Theorem xlimpnfmpt 45815

Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnfmpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
xlimpnfmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimpnfmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
xlimpnfmpt.f	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xlimpnfmpt	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑗,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem xlimpnfmpt

Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimpnfmpt.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
2		nfmpt1 5201	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
3	1, 2	nfcxfr 2889	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
4		xlimpnfmpt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		xlimpnfmpt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		xlimpnfmpt.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		xlimpnfmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8	6, 7, 1	fmptdf 7071	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
9	3, 4, 5, 8	xlimpnf 45813	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘)))
10		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 ∈ 𝑍
11	6, 10	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
12	5	uztrn2 12788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
13	12	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
14		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝜑)
15	14, 13, 7	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16	1	fvmpt2 6961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
17	13, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
18	17	breq2d 5114	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ 𝑦 ≤ 𝐵))
19	11, 18	ralbida 3246	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵))
20	19	rexbidva 3155	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵))
21	20	ralbidv 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵))
22		breq1 5105	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ 𝐵 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))
23	22	rexralbidv 3201	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵))
24		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
25	24	raleqdv 3296	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ 𝐵))
26	25	cbvrexvw 3214	. . . . 5 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ 𝐵)
27	23, 26	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ 𝐵))
28	27	cbvralvw 3213	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ 𝐵)
29	28	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ 𝐵))
30	9, 21, 29	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  ℝcr 11043  +∞cpnf 11181  ℝ^*cxr 11183   ≤ cle 11185  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ~~>*clsxlim 45789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9338  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-topgen 17382  df-ordt 17440  df-ps 18501  df-tsr 18502  df-top 22757  df-topon 22774  df-bases 22809  df-lm 23092  df-xlim 45790

This theorem is referenced by: (None)