Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimmnf 41587
Description: A function converges to minus infinity if it eventually becomes (and stays) smaller than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimmnf.k 𝑘𝐹
xlimmnf.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnf.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimmnf.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xlimmnf (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑥   𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem xlimmnf
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimmnf.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 xlimmnf.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 xlimmnf.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
41, 2, 3xlimmnfv 41580 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦))
5 breq2 4929 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
65rexralbidv 3239 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
7 fveq2 6496 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑗))
87raleqdv 3348 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
9 xlimmnf.k . . . . . . . . 9 𝑘𝐹
10 nfcv 2925 . . . . . . . . 9 𝑘𝑙
119, 10nffv 6506 . . . . . . . 8 𝑘(𝐹𝑙)
12 nfcv 2925 . . . . . . . 8 𝑘
13 nfcv 2925 . . . . . . . 8 𝑘𝑥
1411, 12, 13nfbr 4972 . . . . . . 7 𝑘(𝐹𝑙) ≤ 𝑥
15 nfv 1874 . . . . . . 7 𝑙(𝐹𝑘) ≤ 𝑥
16 fveq2 6496 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑘 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑘))
1716breq1d 4935 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
1814, 15, 17cbvral 3372 . . . . . 6 (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
198, 18syl6bb 279 . . . . 5 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
2019cbvrexv 3377 . . . 4 (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
216, 20syl6bb 279 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
2221cbvralv 3376 . 2 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
234, 22syl6bb 279 1 (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1508  wcel 2051  wnfc 2909  wral 3081  wrex 3082   class class class wbr 4925  wf 6181  cfv 6185  cr 10332  -∞cmnf 10470  *cxr 10471  cle 10473  cz 11791  cuz 12056  ~~>*clsxlim 41564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-pm 8207  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fi 8668  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-z 11792  df-uz 12057  df-ioo 12556  df-ioc 12557  df-ico 12558  df-icc 12559  df-topgen 16571  df-ordt 16628  df-ps 17680  df-tsr 17681  df-top 21221  df-topon 21238  df-bases 21273  df-lm 21556  df-xlim 41565
This theorem is referenced by:  xlimmnfmpt  41589  dfxlim2v  41593  xlimpnfxnegmnf2  41604
  Copyright terms: Public domain W3C validator