Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimpnfmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimpnfmpt 42123
 Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimpnfmpt.k 𝑘𝜑
xlimpnfmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimpnfmpt.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
xlimpnfmpt.f 𝐹 = (𝑘𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
xlimpnfmpt (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑗,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem xlimpnfmpt
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimpnfmpt.f . . . 4 𝐹 = (𝑘𝑍𝐵)
2 nfmpt1 5163 . . . 4 𝑘(𝑘𝑍𝐵)
31, 2nfcxfr 2975 . . 3 𝑘𝐹
4 xlimpnfmpt.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 xlimpnfmpt.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 xlimpnfmpt.k . . . 4 𝑘𝜑
7 xlimpnfmpt.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
86, 7, 1fmptdf 6880 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
93, 4, 5, 8xlimpnf 42121 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑘)))
10 nfv 1911 . . . . . 6 𝑘 𝑖𝑍
116, 10nfan 1896 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑖𝑍)
125uztrn2 12261 . . . . . . . 8 ((𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑘𝑍)
1312adantll 712 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑘𝑍)
14 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
1514, 13, 7syl2anc 586 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
161fvmpt2 6778 . . . . . . 7 ((𝑘𝑍𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
1713, 15, 16syl2anc 586 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
1817breq2d 5077 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝑦 ≤ (𝐹𝑘) ↔ 𝑦𝐵))
1911, 18ralbida 3230 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵))
2019rexbidva 3296 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵))
2120ralbidv 3197 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵))
22 breq1 5068 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐵𝑥𝐵))
2322rexralbidv 3301 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵))
24 fveq2 6669 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑗))
2524raleqdv 3415 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥𝐵))
2625cbvrexvw 3450 . . . . 5 (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥𝐵)
2723, 26syl6bb 289 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥𝐵))
2827cbvralvw 3449 . . 3 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥𝐵)
2928a1i 11 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥𝐵))
309, 21, 293bitrd 307 1 (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   class class class wbr 5065   ↦ cmpt 5145  ‘cfv 6354  ℝcr 10535  +∞cpnf 10671  ℝ*cxr 10673   ≤ cle 10675  ℤcz 11980  ℤ≥cuz 12242  ~~>*clsxlim 42097 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fi 8874  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-z 11981  df-uz 12243  df-ioo 12741  df-ioc 12742  df-ico 12743  df-icc 12744  df-topgen 16716  df-ordt 16773  df-ps 17809  df-tsr 17810  df-top 21501  df-topon 21518  df-bases 21553  df-lm 21836  df-xlim 42098 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator