Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimmnf 40585
Description: A function converges to minus infinity if it eventually becomes (and stays) smaller than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimmnf.k 𝑘𝐹
xlimmnf.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnf.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimmnf.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xlimmnf (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑥   𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem xlimmnf
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimmnf.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 xlimmnf.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 xlimmnf.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
41, 2, 3xlimmnfv 40578 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦))
5 breq2 4790 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
65rexralbidv 3206 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
7 fveq2 6332 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑗))
87raleqdv 3293 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
9 xlimmnf.k . . . . . . . . 9 𝑘𝐹
10 nfcv 2913 . . . . . . . . 9 𝑘𝑙
119, 10nffv 6339 . . . . . . . 8 𝑘(𝐹𝑙)
12 nfcv 2913 . . . . . . . 8 𝑘
13 nfcv 2913 . . . . . . . 8 𝑘𝑥
1411, 12, 13nfbr 4833 . . . . . . 7 𝑘(𝐹𝑙) ≤ 𝑥
15 nfv 1995 . . . . . . 7 𝑙(𝐹𝑘) ≤ 𝑥
16 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑘 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑘))
1716breq1d 4796 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
1814, 15, 17cbvral 3316 . . . . . 6 (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
198, 18syl6bb 276 . . . . 5 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
2019cbvrexv 3321 . . . 4 (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
216, 20syl6bb 276 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
2221cbvralv 3320 . 2 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
234, 22syl6bb 276 1 (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1631  wcel 2145  wnfc 2900  wral 3061  wrex 3062   class class class wbr 4786  wf 6027  cfv 6031  cr 10137  -∞cmnf 10274  *cxr 10275  cle 10277  cz 11579  cuz 11888  ~~>*clsxlim 40562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8473  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-z 11580  df-uz 11889  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-topgen 16312  df-ordt 16369  df-ps 17408  df-tsr 17409  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-lm 21254  df-xlim 40563
This theorem is referenced by:  xlimmnfmpt  40587  dfxlim2v  40591
  Copyright terms: Public domain W3C validator