Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimmnfmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimmnfmpt 45799
Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimmnfmpt.k 𝑘𝜑
xlimmnfmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnfmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimmnfmpt.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
xlimmnfmpt.f 𝐹 = (𝑘𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
xlimmnfmpt (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐵𝑥))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑗,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem xlimmnfmpt
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimmnfmpt.f . . . 4 𝐹 = (𝑘𝑍𝐵)
2 nfmpt1 5256 . . . 4 𝑘(𝑘𝑍𝐵)
31, 2nfcxfr 2901 . . 3 𝑘𝐹
4 xlimmnfmpt.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 xlimmnfmpt.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 xlimmnfmpt.k . . . 4 𝑘𝜑
7 xlimmnfmpt.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
86, 7, 1fmptdf 7137 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
93, 4, 5, 8xlimmnf 45797 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦))
10 nfv 1912 . . . . . 6 𝑘 𝑖𝑍
116, 10nfan 1897 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑖𝑍)
125uztrn2 12895 . . . . . . . 8 ((𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑘𝑍)
1312adantll 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑘𝑍)
14 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
1514, 13, 7syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
161fvmpt2 7027 . . . . . . 7 ((𝑘𝑍𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
1713, 15, 16syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
1817breq1d 5158 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑦𝐵𝑦))
1911, 18ralbida 3268 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
2019rexbidva 3175 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
2120ralbidv 3176 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
22 breq2 5152 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝐵𝑦𝐵𝑥))
2322rexralbidv 3221 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦 ↔ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑥))
24 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑗))
2524raleqdv 3324 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐵𝑥))
2625cbvrexvw 3236 . . . . 5 (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐵𝑥)
2723, 26bitrdi 287 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐵𝑥))
2827cbvralvw 3235 . . 3 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐵𝑥)
2928a1i 11 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐵𝑥))
309, 21, 293bitrd 305 1 (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐵𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  cr 11152  -∞cmnf 11291  *cxr 11292  cle 11294  cz 12611  cuz 12876  ~~>*clsxlim 45774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-topgen 17490  df-ordt 17548  df-ps 18624  df-tsr 18625  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-lm 23253  df-xlim 45775
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator