Theorem xlimpnf 45888

Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
xlimpnf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimpnf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimpnf	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑥   𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem xlimpnf

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimpnf.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		xlimpnf.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		xlimpnf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	1, 2, 3	xlimpnfv 45884	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
5		breq1 5092	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙)))
6	5	rexralbidv 3198	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙)))
7		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
8	7	raleqdv 3292	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙)))
9		nfcv 2894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
10		nfcv 2894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
11		xlimpnf.k	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
12		nfcv 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
13	11, 12	nffv 6832	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
14	9, 10, 13	nfbr 5136	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙)
15		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑙 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
16		fveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
17	16	breq2d 5101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
18	14, 15, 17	cbvralw 3274	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
19	8, 18	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
20	19	cbvrexvw 3211	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
21	6, 20	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
22	21	cbvralvw 3210	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
23	4, 22	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2879  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   class class class wbr 5089  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  ℝcr 11005  +∞cpnf 11143  ℝ^*cxr 11145   ≤ cle 11147  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ~~>*clsxlim 45864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fi 9295  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-z 12469  df-uz 12733  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-ico 13251  df-icc 13252  df-topgen 17347  df-ordt 17405  df-ps 18472  df-tsr 18473  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22861  df-lm 23144  df-xlim 45865

This theorem is referenced by:  xlimpnfmpt  45890  dfxlim2v  45893  xlimpnfxnegmnf2  45904  meaiuninc3v  46530