Theorem hashscontpow 42135

Description: If a set contains all 𝑁-th powers, then the size of the image under the ZR homomorphism is greater than the 𝑅-th order of 𝑁. (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashscontpow.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ℤ)
hashscontpow.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashscontpow.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑁↑𝑘) ∈ 𝐸)
hashscontpow.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
hashscontpow.5	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
hashscontpow.6	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
hashscontpow.7	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
hashscontpow	⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (♯‘(𝐿 “ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐸   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝐿(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem hashscontpow

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashscontpow.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
2		hashscontpow.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		hashscontpow.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
5		odzcl 16813	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12562	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0)
8		hashfz1 14364	. . 3 ⊢ (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
10		ovexd 7440	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∈ V)
11	10	mptexd 7216	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))) ∈ V)
12		hashscontpow.6	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
13	12	fvexi 6890	. . . . 5 ⊢ 𝐿 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ V)
15		imaexg 7909	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ V → (𝐿 “ 𝐸) ∈ V)
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 “ 𝐸) ∈ V)
17	1	nnnn0d 12562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
18		hashscontpow.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
19	18	zncrng 21505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
20	17, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
21		crngring 20205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
22	12	zrhrhm 21472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
23		zringbas 21414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
25	23, 24	rhmf 20445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
26	20, 21, 22, 25	4syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
27	26	ffnd 6707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 Fn ℤ)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝐿 Fn ℤ)
29	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
30		elfznn 13570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑥 ∈ ℕ)
32	31	nnnn0d 12562	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
33	29, 32	zexpcld 14105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (𝑁↑𝑥) ∈ ℤ)
34		oveq2 7413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑁↑𝑘) = (𝑁↑𝑥))
35	34	eleq1d 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝑁↑𝑘) ∈ 𝐸 ↔ (𝑁↑𝑥) ∈ 𝐸))
36		hashscontpow.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑁↑𝑘) ∈ 𝐸)
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑁↑𝑘) ∈ 𝐸)
38	35, 37, 32	rspcdva 3602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (𝑁↑𝑥) ∈ 𝐸)
39	28, 33, 38	fnfvimad 7226	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (𝐿‘(𝑁↑𝑥)) ∈ (𝐿 “ 𝐸))
40	39	fmpttd 7105	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))⟶(𝐿 “ 𝐸))
41	2	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑁 ∈ ℕ)
42		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
43		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
44	1	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑅 ∈ ℕ)
45	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
46		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 < 𝑏)
47	41, 42, 43, 44, 45, 12, 18, 46	hashscontpow1 42134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
48	2	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑁 ∈ ℕ)
49		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
50		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
51	1	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑅 ∈ ℕ)
52	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
53		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑏 < 𝑎)
54	48, 49, 50, 51, 52, 12, 18, 53	hashscontpow1 42134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁↑𝑏)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑎)))
55	54	necomd 2987	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
56	47, 55	jaodan 959	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
57	56	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → ((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏))))
58		biidd 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏))
59	58	necon3bbid 2969	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
60		elfzelz 13541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝑎 ∈ ℤ)
61	60	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑎 ∈ ℤ)
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑎 ∈ ℤ)
63	62	zred 12697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑎 ∈ ℝ)
64		elfzelz 13541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝑏 ∈ ℤ)
65	64	zred 12697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝑏 ∈ ℝ)
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑏 ∈ ℝ)
67		lttri2 11317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)))
68	63, 66, 67	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)))
69	59, 68	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)))
70	69	imbi1d 341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → ((¬ 𝑎 = 𝑏 → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏))) ↔ ((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))))
71	57, 70	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏))))
72	71	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
73		eqidd 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))) = (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))))
74		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑎) → 𝑥 = 𝑎)
75	74	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (𝑁↑𝑥) = (𝑁↑𝑎))
76	75	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (𝐿‘(𝑁↑𝑥)) = (𝐿‘(𝑁↑𝑎)))
77		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
78		fvexd 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ∈ V)
79	73, 76, 77, 78	fvmptd 6993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = (𝐿‘(𝑁↑𝑎)))
80		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑏) → 𝑥 = 𝑏)
81	80	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑏) → (𝑁↑𝑥) = (𝑁↑𝑏))
82	81	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁↑𝑥)) = (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
83		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
84		fvexd 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁↑𝑏)) ∈ V)
85	73, 82, 83, 84	fvmptd 6993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) = (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
86	79, 85	neeq12d 2993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) ≠ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) ↔ (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏))))
87	72, 86	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) ≠ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏))
88	87	neneqd 2937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ¬ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏))
89	88	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏)))
90	89	con4d 115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
91	90	ralrimiva 3132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → ∀𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
92	91	ralrimiva 3132	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))∀𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
93	40, 92	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))⟶(𝐿 “ 𝐸) ∧ ∀𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))∀𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
94		dff13 7247	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))–1-1→(𝐿 “ 𝐸) ↔ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))⟶(𝐿 “ 𝐸) ∧ ∀𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))∀𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
95	93, 94	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))–1-1→(𝐿 “ 𝐸))
96		hashf1dmcdm 14462	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))) ∈ V ∧ (𝐿 “ 𝐸) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))–1-1→(𝐿 “ 𝐸)) → (♯‘(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ≤ (♯‘(𝐿 “ 𝐸)))
97	11, 16, 95, 96	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ≤ (♯‘(𝐿 “ 𝐸)))
98	9, 97	eqbrtrrd 5143	1 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (♯‘(𝐿 “ 𝐸)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201   “ cima 5657   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  –1-1→wf1 6528  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  1c1 11130   < clt 11269   ≤ cle 11270  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ...cfz 13524  ↑cexp 14079  ♯chash 14348   gcd cgcd 16513  od_ℤcodz 16782  Basecbs 17228  Ringcrg 20193  CRingccrg 20194   RingHom crh 20429  ℤ_ringczring 21407  ℤRHomczrh 21460  ℤ/nℤczn 21463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208  ax-mulf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8719  df-ec 8721  df-qs 8725  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-prm 16691  df-odz 16784  df-phi 16785  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-0g 17455  df-imas 17522  df-qus 17523  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-nsg 19107  df-eqg 19108  df-ghm 19196  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-rhm 20432  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-lidl 21169  df-rsp 21170  df-2idl 21211  df-cnfld 21316  df-zring 21408  df-zrh 21464  df-zn 21467

This theorem is referenced by:  aks6d1c3  42136