Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimmnfmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimmnfmpt 45136
Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimmnfmpt.k β„²π‘˜πœ‘
xlimmnfmpt.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
xlimmnfmpt.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
xlimmnfmpt.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
xlimmnfmpt.f 𝐹 = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
xlimmnfmpt (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*-∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝐡 ≀ π‘₯))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑗,π‘₯   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐡(π‘˜)   𝐹(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝑀(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem xlimmnfmpt
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimmnfmpt.f . . . 4 𝐹 = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
2 nfmpt1 5249 . . . 4 β„²π‘˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
31, 2nfcxfr 2895 . . 3 β„²π‘˜πΉ
4 xlimmnfmpt.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
5 xlimmnfmpt.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
6 xlimmnfmpt.k . . . 4 β„²π‘˜πœ‘
7 xlimmnfmpt.b . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
86, 7, 1fmptdf 7112 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
93, 4, 5, 8xlimmnf 45134 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*-∞ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑦))
10 nfv 1909 . . . . . 6 β„²π‘˜ 𝑖 ∈ 𝑍
116, 10nfan 1894 . . . . 5 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
125uztrn2 12845 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
1312adantll 711 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
14 simpll 764 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ πœ‘)
1514, 13, 7syl2anc 583 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
161fvmpt2 7003 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐡)
1713, 15, 16syl2anc 583 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐡)
1817breq1d 5151 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑦 ↔ 𝐡 ≀ 𝑦))
1911, 18ralbida 3261 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦))
2019rexbidva 3170 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦))
2120ralbidv 3171 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦))
22 breq2 5145 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐡 ≀ 𝑦 ↔ 𝐡 ≀ π‘₯))
2322rexralbidv 3214 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ π‘₯))
24 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) = (β„€β‰₯β€˜π‘—))
2524raleqdv 3319 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝐡 ≀ π‘₯))
2625cbvrexvw 3229 . . . . 5 (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝐡 ≀ π‘₯)
2723, 26bitrdi 287 . . . 4 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝐡 ≀ π‘₯))
2827cbvralvw 3228 . . 3 (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝐡 ≀ π‘₯)
2928a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝐡 ≀ π‘₯))
309, 21, 293bitrd 305 1 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*-∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝐡 ≀ π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  β„cr 11111  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ~~>*clsxlim 45111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-z 12563  df-uz 12827  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-topgen 17398  df-ordt 17456  df-ps 18531  df-tsr 18532  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-lm 23088  df-xlim 45112
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator