Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimpnfmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimpnfmpt 45145
Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimpnfmpt.k 𝑘𝜑
xlimpnfmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimpnfmpt.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
xlimpnfmpt.f 𝐹 = (𝑘𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
xlimpnfmpt (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑗,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem xlimpnfmpt
Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimpnfmpt.f . . . 4 𝐹 = (𝑘𝑍𝐵)
2 nfmpt1 5250 . . . 4 𝑘(𝑘𝑍𝐵)
31, 2nfcxfr 2896 . . 3 𝑘𝐹
4 xlimpnfmpt.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 xlimpnfmpt.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 xlimpnfmpt.k . . . 4 𝑘𝜑
7 xlimpnfmpt.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
86, 7, 1fmptdf 7121 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
93, 4, 5, 8xlimpnf 45143 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑘)))
10 nfv 1910 . . . . . 6 𝑘 𝑖𝑍
116, 10nfan 1895 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑖𝑍)
125uztrn2 12857 . . . . . . . 8 ((𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑘𝑍)
1312adantll 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑘𝑍)
14 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
1514, 13, 7syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
161fvmpt2 7010 . . . . . . 7 ((𝑘𝑍𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
1713, 15, 16syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
1817breq2d 5154 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝑦 ≤ (𝐹𝑘) ↔ 𝑦𝐵))
1911, 18ralbida 3262 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵))
2019rexbidva 3171 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵))
2120ralbidv 3172 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵))
22 breq1 5145 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐵𝑥𝐵))
2322rexralbidv 3215 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵))
24 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑗))
2524raleqdv 3320 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥𝐵))
2625cbvrexvw 3230 . . . . 5 (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑥𝐵 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥𝐵)
2723, 26bitrdi 287 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥𝐵))
2827cbvralvw 3229 . . 3 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥𝐵)
2928a1i 11 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑖)𝑦𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥𝐵))
309, 21, 293bitrd 305 1 (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  wral 3056  wrex 3065   class class class wbr 5142  cmpt 5225  cfv 6542  cr 11123  +∞cpnf 11261  *cxr 11263  cle 11265  cz 12574  cuz 12838  ~~>*clsxlim 45119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-1o 8478  df-er 8716  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9420  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-z 12575  df-uz 12839  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-topgen 17410  df-ordt 17468  df-ps 18543  df-tsr 18544  df-top 22770  df-topon 22787  df-bases 22823  df-lm 23107  df-xlim 45120
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator