Theorem xlimmnf 43382

Description: A function converges to minus infinity if it eventually becomes (and stays) smaller than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimmnf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
xlimmnf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimmnf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimmnf	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑥   𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem xlimmnf

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimmnf.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		xlimmnf.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		xlimmnf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	1, 2, 3	xlimmnfv 43375	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦))
5		breq2 5078	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
6	5	rexralbidv 3230	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
7		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
8	7	raleqdv 3348	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
9		xlimmnf.k	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
10		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
11	9, 10	nffv 6784	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
12		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
13		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
14	11, 12, 13	nfbr 5121	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥
15		nfv 1917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑙(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥
16		fveq2 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
17	16	breq1d 5084	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
18	14, 15, 17	cbvralw 3373	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
19	8, 18	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
20	19	cbvrexvw 3384	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
21	6, 20	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
22	21	cbvralvw 3383	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
23	4, 22	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2887  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  ℝcr 10870  -∞cmnf 11007  ℝ^*cxr 11008   ≤ cle 11010  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ~~>*clsxlim 43359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-1o 8297  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fi 9170  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-z 12320  df-uz 12583  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-topgen 17154  df-ordt 17212  df-ps 18284  df-tsr 18285  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-lm 22380  df-xlim 43360

This theorem is referenced by:  xlimmnfmpt  43384  dfxlim2v  43388  xlimpnfxnegmnf2  43399