Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimmnf 45111
Description: A function converges to minus infinity if it eventually becomes (and stays) smaller than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimmnf.k β„²π‘˜πΉ
xlimmnf.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
xlimmnf.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
xlimmnf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
xlimmnf (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*-∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,π‘₯   𝑗,𝑍,π‘₯   𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝑀(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝑍(π‘˜)

Proof of Theorem xlimmnf
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimmnf.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2 xlimmnf.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3 xlimmnf.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
41, 2, 3xlimmnfv 45104 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*-∞ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦))
5 breq2 5145 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
65rexralbidv 3214 . . . 4 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
7 fveq2 6884 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) = (β„€β‰₯β€˜π‘—))
87raleqdv 3319 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
9 xlimmnf.k . . . . . . . . 9 β„²π‘˜πΉ
10 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜π‘™
119, 10nffv 6894 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(πΉβ€˜π‘™)
12 nfcv 2897 . . . . . . . 8 β„²π‘˜ ≀
13 nfcv 2897 . . . . . . . 8 β„²π‘˜π‘₯
1411, 12, 13nfbr 5188 . . . . . . 7 β„²π‘˜(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯
15 nfv 1909 . . . . . . 7 Ⅎ𝑙(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯
16 fveq2 6884 . . . . . . . 8 (𝑙 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘˜))
1716breq1d 5151 . . . . . . 7 (𝑙 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
1814, 15, 17cbvralw 3297 . . . . . 6 (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
198, 18bitrdi 287 . . . . 5 (𝑖 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
2019cbvrexvw 3229 . . . 4 (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
216, 20bitrdi 287 . . 3 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
2221cbvralvw 3228 . 2 (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
234, 22bitrdi 287 1 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*-∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2877  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  β„cr 11108  -∞cmnf 11247  β„*cxr 11248   ≀ cle 11250  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823  ~~>*clsxlim 45088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8464  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-z 12560  df-uz 12824  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-topgen 17395  df-ordt 17453  df-ps 18528  df-tsr 18529  df-top 22746  df-topon 22763  df-bases 22799  df-lm 23083  df-xlim 45089
This theorem is referenced by:  xlimmnfmpt  45113  dfxlim2v  45117  xlimpnfxnegmnf2  45128
  Copyright terms: Public domain W3C validator