 π‘Œ = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑃}
9290, 91elrab2 3653 . 2 ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ π‘Œ ↔ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑃))
9384, 88, 92sylanbrc 584 1 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448  {cpr 4593   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  2c2 12215  β„•0cn0 12420  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574  β™―chash 14237  Word cword 14409   prefix cpfx 14565  Vtxcvtx 27989  Edgcedg 28040  WWalkscwwlks 28812   WWalksN cwwlksn 28813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-wwlks 28817  df-wwlksn 28818
This theorem is referenced by:  wwlksnextprop  28899
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