Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashscontpow Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashscontpow 42104
Description: If a set contains all 𝑁-th powers, then the size of the image under the ZR homomorphism is greater than the 𝑅-th order of 𝑁. (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
hashscontpow.1 (𝜑𝐸 ⊆ ℤ)
hashscontpow.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
hashscontpow.3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑁𝑘) ∈ 𝐸)
hashscontpow.4 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
hashscontpow.5 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
hashscontpow.6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
hashscontpow.7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
hashscontpow (𝜑 → ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (♯‘(𝐿𝐸)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐸   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝐿(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem hashscontpow
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashscontpow.4 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
2 hashscontpow.2 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
32nnzd 12638 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4 hashscontpow.5 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
5 odzcl 16827 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
61, 3, 4, 5syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
76nnnn0d 12585 . . 3 (𝜑 → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0)
8 hashfz1 14382 . . 3 (((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((od𝑅)‘𝑁))) = ((od𝑅)‘𝑁))
97, 8syl 17 . 2 (𝜑 → (♯‘(1...((od𝑅)‘𝑁))) = ((od𝑅)‘𝑁))
10 ovexd 7466 . . . 4 (𝜑 → (1...((od𝑅)‘𝑁)) ∈ V)
1110mptexd 7244 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥))) ∈ V)
12 hashscontpow.6 . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
1312fvexi 6921 . . . . 5 𝐿 ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ V)
15 imaexg 7936 . . . 4 (𝐿 ∈ V → (𝐿𝐸) ∈ V)
1614, 15syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐿𝐸) ∈ V)
171nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
18 hashscontpow.7 . . . . . . . . . . . 12 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
1918zncrng 21581 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
21 crngring 20263 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
2212zrhrhm 21540 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
23 zringbas 21482 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘ℤring)
24 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
2523, 24rhmf 20502 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
2620, 21, 22, 254syl 19 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
2726ffnd 6738 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 Fn ℤ)
2827adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → 𝐿 Fn ℤ)
293adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
30 elfznn 13590 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ)
3130adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → 𝑥 ∈ ℕ)
3231nnnn0d 12585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
3329, 32zexpcld 14125 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → (𝑁𝑥) ∈ ℤ)
34 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑥 → (𝑁𝑘) = (𝑁𝑥))
3534eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → ((𝑁𝑘) ∈ 𝐸 ↔ (𝑁𝑥) ∈ 𝐸))
36 hashscontpow.3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑁𝑘) ∈ 𝐸)
3736adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑁𝑘) ∈ 𝐸)
3835, 37, 32rspcdva 3623 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → (𝑁𝑥) ∈ 𝐸)
3928, 33, 38fnfvimad 7254 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → (𝐿‘(𝑁𝑥)) ∈ (𝐿𝐸))
4039fmpttd 7135 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥))):(1...((od𝑅)‘𝑁))⟶(𝐿𝐸))
412ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑁 ∈ ℕ)
42 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)))
43 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)))
441ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑅 ∈ ℕ)
454ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
46 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 < 𝑏)
4741, 42, 43, 44, 45, 12, 18, 46hashscontpow1 42103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝑏)))
482ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑁 ∈ ℕ)
49 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)))
50 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)))
511ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑅 ∈ ℕ)
524ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
53 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → 𝑏 < 𝑎)
5448, 49, 50, 51, 52, 12, 18, 53hashscontpow1 42103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁𝑏)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝑎)))
5554necomd 2994 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝑏)))
5647, 55jaodan 959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑎)) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝑏)))
5756ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → ((𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝑏))))
58 biidd 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → (𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑏))
5958necon3bbid 2976 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏𝑎𝑏))
60 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) → 𝑎 ∈ ℤ)
6160adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → 𝑎 ∈ ℤ)
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → 𝑎 ∈ ℤ)
6362zred 12720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → 𝑎 ∈ ℝ)
64 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) → 𝑏 ∈ ℤ)
6564zred 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) → 𝑏 ∈ ℝ)
6665adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → 𝑏 ∈ ℝ)
67 lttri2 11341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑎)))
6863, 66, 67syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑎)))
6959, 68bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑎)))
7069imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → ((¬ 𝑎 = 𝑏 → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝑏))) ↔ ((𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑎) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝑏)))))
7157, 70mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝑏))))
7271imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝑏)))
73 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥))) = (𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥))))
74 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑎) → 𝑥 = 𝑎)
7574oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (𝑁𝑥) = (𝑁𝑎))
7675fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑎) → (𝐿‘(𝑁𝑥)) = (𝐿‘(𝑁𝑎)))
77 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)))
78 fvexd 6922 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁𝑎)) ∈ V)
7973, 76, 77, 78fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑎) = (𝐿‘(𝑁𝑎)))
80 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑏) → 𝑥 = 𝑏)
8180oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑏) → (𝑁𝑥) = (𝑁𝑏))
8281fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁𝑥)) = (𝐿‘(𝑁𝑏)))
83 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)))
84 fvexd 6922 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐿‘(𝑁𝑏)) ∈ V)
8573, 82, 83, 84fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑏) = (𝐿‘(𝑁𝑏)))
8679, 85neeq12d 3000 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑎) ≠ ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑏) ↔ (𝐿‘(𝑁𝑎)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝑏))))
8772, 86mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑎) ≠ ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑏))
8887neneqd 2943 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → ¬ ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑏))
8988ex 412 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑏)))
9089con4d 115 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) ∧ 𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → (((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
9190ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))) → ∀𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
9291ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))∀𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
9340, 92jca 511 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥))):(1...((od𝑅)‘𝑁))⟶(𝐿𝐸) ∧ ∀𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))∀𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
94 dff13 7275 . . . 4 ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥))):(1...((od𝑅)‘𝑁))–1-1→(𝐿𝐸) ↔ ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥))):(1...((od𝑅)‘𝑁))⟶(𝐿𝐸) ∧ ∀𝑎 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))∀𝑏 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁))(((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑎) = ((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥)))‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
9593, 94sylibr 234 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥))):(1...((od𝑅)‘𝑁))–1-1→(𝐿𝐸))
96 hashf1dmcdm 14480 . . 3 (((𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥))) ∈ V ∧ (𝐿𝐸) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) ↦ (𝐿‘(𝑁𝑥))):(1...((od𝑅)‘𝑁))–1-1→(𝐿𝐸)) → (♯‘(1...((od𝑅)‘𝑁))) ≤ (♯‘(𝐿𝐸)))
9711, 16, 95, 96syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (♯‘(1...((od𝑅)‘𝑁))) ≤ (♯‘(𝐿𝐸)))
989, 97eqbrtrrd 5172 1 (𝜑 → ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (♯‘(𝐿𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  Vcvv 3478  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  1-1wf1 6560  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  1c1 11154   < clt 11293  cle 11294  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  ...cfz 13544  cexp 14099  chash 14366   gcd cgcd 16528  odcodz 16797  Basecbs 17245  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252   RingHom crh 20486  ringczring 21475  ℤRHomczrh 21528  ℤ/nczn 21531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-odz 16799  df-phi 16800  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-zn 21535
This theorem is referenced by:  aks6d1c3  42105
  Copyright terms: Public domain W3C validator