Theorem hashscontpow 42578

Description: If a set contains all 𝑁-th powers, then the size of the image under the ZR homomorphism is greater than the 𝑅-th order of 𝑁. (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashscontpow.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ℤ)
hashscontpow.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashscontpow.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑁↑𝑘) ∈ 𝐸)
hashscontpow.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
hashscontpow.5	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
hashscontpow.6	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
hashscontpow.7	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
hashscontpow	⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (♯‘(𝐿 “ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐸   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝐿(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem hashscontpow

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashscontpow.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
2		hashscontpow.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12544	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		hashscontpow.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
5		odzcl 16758	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12492	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0)
8		hashfz1 14302	. . 3 ⊢ (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
10		ovexd 7396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∈ V)
11	10	mptexd 7173	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))) ∈ V)
12		hashscontpow.6	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
13	12	fvexi 6849	. . . . 5 ⊢ 𝐿 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ V)
15		imaexg 7858	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ V → (𝐿 “ 𝐸) ∈ V)
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 “ 𝐸) ∈ V)
17	1	nnnn0d 12492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
18		hashscontpow.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
19	18	zncrng 21537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
20	17, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
21		crngring 20220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
22	12	zrhrhm 21504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
23		zringbas 21446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
25	23, 24	rhmf 20458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
26	20, 21, 22, 25	4syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
27	26	ffnd 6664	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 Fn ℤ)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝐿 Fn ℤ)
29	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
30		elfznn 13501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑥 ∈ ℕ)
32	31	nnnn0d 12492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
33	29, 32	zexpcld 14043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (𝑁↑𝑥) ∈ ℤ)
34		oveq2 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑁↑𝑘) = (𝑁↑𝑥))
35	34	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝑁↑𝑘) ∈ 𝐸 ↔ (𝑁↑𝑥) ∈ 𝐸))
36		hashscontpow.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑁↑𝑘) ∈ 𝐸)
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑁↑𝑘) ∈ 𝐸)
38	35, 37, 32	rspcdva 3566	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (𝑁↑𝑥) ∈ 𝐸)
39	28, 33, 38	fnfvimad 7183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (𝐿‘(𝑁↑𝑥)) ∈ (𝐿 “ 𝐸))
40	39	fmpttd 7062	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))⟶(𝐿 “ 𝐸))
41	2	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑁 ∈ ℕ)
42		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
43		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
44	1	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑅 ∈ ℕ)
45	4	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
46		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 < 𝑏)
47	41, 42, 43, 44, 45, 12, 18, 46	hashscontpow1 42577	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
48	2	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑁 ∈ ℕ)
49		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
50		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
51	1	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑅 ∈ ℕ)
52	4	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
53		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑏 < 𝑎)
54	48, 49, 50, 51, 52, 12, 18, 53	hashscontpow1 42577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁↑𝑏)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑎)))
55	54	necomd 2988	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
56	47, 55	jaodan 960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
57	56	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → ((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏))))
58		biidd 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏))
59	58	necon3bbid 2970	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
60		elfzelz 13472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝑎 ∈ ℤ)
61	60	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑎 ∈ ℤ)
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑎 ∈ ℤ)
63	62	zred 12627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑎 ∈ ℝ)
64		elfzelz 13472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝑏 ∈ ℤ)
65	64	zred 12627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝑏 ∈ ℝ)
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑏 ∈ ℝ)
67		lttri2 11222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)))
68	63, 66, 67	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)))
69	59, 68	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)))
70	69	imbi1d 341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → ((¬ 𝑎 = 𝑏 → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏))) ↔ ((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))))
71	57, 70	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏))))
72	71	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
73		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))) = (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))))
74		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑎) → 𝑥 = 𝑎)
75	74	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (𝑁↑𝑥) = (𝑁↑𝑎))
76	75	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (𝐿‘(𝑁↑𝑥)) = (𝐿‘(𝑁↑𝑎)))
77		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
78		fvexd 6850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ∈ V)
79	73, 76, 77, 78	fvmptd 6950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = (𝐿‘(𝑁↑𝑎)))
80		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑏) → 𝑥 = 𝑏)
81	80	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑏) → (𝑁↑𝑥) = (𝑁↑𝑏))
82	81	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁↑𝑥)) = (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
83		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
84		fvexd 6850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁↑𝑏)) ∈ V)
85	73, 82, 83, 84	fvmptd 6950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) = (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
86	79, 85	neeq12d 2994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) ≠ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) ↔ (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏))))
87	72, 86	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) ≠ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏))
88	87	neneqd 2938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ¬ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏))
89	88	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏)))
90	89	con4d 115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
91	90	ralrimiva 3130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → ∀𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
92	91	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))∀𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
93	40, 92	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))⟶(𝐿 “ 𝐸) ∧ ∀𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))∀𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
94		dff13 7203	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))–1-1→(𝐿 “ 𝐸) ↔ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))⟶(𝐿 “ 𝐸) ∧ ∀𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))∀𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
95	93, 94	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))–1-1→(𝐿 “ 𝐸))
96		hashf1dmcdm 14400	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))) ∈ V ∧ (𝐿 “ 𝐸) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))–1-1→(𝐿 “ 𝐸)) → (♯‘(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ≤ (♯‘(𝐿 “ 𝐸)))
97	11, 16, 95, 96	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ≤ (♯‘(𝐿 “ 𝐸)))
98	9, 97	eqbrtrrd 5110	1 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (♯‘(𝐿 “ 𝐸)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   “ cima 5628   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  –1-1→wf1 6490  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  1c1 11033   < clt 11173   ≤ cle 11174  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  ℤcz 12518  ...cfz 13455  ↑cexp 14017  ♯chash 14286   gcd cgcd 16457  od_ℤcodz 16727  Basecbs 17173  Ringcrg 20208  CRingccrg 20209   RingHom crh 20443  ℤ_ringczring 21439  ℤRHomczrh 21492  ℤ/nℤczn 21495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-dju 9819  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-dvds 16216  df-gcd 16458  df-prm 16635  df-odz 16729  df-phi 16730  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-0g 17398  df-imas 17466  df-qus 17467  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-nsg 19094  df-eqg 19095  df-ghm 19182  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-rhm 20446  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-lsp 20961  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-lidl 21201  df-rsp 21202  df-2idl 21243  df-cnfld 21348  df-zring 21440  df-zrh 21496  df-zn 21499

This theorem is referenced by:  aks6d1c3  42579