Theorem wwlksnextproplem3 30111

Description: Lemma 3 for wwlksnextprop 30112. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlksnextprop.x	⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
wwlksnextprop.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
wwlksnextprop.y	⊢ 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}

Assertion

Ref	Expression
wwlksnextproplem3	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑤,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)

Proof of Theorem wwlksnextproplem3

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 12521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2		iswwlksn 30038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
4		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5	4	wwlkbp 30041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
6		lencl 14546	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7		eqcom 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (♯‘𝑊))
8		nn0cn 12491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
9	8	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
10		1cnd 11175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
11		nn0cn 12491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
12	1, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
13	12	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
14		subadd2 11434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (♯‘𝑊)))
15	14	bicomd 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) → (((𝑁 + 1) + 1) = (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
16	9, 10, 13, 15	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) + 1) = (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
17	7, 16	bitrid 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
18		eqcom 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) ↔ (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
19	18	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
20	17, 19	biimtrdi 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1)))
21	20	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))))
22	21	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))))
23	6, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))))
24	5, 23	simpl2im 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))))
25	24	imp31 421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
26	25	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) = (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))
27		simpll 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺))
28		nn0ge0 12506	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
29		2re 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
31		nn0re 12490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
32	30, 31	addge02d 11776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (𝑁 + 2)))
33	28, 32	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ (𝑁 + 2))
34		nn0cn 12491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
35		1cnd 11175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35, 35	addassd 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
37		1p1e2 12341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 + 1) = 2
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
39	38	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
40	36, 39	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
41	33, 40	breqtrrd 5128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
42	41	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
43		breq2 5104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
44	43	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
45	42, 44	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
46		wwlksm1edg 30081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
47	27, 45, 46	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
48	26, 47	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
49	48	expcom 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
50	3, 49	sylbid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
51	50	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
52	51	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
53	52	imp 410	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
54		wwlksnextprop.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
55	4, 54	wwlknp 30043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
56		simpll 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
57		peano2nn0 12521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
58	1, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
59		peano2re 11356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
60	31, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
61	60	lep1d 12123	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
62		elfz2nn0 13623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
63	1, 58, 61, 62	syl3anbrc 1357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
64	63	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
65		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
66	65	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
67	64, 66	eleqtrrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
68	67	adantll 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
69	56, 68	jca 519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
70	69	ex 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
71	70	3adant3 1145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
72	55, 71	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
73	72	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
74	73	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
75		pfxlen 14697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
77	53, 76	jca 519	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1)))
78		iswwlksn 30038	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
79	78	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
80	77, 79	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
81	80	exp31 423	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))))
82		wwlksnextprop.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
83	81, 82	eleq2s 2880	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))))
84	83	3imp 1123	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
85	82	wwlksnextproplem1 30109	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑊‘0))
86	85	3adant2 1144	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑊‘0))
87		simp2 1150	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊‘0) = 𝑃)
88	86, 87	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑃)
89		fveq1 6866	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) → (𝑤‘0) = ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0))
90	89	eqeq1d 2764	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) → ((𝑤‘0) = 𝑃 ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑃))
91		wwlksnextprop.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}
92	90, 91	elrab2 3654	. 2 ⊢ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ 𝑌 ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = 𝑃))
93	84, 88, 92	sylanbrc 592	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix (𝑁 + 1)) ∈ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  {crab 3414  Vcvv 3454  {cpr 4584   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   ≤ cle 11217   − cmin 11414  2c2 12272  ℕ₀cn0 12481  ...cfz 13512  ..^cfzo 13659  ♯chash 14343  Word cword 14526   prefix cpfx 14684  Vtxcvtx 29197  Edgcedg 29248  WWalkscwwlks 30025   WWalksN cwwlksn 30026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-hash 14344  df-word 14527  df-substr 14655  df-pfx 14685  df-wwlks 30030  df-wwlksn 30031

This theorem is referenced by:  wwlksnextprop  30112