Theorem xlimmnfmpt 44559

Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimmnfmpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
xlimmnfmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnfmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimmnfmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
xlimmnfmpt.f	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xlimmnfmpt	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐵 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑗,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem xlimmnfmpt

Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimmnfmpt.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
2		nfmpt1 5257	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
3	1, 2	nfcxfr 2902	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
4		xlimmnfmpt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		xlimmnfmpt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		xlimmnfmpt.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		xlimmnfmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8	6, 7, 1	fmptdf 7117	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
9	3, 4, 5, 8	xlimmnf 44557	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦))
10		nfv 1918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 ∈ 𝑍
11	6, 10	nfan 1903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
12	5	uztrn2 12841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
13	12	adantll 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
14		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝜑)
15	14, 13, 7	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16	1	fvmpt2 7010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
17	13, 15, 16	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
18	17	breq1d 5159	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 ↔ 𝐵 ≤ 𝑦))
19	11, 18	ralbida 3268	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑦))
20	19	rexbidva 3177	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑦))
21	20	ralbidv 3178	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑦))
22		breq2 5153	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑦 ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
23	22	rexralbidv 3221	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑥))
24		fveq2 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
25	24	raleqdv 3326	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐵 ≤ 𝑥))
26	25	cbvrexvw 3236	. . . . 5 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐵 ≤ 𝑥)
27	23, 26	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐵 ≤ 𝑥))
28	27	cbvralvw 3235	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐵 ≤ 𝑥)
29	28	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐵 ≤ 𝑥))
30	9, 21, 29	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐵 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  ℝcr 11109  -∞cmnf 11246  ℝ^*cxr 11247   ≤ cle 11249  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  ~~>*clsxlim 44534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-topgen 17389  df-ordt 17447  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-lm 22733  df-xlim 44535

This theorem is referenced by: (None)