Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashscontpow Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashscontpow 42123
Description: If a set contains all 𝑁-th powers, then the size of the image under the ZR homomorphism is greater than the 𝑅-th order of 𝑁. (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
hashscontpow.1 (𝜑𝐸 ⊆ ℤ)
hashscontpow.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
hashscontpow.3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑁𝑘) ∈ 𝐸)
hashscontpow.4 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
hashscontpow.5 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
hashscontpow.6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
hashscontpow.7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
hashscontpow (𝜑 → ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (♯‘(𝐿𝐸)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐸   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝐿(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem hashscontpow
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashscontpow.4 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
2 hashscontpow.2 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
32nnzd 12640 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4 hashscontpow.5 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
5 odzcl 16831 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
61, 3, 4, 5syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
76nnnn0d 12587 . . 3 (𝜑 → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0)
8 hashfz1 14385 . . 3 (((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((od𝑅)‘𝑁))) = ((od𝑅)‘𝑁))
97, 8syl 17 . 2 (𝜑 → (♯‘(1...((od𝑅)‘𝑁))) = ((od𝑅)‘𝑁))
10 ovexd 7466 . . . 4 (𝜑 → (1...((od𝑅)‘𝑁)) ∈ V)
1110mptexd 7244 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥))) ∈ V)
12 hashscontpow.6 . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
1312fvexi 6920 . . . . 5 𝐿 ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ V)
15 imaexg 7935 . . . 4 (𝐿 ∈ V → (𝐿𝐸) ∈ V)
1614, 15syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐿𝐸) ∈ V)
171nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
18 hashscontpow.7 . . . . . . . . . . . 12 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
1918zncrng 21563 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
21 crngring 20242 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
2212zrhrhm 21522 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
23 zringbas 21464 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘ℤring)
24 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
2523, 24rhmf 20485 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
2620, 21, 22, 254syl 19 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
2726ffnd 6737 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 Fn ℤ)
2827adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → 𝐿 Fn ℤ)
293adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
30 elfznn 13593 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ)
3130adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → 𝑥 ∈ ℕ)
3231nnnn0d 12587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
3329, 32zexpcld 14128 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → (𝑁𝑥) ∈ ℤ)
34 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑥 → (𝑁𝑘) = (𝑁𝑥))
3534eleq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → ((𝑁𝑘) ∈ 𝐸 ↔ (𝑁𝑥) ∈ 𝐸))
36 hashscontpow.3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑁𝑘) ∈ 𝐸)
3736adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑁𝑘) ∈ 𝐸)
3835, 37, 32rspcdva 3623 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → (𝑁𝑥) ∈ 𝐸)
3928, 33, 38fnfvimad 7254 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → (𝐿‘(𝑁𝑥)) ∈ (𝐿𝐸))
4039fmpttd 7135 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥))):(1...((od𝑅)‘𝑁))⟶(𝐿𝐸))
412ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑁 ∈ ℕ)
42 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)))
43 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)))
441ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑅 ∈ ℕ)
454ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
46 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 < 𝑏)
4741, 42, 43, 44, 45, 12, 18, 46hashscontpow1 42122 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝑏)))
482ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑁 ∈ ℕ)
49 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)))
50 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)))
511ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑅 ∈ ℕ)
524ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
53 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑏 < 𝑎)
5448, 49, 50, 51, 52, 12, 18, 53hashscontpow1 42122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁𝑏)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝑎)))
5554necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝑏)))
5647, 55jaodan 960 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑎)) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝑏)))
5756ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → ((𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝑏))))
58 biidd 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → (𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑏))
5958necon3bbid 2978 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏𝑎𝑏))
60 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) → 𝑎 ∈ ℤ)
6160adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → 𝑎 ∈ ℤ)
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → 𝑎 ∈ ℤ)
6362zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → 𝑎 ∈ ℝ)
64 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) → 𝑏 ∈ ℤ)
6564zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) → 𝑏 ∈ ℝ)
6665adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → 𝑏 ∈ ℝ)
67 lttri2 11343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑎)))
6863, 66, 67syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑎)))
6959, 68bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑎)))
7069imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → ((¬ 𝑎 = 𝑏 → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝑏))) ↔ ((𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝑏)))))
7157, 70mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝑏))))
7271imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝑏)))
73 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥))) = (𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥))))
74 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑎) → 𝑥 = 𝑎)
7574oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (𝑁𝑥) = (𝑁𝑎))
7675fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (𝐿‘(𝑁𝑥)) = (𝐿‘(𝑁𝑎)))
77 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)))
78 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ∈ V)
7973, 76, 77, 78fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑎) = (𝐿‘(𝑁𝑎)))
80 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑏) → 𝑥 = 𝑏)
8180oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑏) → (𝑁𝑥) = (𝑁𝑏))
8281fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁𝑥)) = (𝐿‘(𝑁𝑏)))
83 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)))
84 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁𝑏)) ∈ V)
8573, 82, 83, 84fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑏) = (𝐿‘(𝑁𝑏)))
8679, 85neeq12d 3002 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑎) ≠ ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑏) ↔ (𝐿‘(𝑁𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝑏))))
8772, 86mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑎) ≠ ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑏))
8887neneqd 2945 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ¬ ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑏))
8988ex 412 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑏)))
9089con4d 115 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → (((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
9190ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → ∀𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
9291ralrimiva 3146 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))∀𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
9340, 92jca 511 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥))):(1...((od𝑅)‘𝑁))⟶(𝐿𝐸) ∧ ∀𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))∀𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
94 dff13 7275 . . . 4 ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥))):(1...((od𝑅)‘𝑁))–1-1→(𝐿𝐸) ↔ ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥))):(1...((od𝑅)‘𝑁))⟶(𝐿𝐸) ∧ ∀𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))∀𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
9593, 94sylibr 234 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥))):(1...((od𝑅)‘𝑁))–1-1→(𝐿𝐸))
96 hashf1dmcdm 14483 . . 3 (((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥))) ∈ V ∧ (𝐿𝐸) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥))):(1...((od𝑅)‘𝑁))–1-1→(𝐿𝐸)) → (♯‘(1...((od𝑅)‘𝑁))) ≤ (♯‘(𝐿𝐸)))
9711, 16, 95, 96syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → (♯‘(1...((od𝑅)‘𝑁))) ≤ (♯‘(𝐿𝐸)))
989, 97eqbrtrrd 5167 1 (𝜑 → ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (♯‘(𝐿𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  1-1wf1 6558  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  1c1 11156   < clt 11295  cle 11296  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  ...cfz 13547  cexp 14102  chash 14369   gcd cgcd 16531  odcodz 16800  Basecbs 17247  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231   RingHom crh 20469  ringczring 21457  ℤRHomczrh 21510  ℤ/nczn 21513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-odz 16802  df-phi 16803  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-zn 21517
This theorem is referenced by:  aks6d1c3  42124
  Copyright terms: Public domain W3C validator