Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimmnfmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimmnfmpt 40731
Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimmnfmpt.k 𝑘𝜑
xlimmnfmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnfmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimmnfmpt.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
xlimmnfmpt.f 𝐹 = (𝑘𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
xlimmnfmpt (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐵𝑥))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑗,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem xlimmnfmpt
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimmnfmpt.f . . . 4 𝐹 = (𝑘𝑍𝐵)
2 nfmpt1 4908 . . . 4 𝑘(𝑘𝑍𝐵)
31, 2nfcxfr 2905 . . 3 𝑘𝐹
4 xlimmnfmpt.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 xlimmnfmpt.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 xlimmnfmpt.k . . . 4 𝑘𝜑
7 xlimmnfmpt.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
86, 7, 1fmptdf 6581 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
93, 4, 5, 8xlimmnf 40729 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦))
10 nfv 2009 . . . . . 6 𝑘 𝑖𝑍
116, 10nfan 1998 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑖𝑍)
125uztrn2 11909 . . . . . . . 8 ((𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑘𝑍)
1312adantll 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑘𝑍)
14 simpll 783 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
1514, 13, 7syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
161fvmpt2 6484 . . . . . . 7 ((𝑘𝑍𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
1713, 15, 16syl2anc 579 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
1817breq1d 4821 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑦𝐵𝑦))
1911, 18ralbida 3129 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
2019rexbidva 3196 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
2120ralbidv 3133 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
22 breq2 4815 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝐵𝑦𝐵𝑥))
2322rexralbidv 3205 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦 ↔ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑥))
24 fveq2 6379 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑗))
2524raleqdv 3292 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐵𝑥))
2625cbvrexv 3320 . . . . 5 (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐵𝑥)
2723, 26syl6bb 278 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐵𝑥))
2827cbvralv 3319 . . 3 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐵𝑥)
2928a1i 11 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐵𝑥))
309, 21, 293bitrd 296 1 (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐵𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wnf 1878  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056   class class class wbr 4811  cmpt 4890  cfv 6070  cr 10192  -∞cmnf 10330  *cxr 10331  cle 10333  cz 11628  cuz 11891  ~~>*clsxlim 40706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-pm 8067  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fi 8528  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-z 11629  df-uz 11892  df-ioo 12386  df-ioc 12387  df-ico 12388  df-icc 12389  df-topgen 16384  df-ordt 16441  df-ps 17480  df-tsr 17481  df-top 20992  df-topon 21009  df-bases 21044  df-lm 21327  df-xlim 40707
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator