Theorem zexpcld 14254

Description: Closure of exponentiation of integers, deduction form. (Contributed by SN, 15-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
zexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		zexpcl 14243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7440  ℕ₀cn0 12630  ℤcz 12717  ↑cexp 14228

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-seq 14169  df-exp 14229

This theorem is used by:  fermltlchr  21862  constrext2chnlem  34449  cos9thpiminplylem1  34481  aks4d1p7d1  43323  aks4d1p7  43324  aks4d1p8d2  43326  aks4d1p8d3  43327  aks4d1p8  43328  aks4d1p9  43329  hashscontpow1  43362  hashscontpow  43363  aks6d1c3  43364  aks6d1c4  43365  aks6d1c6lem3  43413  aks6d1c6lem4  43414  aks6d1c7lem2  43422  dvdsexpb  43578  dignn0flhalflem1  49930