Theorem xlimmnfmpt 46271

Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimmnfmpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
xlimmnfmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnfmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimmnfmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
xlimmnfmpt.f	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xlimmnfmpt	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐵 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑗,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem xlimmnfmpt

Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimmnfmpt.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
2		nfmpt1 5184	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
3	1, 2	nfcxfr 2896	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
4		xlimmnfmpt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		xlimmnfmpt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		xlimmnfmpt.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		xlimmnfmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8	6, 7, 1	fmptdf 7069	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
9	3, 4, 5, 8	xlimmnf 46269	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦))
10		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 ∈ 𝑍
11	6, 10	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
12	5	uztrn2 12807	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
13	12	adantll 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
14		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝜑)
15	14, 13, 7	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16	1	fvmpt2 6959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
17	13, 15, 16	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
18	17	breq1d 5095	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 ↔ 𝐵 ≤ 𝑦))
19	11, 18	ralbida 3248	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑦))
20	19	rexbidva 3159	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑦))
21	20	ralbidv 3160	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑦))
22		breq2 5089	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑦 ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
23	22	rexralbidv 3203	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑥))
24		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
25	24	raleqdv 3295	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐵 ≤ 𝑥))
26	25	cbvrexvw 3216	. . . . 5 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐵 ≤ 𝑥)
27	23, 26	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐵 ≤ 𝑥))
28	27	cbvralvw 3215	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐵 ≤ 𝑥)
29	28	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐵 ≤ 𝑥))
30	9, 21, 29	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐵 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  ℝcr 11037  -∞cmnf 11177  ℝ^*cxr 11178   ≤ cle 11180  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ~~>*clsxlim 46246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fi 9324  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-z 12525  df-uz 12789  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-topgen 17406  df-ordt 17465  df-ps 18532  df-tsr 18533  df-top 22859  df-topon 22876  df-bases 22911  df-lm 23194  df-xlim 46247

This theorem is referenced by: (None)