Theorem xlimpnf 45871

Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
xlimpnf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimpnf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimpnf	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑥   𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem xlimpnf

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimpnf.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		xlimpnf.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		xlimpnf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	1, 2, 3	xlimpnfv 45867	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
5		breq1 5122	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙)))
6	5	rexralbidv 3207	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙)))
7		fveq2 6876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
8	7	raleqdv 3305	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙)))
9		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
10		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
11		xlimpnf.k	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
12		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
13	11, 12	nffv 6886	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
14	9, 10, 13	nfbr 5166	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙)
15		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑙 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
16		fveq2 6876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
17	16	breq2d 5131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
18	14, 15, 17	cbvralw 3286	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
19	8, 18	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
20	19	cbvrexvw 3221	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
21	6, 20	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
22	21	cbvralvw 3220	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
23	4, 22	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2883  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  ℝcr 11128  +∞cpnf 11266  ℝ^*cxr 11268   ≤ cle 11270  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ~~>*clsxlim 45847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fi 9423  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-z 12589  df-uz 12853  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-topgen 17457  df-ordt 17515  df-ps 18576  df-tsr 18577  df-top 22832  df-topon 22849  df-bases 22884  df-lm 23167  df-xlim 45848

This theorem is referenced by:  xlimpnfmpt  45873  dfxlim2v  45876  xlimpnfxnegmnf2  45887  meaiuninc3v  46513