Theorem xlimpnfmpt 45849

Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnfmpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
xlimpnfmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimpnfmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
xlimpnfmpt.f	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xlimpnfmpt	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑗,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem xlimpnfmpt

Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimpnfmpt.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
2		nfmpt1 5209	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
3	1, 2	nfcxfr 2890	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
4		xlimpnfmpt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		xlimpnfmpt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		xlimpnfmpt.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		xlimpnfmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8	6, 7, 1	fmptdf 7092	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
9	3, 4, 5, 8	xlimpnf 45847	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘)))
10		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 ∈ 𝑍
11	6, 10	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
12	5	uztrn2 12819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
13	12	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
14		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝜑)
15	14, 13, 7	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16	1	fvmpt2 6982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
17	13, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
18	17	breq2d 5122	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ 𝑦 ≤ 𝐵))
19	11, 18	ralbida 3249	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵))
20	19	rexbidva 3156	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵))
21	20	ralbidv 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵))
22		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ 𝐵 ↔ 𝑥 ≤ 𝐵))
23	22	rexralbidv 3204	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵))
24		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
25	24	raleqdv 3301	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ 𝐵))
26	25	cbvrexvw 3217	. . . . 5 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ 𝐵)
27	23, 26	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ 𝐵))
28	27	cbvralvw 3216	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ 𝐵)
29	28	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ 𝐵))
30	9, 21, 29	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  ℝcr 11074  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   ≤ cle 11216  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ~~>*clsxlim 45823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9369  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-z 12537  df-uz 12801  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-topgen 17413  df-ordt 17471  df-ps 18532  df-tsr 18533  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-lm 23123  df-xlim 45824

This theorem is referenced by: (None)