MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlksnextproplem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wwlksnextproplem3 29154
Description: Lemma 3 for wwlksnextprop 29155. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlksnextprop.x 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
wwlksnextprop.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
wwlksnextprop.y π‘Œ = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑃}
Assertion
Ref Expression
wwlksnextproplem3 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ π‘Œ)
Distinct variable groups:   𝑀,𝐺   𝑀,𝑁   𝑀,𝑃   𝑀,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑀)   𝑋(𝑀)   π‘Œ(𝑀)
Proof of Theorem wwlksnextproplem3
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 12508 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
2 iswwlksn 29081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))))
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1))))
4 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
54wwlkbp 29084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)))
6 lencl 14479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
7 eqcom 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š))
8 nn0cn 12478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
98adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
10 1cnd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
11 nn0cn 12478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
121, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
14 subadd2 11460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„‚) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š)))
1514bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„‚) β†’ (((𝑁 + 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š) ↔ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1)))
169, 10, 13, 15syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 + 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š) ↔ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1)))
177, 16bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1)))
18 eqcom 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1) ↔ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
1918biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
2017, 19syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
2120ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))))
2221com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))))
236, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))))
245, 23simpl2im 504 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))))
2524imp31 418 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
2625oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) = (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
27 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
28 nn0ge0 12493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑁)
29 2re 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ ℝ)
31 nn0re 12477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3230, 31addge02d 11799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (0 ≀ 𝑁 ↔ 2 ≀ (𝑁 + 2)))
3328, 32mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ≀ (𝑁 + 2))
34 nn0cn 12478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
35 1cnd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„‚)
3634, 35, 35addassd 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
37 1p1e2 12333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 + 1) = 2
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (1 + 1) = 2)
3938oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
4036, 39eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
4133, 40breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ≀ ((𝑁 + 1) + 1))
4241adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 2 ≀ ((𝑁 + 1) + 1))
43 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜π‘Š) ↔ 2 ≀ ((𝑁 + 1) + 1)))
4443ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜π‘Š) ↔ 2 ≀ ((𝑁 + 1) + 1)))
4542, 44mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š))
46 wwlksm1edg 29124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
4727, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
4826, 47eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
4948expcom 414 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((π‘Š ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
503, 49sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
5150com12 32 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
5251adantr 481 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
5352imp 407 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
54 wwlksnextprop.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
554, 54wwlknp 29086 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
56 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
57 peano2nn0 12508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ β„•0)
581, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ β„•0)
59 peano2re 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6031, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6160lep1d 12141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ≀ ((𝑁 + 1) + 1))
62 elfz2nn0 13588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ β„•0 ∧ (𝑁 + 1) ≀ ((𝑁 + 1) + 1)))
631, 58, 61, 62syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
6463adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
65 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) β†’ (0...(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
6665adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (0...(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
6764, 66eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
6867adantll 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
6956, 68jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))))
7069ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))))
71703adant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))))
7255, 71syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))))
7372adantr 481 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))))
7473imp 407 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))))
75 pfxlen 14629 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
7674, 75syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
7753, 76jca 512 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1)))
78 iswwlksn 29081 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
7978adantl 482 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(π‘Š prefix (𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))))
8077, 79mpbird 256 . . . . 5 (((π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
8180exp31 420 . . . 4 (π‘Š ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = 𝑃 β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))))
82 wwlksnextprop.x . . . 4 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
8381, 82eleq2s 2851 . . 3 (π‘Š ∈ 𝑋 β†’ ((π‘Šβ€˜0) = 𝑃 β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))))
84833imp 1111 . 2 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
8582wwlksnextproplem1 29152 . . . 4 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
86853adant2 1131 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
87 simp2 1137 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃)
8886, 87eqtrd 2772 . 2 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑃)
89 fveq1 6887 . . . 4 (𝑀 = (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) β†’ (π‘€β€˜0) = ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜0))
9089eqeq1d 2734 . . 3 (𝑀 = (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) β†’ ((π‘€β€˜0) = 𝑃 ↔ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑃))
91 wwlksnextprop.y . . 3 π‘Œ = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑃}
9290, 91elrab2 3685 . 2 ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ π‘Œ ↔ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((π‘Š prefix (𝑁 + 1))β€˜0) = 𝑃))
9384, 88, 92sylanbrc 583 1 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ (π‘Šβ€˜0) = 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 + 1)) ∈ π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474  {cpr 4629   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  2c2 12263  β„•0cn0 12468  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  β™―chash 14286  Word cword 14460   prefix cpfx 14616  Vtxcvtx 28245  Edgcedg 28296  WWalkscwwlks 29068   WWalksN cwwlksn 29069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-wwlks 29073  df-wwlksn 29074
This theorem is referenced by:  wwlksnextprop  29155
  Copyright terms: Public domain W3C validator