Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimmnfmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimmnfmpt 45369
Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimmnfmpt.k 𝑘𝜑
xlimmnfmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnfmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimmnfmpt.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
xlimmnfmpt.f 𝐹 = (𝑘𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
xlimmnfmpt (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐵𝑥))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑗,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem xlimmnfmpt
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimmnfmpt.f . . . 4 𝐹 = (𝑘𝑍𝐵)
2 nfmpt1 5257 . . . 4 𝑘(𝑘𝑍𝐵)
31, 2nfcxfr 2889 . . 3 𝑘𝐹
4 xlimmnfmpt.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 xlimmnfmpt.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 xlimmnfmpt.k . . . 4 𝑘𝜑
7 xlimmnfmpt.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
86, 7, 1fmptdf 7126 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
93, 4, 5, 8xlimmnf 45367 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦))
10 nfv 1909 . . . . . 6 𝑘 𝑖𝑍
116, 10nfan 1894 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑖𝑍)
125uztrn2 12874 . . . . . . . 8 ((𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑘𝑍)
1312adantll 712 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑘𝑍)
14 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
1514, 13, 7syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
161fvmpt2 7015 . . . . . . 7 ((𝑘𝑍𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
1713, 15, 16syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
1817breq1d 5159 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑦𝐵𝑦))
1911, 18ralbida 3257 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
2019rexbidva 3166 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
2120ralbidv 3167 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
22 breq2 5153 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝐵𝑦𝐵𝑥))
2322rexralbidv 3210 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦 ↔ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑥))
24 fveq2 6896 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑗))
2524raleqdv 3314 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐵𝑥))
2625cbvrexvw 3225 . . . . 5 (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐵𝑥)
2723, 26bitrdi 286 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐵𝑥))
2827cbvralvw 3224 . . 3 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐵𝑥)
2928a1i 11 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐵𝑥))
309, 21, 293bitrd 304 1 (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐵𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059   class class class wbr 5149  cmpt 5232  cfv 6549  cr 11139  -∞cmnf 11278  *cxr 11279  cle 11281  cz 12591  cuz 12855  ~~>*clsxlim 45344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-1o 8487  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9436  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-z 12592  df-uz 12856  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-topgen 17428  df-ordt 17486  df-ps 18561  df-tsr 18562  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22893  df-lm 23177  df-xlim 45345
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator