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Theorem wwlksnextproplem3 29735
Description: Lemma 3 for wwlksnextprop 29736. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlksnextprop.x 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
wwlksnextprop.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
wwlksnextprop.y 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}
Assertion
Ref Expression
wwlksnextproplem3 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ 𝑌)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑤,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)

Proof of Theorem wwlksnextproplem3
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 12543 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2 iswwlksn 29662 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
4 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
54wwlkbp 29665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
6 lencl 14516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7 eqcom 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (♯‘𝑊))
8 nn0cn 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
98adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
10 1cnd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
11 nn0cn 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
121, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
14 subadd2 11495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (♯‘𝑊)))
1514bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) → (((𝑁 + 1) + 1) = (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
169, 10, 13, 15syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) + 1) = (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
177, 16bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
18 eqcom 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) ↔ (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
1918biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
2017, 19biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1)))
2120ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))))
2221com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))))
236, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))))
245, 23simpl2im 503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))))
2524imp31 417 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
2625oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) = (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))
27 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺))
28 nn0ge0 12528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
29 2re 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
31 nn0re 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
3230, 31addge02d 11834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (𝑁 + 2)))
3328, 32mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ (𝑁 + 2))
34 nn0cn 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
35 1cnd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3634, 35, 35addassd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
37 1p1e2 12368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 + 1) = 2
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
3938oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
4036, 39eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
4133, 40breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
4241adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
43 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
4443ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
4542, 44mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
46 wwlksm1edg 29705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
4727, 45, 46syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
4826, 47eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
4948expcom 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
503, 49sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
5150com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
5251adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
5352imp 406 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
54 wwlksnextprop.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (Edg‘𝐺)
554, 54wwlknp 29667 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
56 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
57 peano2nn0 12543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
581, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
59 peano2re 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6031, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6160lep1d 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
62 elfz2nn0 13625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
631, 58, 61, 62syl3anbrc 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
65 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
6665adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
6764, 66eleqtrrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
6867adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
6956, 68jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
7069ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
71703adant3 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
7255, 71syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
7372adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
7473imp 406 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
75 pfxlen 14666 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
7674, 75syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
7753, 76jca 511 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1)))
78 iswwlksn 29662 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
7978adantl 481 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
8077, 79mpbird 257 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
8180exp31 419 . . . 4 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))))
82 wwlksnextprop.x . . . 4 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
8381, 82eleq2s 2847 . . 3 (𝑊𝑋 → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))))
84833imp 1109 . 2 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
8582wwlksnextproplem1 29733 . . . 4 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑊‘0))
86853adant2 1129 . . 3 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑊‘0))
87 simp2 1135 . . 3 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊‘0) = 𝑃)
8886, 87eqtrd 2768 . 2 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑃)
89 fveq1 6896 . . . 4 (𝑤 = (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) → (𝑤‘0) = ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0))
9089eqeq1d 2730 . . 3 (𝑤 = (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) → ((𝑤‘0) = 𝑃 ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑃))
91 wwlksnextprop.y . . 3 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}
9290, 91elrab2 3685 . 2 ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ 𝑌 ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑃))
9384, 88, 92sylanbrc 582 1 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  {crab 3429  Vcvv 3471  {cpr 4631   class class class wbr 5148  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11137  cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142  cle 11280  cmin 11475  2c2 12298  0cn0 12503  ...cfz 13517  ..^cfzo 13660  chash 14322  Word cword 14497   prefix cpfx 14653  Vtxcvtx 28822  Edgcedg 28873  WWalkscwwlks 29649   WWalksN cwwlksn 29650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-hash 14323  df-word 14498  df-substr 14624  df-pfx 14654  df-wwlks 29654  df-wwlksn 29655
This theorem is referenced by:  wwlksnextprop  29736
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