Theorem zexpcld 14012

Description: Closure of exponentiation of integers, deduction form. (Contributed by SN, 15-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
zexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		zexpcl 14001	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  ↑cexp 13986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-seq 13927  df-exp 13987

This theorem is referenced by:  fermltlchr  21486  constrext2chnlem  33886  cos9thpiminplylem1  33918  aks4d1p7d1  42371  aks4d1p7  42372  aks4d1p8d2  42374  aks4d1p8d3  42375  aks4d1p8  42376  aks4d1p9  42377  hashscontpow1  42410  hashscontpow  42411  aks6d1c3  42412  aks6d1c4  42413  aks6d1c6lem3  42461  aks6d1c6lem4  42462  aks6d1c7lem2  42470  dvdsexpb  42627