Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimmnfmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimmnfmpt 45293
Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimmnfmpt.k β„²π‘˜πœ‘
xlimmnfmpt.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
xlimmnfmpt.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
xlimmnfmpt.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
xlimmnfmpt.f 𝐹 = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
xlimmnfmpt (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*-∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝐡 ≀ π‘₯))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑗,π‘₯   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐡(π‘˜)   𝐹(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝑀(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem xlimmnfmpt
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimmnfmpt.f . . . 4 𝐹 = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
2 nfmpt1 5251 . . . 4 β„²π‘˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
31, 2nfcxfr 2890 . . 3 β„²π‘˜πΉ
4 xlimmnfmpt.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
5 xlimmnfmpt.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
6 xlimmnfmpt.k . . . 4 β„²π‘˜πœ‘
7 xlimmnfmpt.b . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
86, 7, 1fmptdf 7121 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
93, 4, 5, 8xlimmnf 45291 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*-∞ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑦))
10 nfv 1909 . . . . . 6 β„²π‘˜ 𝑖 ∈ 𝑍
116, 10nfan 1894 . . . . 5 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
125uztrn2 12869 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
1312adantll 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
14 simpll 765 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ πœ‘)
1514, 13, 7syl2anc 582 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
161fvmpt2 7010 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐡)
1713, 15, 16syl2anc 582 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐡)
1817breq1d 5153 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑦 ↔ 𝐡 ≀ 𝑦))
1911, 18ralbida 3258 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦))
2019rexbidva 3167 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦))
2120ralbidv 3168 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦))
22 breq2 5147 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐡 ≀ 𝑦 ↔ 𝐡 ≀ π‘₯))
2322rexralbidv 3211 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ π‘₯))
24 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) = (β„€β‰₯β€˜π‘—))
2524raleqdv 3315 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝐡 ≀ π‘₯))
2625cbvrexvw 3226 . . . . 5 (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝐡 ≀ π‘₯)
2723, 26bitrdi 286 . . . 4 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝐡 ≀ π‘₯))
2827cbvralvw 3225 . . 3 (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝐡 ≀ π‘₯)
2928a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝐡 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝐡 ≀ π‘₯))
309, 21, 293bitrd 304 1 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*-∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)𝐡 ≀ π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6542  β„cr 11135  -∞cmnf 11274  β„*cxr 11275   ≀ cle 11277  β„€cz 12586  β„€β‰₯cuz 12850  ~~>*clsxlim 45268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-1o 8483  df-er 8721  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fi 9432  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-z 12587  df-uz 12851  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-topgen 17422  df-ordt 17480  df-ps 18555  df-tsr 18556  df-top 22812  df-topon 22829  df-bases 22865  df-lm 23149  df-xlim 45269
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator