Theorem hashscontpow 42386

Description: If a set contains all 𝑁-th powers, then the size of the image under the ZR homomorphism is greater than the 𝑅-th order of 𝑁. (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashscontpow.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ℤ)
hashscontpow.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashscontpow.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑁↑𝑘) ∈ 𝐸)
hashscontpow.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
hashscontpow.5	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
hashscontpow.6	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
hashscontpow.7	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
hashscontpow	⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (♯‘(𝐿 “ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐸   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝐿(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem hashscontpow

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashscontpow.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
2		hashscontpow.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12514	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		hashscontpow.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
5		odzcl 16721	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12462	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0)
8		hashfz1 14269	. . 3 ⊢ (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) = ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
10		ovexd 7393	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ∈ V)
11	10	mptexd 7170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))) ∈ V)
12		hashscontpow.6	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
13	12	fvexi 6848	. . . . 5 ⊢ 𝐿 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ V)
15		imaexg 7855	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ V → (𝐿 “ 𝐸) ∈ V)
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 “ 𝐸) ∈ V)
17	1	nnnn0d 12462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
18		hashscontpow.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
19	18	zncrng 21499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
20	17, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
21		crngring 20180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
22	12	zrhrhm 21466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
23		zringbas 21408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
25	23, 24	rhmf 20420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
26	20, 21, 22, 25	4syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
27	26	ffnd 6663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 Fn ℤ)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝐿 Fn ℤ)
29	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
30		elfznn 13469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑥 ∈ ℕ)
32	31	nnnn0d 12462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
33	29, 32	zexpcld 14010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (𝑁↑𝑥) ∈ ℤ)
34		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑁↑𝑘) = (𝑁↑𝑥))
35	34	eleq1d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝑁↑𝑘) ∈ 𝐸 ↔ (𝑁↑𝑥) ∈ 𝐸))
36		hashscontpow.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑁↑𝑘) ∈ 𝐸)
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑁↑𝑘) ∈ 𝐸)
38	35, 37, 32	rspcdva 3577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (𝑁↑𝑥) ∈ 𝐸)
39	28, 33, 38	fnfvimad 7180	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (𝐿‘(𝑁↑𝑥)) ∈ (𝐿 “ 𝐸))
40	39	fmpttd 7060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))⟶(𝐿 “ 𝐸))
41	2	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑁 ∈ ℕ)
42		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
43		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
44	1	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑅 ∈ ℕ)
45	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
46		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 < 𝑏)
47	41, 42, 43, 44, 45, 12, 18, 46	hashscontpow1 42385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
48	2	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑁 ∈ ℕ)
49		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
50		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
51	1	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑅 ∈ ℕ)
52	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
53		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑏 < 𝑎)
54	48, 49, 50, 51, 52, 12, 18, 53	hashscontpow1 42385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁↑𝑏)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑎)))
55	54	necomd 2987	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
56	47, 55	jaodan 959	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
57	56	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → ((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏))))
58		biidd 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏))
59	58	necon3bbid 2969	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
60		elfzelz 13440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝑎 ∈ ℤ)
61	60	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑎 ∈ ℤ)
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑎 ∈ ℤ)
63	62	zred 12596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑎 ∈ ℝ)
64		elfzelz 13440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝑏 ∈ ℤ)
65	64	zred 12596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝑏 ∈ ℝ)
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → 𝑏 ∈ ℝ)
67		lttri2 11215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)))
68	63, 66, 67	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)))
69	59, 68	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)))
70	69	imbi1d 341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → ((¬ 𝑎 = 𝑏 → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏))) ↔ ((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))))
71	57, 70	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏))))
72	71	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
73		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))) = (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))))
74		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑎) → 𝑥 = 𝑎)
75	74	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (𝑁↑𝑥) = (𝑁↑𝑎))
76	75	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (𝐿‘(𝑁↑𝑥)) = (𝐿‘(𝑁↑𝑎)))
77		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
78		fvexd 6849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ∈ V)
79	73, 76, 77, 78	fvmptd 6948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = (𝐿‘(𝑁↑𝑎)))
80		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑏) → 𝑥 = 𝑏)
81	80	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑏) → (𝑁↑𝑥) = (𝑁↑𝑏))
82	81	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁↑𝑥)) = (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
83		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
84		fvexd 6849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁↑𝑏)) ∈ V)
85	73, 82, 83, 84	fvmptd 6948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) = (𝐿‘(𝑁↑𝑏)))
86	79, 85	neeq12d 2993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) ≠ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) ↔ (𝐿‘(𝑁↑𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝑏))))
87	72, 86	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) ≠ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏))
88	87	neneqd 2937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ¬ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏))
89	88	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏)))
90	89	con4d 115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → (((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
91	90	ralrimiva 3128	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) → ∀𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
92	91	ralrimiva 3128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))∀𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
93	40, 92	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))⟶(𝐿 “ 𝐸) ∧ ∀𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))∀𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
94		dff13 7200	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))–1-1→(𝐿 “ 𝐸) ↔ ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))⟶(𝐿 “ 𝐸) ∧ ∀𝑎 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))∀𝑏 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
95	93, 94	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))–1-1→(𝐿 “ 𝐸))
96		hashf1dmcdm 14367	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))) ∈ V ∧ (𝐿 “ 𝐸) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁↑𝑥))):(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))–1-1→(𝐿 “ 𝐸)) → (♯‘(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ≤ (♯‘(𝐿 “ 𝐸)))
97	11, 16, 95, 96	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁))) ≤ (♯‘(𝐿 “ 𝐸)))
98	9, 97	eqbrtrrd 5122	1 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (♯‘(𝐿 “ 𝐸)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   “ cima 5627   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  –1-1→wf1 6489  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  1c1 11027   < clt 11166   ≤ cle 11167  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ...cfz 13423  ↑cexp 13984  ♯chash 14253   gcd cgcd 16421  od_ℤcodz 16690  Basecbs 17136  Ringcrg 20168  CRingccrg 20169   RingHom crh 20405  ℤ_ringczring 21401  ℤRHomczrh 21454  ℤ/nℤczn 21457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-ec 8637  df-qs 8641  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-prm 16599  df-odz 16692  df-phi 16693  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-0g 17361  df-imas 17429  df-qus 17430  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-nsg 19054  df-eqg 19055  df-ghm 19142  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-rhm 20408  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163  df-rsp 21164  df-2idl 21205  df-cnfld 21310  df-zring 21402  df-zrh 21458  df-zn 21461

This theorem is referenced by:  aks6d1c3  42387