Theorem hashscontpow 42951

Description: If a set contains all 𝑁-th powers, then the size of the image under the ZR homomorphism is greater than the 𝑅-th order of 𝑁. (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashscontpow.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ℤ)
hashscontpow.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashscontpow.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑁↑𝑘) ∈ 𝐸)
hashscontpow.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
hashscontpow.5	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
hashscontpow.6	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
hashscontpow.7	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
hashscontpow	⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (♯‘(𝐿 “ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐸   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝐿(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem hashscontpow

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashscontpow.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
2		hashscontpow.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12636	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		hashscontpow.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
5		odzcl 16879	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0)
8		hashfz1 14404	. . 3 ⊢ (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
10		ovexd 7454	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∈ V)
11	10	mptexd 7229	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))) ∈ V)
12		hashscontpow.6	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
13	12	fvexi 6899	. . . . 5 ⊢ 𝐿 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ V)
15		imaexg 7916	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ V → (𝐿 “ 𝐸) ∈ V)
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 “ 𝐸) ∈ V)
17	1	nnnn0d 12584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
18		hashscontpow.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
19	18	zncrng 21748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
20	17, 19	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
21		crngring 20375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
22	12	zrhrhm 21715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
23		zringbas 21657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
25	23, 24	rhmf 20617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
26	20, 21, 22, 25	4syl 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
27	26	ffnd 6710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 Fn ℤ)
28	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝐿 Fn ℤ)
29	3	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
30		elfznn 13602	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ)
31	30	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑥 ∈ ℕ)
32	31	nnnn0d 12584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
33	29, 32	zexpcld 14145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (𝑁↑𝑥) ∈ ℤ)
34		oveq2 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑁↑𝑘) = (𝑁↑𝑥))
35	34	eleq1d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝑁↑𝑘) ∈ 𝐸 ↔ (𝑁↑𝑥) ∈ 𝐸))
36		hashscontpow.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑁↑𝑘) ∈ 𝐸)
37	36	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑁↑𝑘) ∈ 𝐸)
38	35, 37, 32	rspcdva 3584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (𝑁↑𝑥) ∈ 𝐸)
39	28, 33, 38	fnfvimad 7239	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (𝐿‘(𝑁↑𝑥)) ∈ (𝐿 “ 𝐸))
40	39	fmpttd 7114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))⟶(𝐿 “ 𝐸))
41	2	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑁 ∈ ℕ)
42		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
43		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
44	1	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑅 ∈ ℕ)
45	4	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
46		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 < 𝑏)
47	41, 42, 43, 44, 45, 12, 18, 46	hashscontpow1 42950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
48	2	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑁 ∈ ℕ)
49		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
50		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
51	1	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑅 ∈ ℕ)
52	4	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
53		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑏 < 𝑎)
54	48, 49, 50, 51, 52, 12, 18, 53	hashscontpow1 42950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁↑𝑏)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑎)))
55	54	necomd 3015	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
56	47, 55	jaodan 972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
57	56	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → ((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏))))
58		biidd 265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏))
59	58	necon3bbid 2997	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
60		elfzelz 13572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝑎 ∈ ℤ)
61	60	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑎 ∈ ℤ)
62	61	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑎 ∈ ℤ)
63	62	zred 12720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑎 ∈ ℝ)
64		elfzelz 13572	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝑏 ∈ ℤ)
65	64	zred 12720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝑏 ∈ ℝ)
66	65	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑏 ∈ ℝ)
67		lttri2 11311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)))
68	63, 66, 67	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)))
69	59, 68	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)))
70	69	imbi1d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → ((¬ 𝑎 = 𝑏 → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏))) ↔ ((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))))
71	57, 70	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏))))
72	71	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
73		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))) = (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))))
74		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑎) → 𝑥 = 𝑎)
75	74	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (𝑁↑𝑥) = (𝑁↑𝑎))
76	75	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (𝐿‘(𝑁↑𝑥)) = (𝐿‘(𝑁↑𝑎)))
77		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
78		fvexd 6900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ∈ V)
79	73, 76, 77, 78	fvmptd 7001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = (𝐿‘(𝑁↑𝑎)))
80		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑏) → 𝑥 = 𝑏)
81	80	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑏) → (𝑁↑𝑥) = (𝑁↑𝑏))
82	81	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁↑𝑥)) = (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
83		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
84		fvexd 6900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁↑𝑏)) ∈ V)
85	73, 82, 83, 84	fvmptd 7001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) = (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
86	79, 85	neeq12d 3021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) ≠ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) ↔ (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏))))
87	72, 86	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) ≠ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏))
88	87	neneqd 2965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ¬ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏))
89	88	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏)))
90	89	con4d 116	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
91	90	ralrimiva 3159	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → ∀𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
92	91	ralrimiva 3159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))∀𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
93	40, 92	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))⟶(𝐿 “ 𝐸) ∧ ∀𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))∀𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
94		dff13 7257	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))–1-1→(𝐿 “ 𝐸) ↔ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))⟶(𝐿 “ 𝐸) ∧ ∀𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))∀𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
95	93, 94	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))–1-1→(𝐿 “ 𝐸))
96		hashf1dmcdm 14503	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))) ∈ V ∧ (𝐿 “ 𝐸) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))–1-1→(𝐿 “ 𝐸)) → (♯‘(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ≤ (♯‘(𝐿 “ 𝐸)))
97	11, 16, 95, 96	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ≤ (♯‘(𝐿 “ 𝐸)))
98	9, 97	eqbrtrrd 5137	1 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (♯‘(𝐿 “ 𝐸)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   “ cima 5666   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  –1-1→wf1 6537  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11118  1c1 11120   < clt 11262   ≤ cle 11263  ℕcn 12252  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ...cfz 13555  ↑cexp 14119  ♯chash 14388   gcd cgcd 16578  od_ℤcodz 16848  Basecbs 17295  Ringcrg 20363  CRingccrg 20364   RingHom crh 20601  ℤ_ringczring 21650  ℤRHomczrh 21703  ℤ/nℤczn 21706

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197  ax-addf 11198  ax-mulf 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-rp 13037  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-fl 13847  df-mod 13925  df-seq 14060  df-exp 14120  df-hash 14389  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-dvds 16337  df-gcd 16579  df-prm 16756  df-odz 16850  df-phi 16851  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-starv 17351  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-ip 17354  df-tset 17355  df-ple 17356  df-ds 17358  df-unif 17359  df-0g 17520  df-imas 17588  df-qus 17589  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-mhm 18882  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-sbg 19053  df-mulg 19182  df-subg 19237  df-nsg 19238  df-eqg 19239  df-ghm 19332  df-cmn 19900  df-abl 19901  df-mgp 20265  df-rng 20279  df-ur 20312  df-ring 20365  df-cring 20366  df-oppr 20469  df-dvdsr 20489  df-rhm 20604  df-subrng 20699  df-subrg 20723  df-lmod 21037  df-lss 21107  df-lsp 21147  df-sra 21348  df-rgmod 21349  df-lidl 21386  df-rsp 21387  df-2idl 21443  df-cnfld 21577  df-zring 21651  df-zrh 21707  df-zn 21710

This theorem is used by:  aks6d1c3  42952