Theorem xlimpnf 46369

Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
xlimpnf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimpnf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimpnf	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑥   𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem xlimpnf

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimpnf.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		xlimpnf.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		xlimpnf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	1, 2, 3	xlimpnfv 46365	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
5		breq1 5102	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙)))
6	5	rexralbidv 3227	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙)))
7		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
8	7	raleqdv 3319	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙)))
9		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
10		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
11		xlimpnf.k	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
12		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
13	11, 12	nffv 6871	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
14	9, 10, 13	nfbr 5146	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙)
15		nfv 1933	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑙 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
16		fveq2 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
17	16	breq2d 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
18	14, 15, 17	cbvralw 3303	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
19	8, 18	bitrdi 289	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
20	19	cbvrexvw 3240	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
21	6, 20	bitrdi 289	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
22	21	cbvralvw 3239	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
23	4, 22	bitrdi 289	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Ⅎwnfc 2908  ∀wral 3075  ∃wrex 3085   class class class wbr 5099  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  ℝcr 11067  +∞cpnf 11208  ℝ^*cxr 11210   ≤ cle 11212  ℤcz 12563  ℤ_≥cuz 12834  ~~>*clsxlim 46345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-pm 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9352  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-z 12564  df-uz 12835  df-ioo 13348  df-ioc 13349  df-ico 13350  df-icc 13351  df-topgen 17453  df-ordt 17512  df-ps 18579  df-tsr 18580  df-top 22932  df-topon 22949  df-bases 22984  df-lm 23267  df-xlim 46346

This theorem is referenced by:  xlimpnfmpt  46371  dfxlim2v  46374  xlimpnfxnegmnf2  46385  meaiuninc3v  47011