Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimpnf 41665
 Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimpnf.k 𝑘𝐹
xlimpnf.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnf.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimpnf.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xlimpnf (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑥   𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem xlimpnf
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimpnf.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 xlimpnf.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 xlimpnf.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
41, 2, 3xlimpnfv 41661 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑙)))
5 breq1 4965 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ (𝐹𝑙) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹𝑙)))
65rexralbidv 3264 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑙) ↔ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑥 ≤ (𝐹𝑙)))
7 fveq2 6538 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑗))
87raleqdv 3375 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑥 ≤ (𝐹𝑙) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑙)))
9 nfcv 2949 . . . . . . . 8 𝑘𝑥
10 nfcv 2949 . . . . . . . 8 𝑘
11 xlimpnf.k . . . . . . . . 9 𝑘𝐹
12 nfcv 2949 . . . . . . . . 9 𝑘𝑙
1311, 12nffv 6548 . . . . . . . 8 𝑘(𝐹𝑙)
149, 10, 13nfbr 5009 . . . . . . 7 𝑘 𝑥 ≤ (𝐹𝑙)
15 nfv 1892 . . . . . . 7 𝑙 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
16 fveq2 6538 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑘 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑘))
1716breq2d 4974 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑘 → (𝑥 ≤ (𝐹𝑙) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
1814, 15, 17cbvral 3399 . . . . . 6 (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑙) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
198, 18syl6bb 288 . . . . 5 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑥 ≤ (𝐹𝑙) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
2019cbvrexv 3404 . . . 4 (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑥 ≤ (𝐹𝑙) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
216, 20syl6bb 288 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑙) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
2221cbvralv 3403 . 2 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑙) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
234, 22syl6bb 288 1 (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  Ⅎwnfc 2933  ∀wral 3105  ∃wrex 3106   class class class wbr 4962  ⟶wf 6221  ‘cfv 6225  ℝcr 10382  +∞cpnf 10518  ℝ*cxr 10520   ≤ cle 10522  ℤcz 11829  ℤ≥cuz 12093  ~~>*clsxlim 41641 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fi 8721  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-z 11830  df-uz 12094  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-icc 12595  df-topgen 16546  df-ordt 16603  df-ps 17639  df-tsr 17640  df-top 21186  df-topon 21203  df-bases 21238  df-lm 21521  df-xlim 41642 This theorem is referenced by:  xlimpnfmpt  41667  dfxlim2v  41670  xlimpnfxnegmnf2  41681  meaiuninc3v  42308
 Copyright terms: Public domain W3C validator