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Theorem aks6d1c4 42106
Description: Claim 4 of Theorem 6.1 of the AKS inequality lemma. https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf (Contributed by metakunt, 12-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks6d1c4.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c4.2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c4.3 (𝜑𝑃𝑁)
aks6d1c4.4 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c4.5 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c4.6 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
aks6d1c4.7 𝐿 = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
aks6d1c4 (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ≤ (ϕ‘𝑅))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑙   𝑃,𝑘,𝑙
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑙)   𝑅(𝑘,𝑙)   𝐸(𝑘,𝑙)   𝐿(𝑘,𝑙)

Proof of Theorem aks6d1c4
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6922 . . 3 (𝜑 → (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) ∈ V)
2 aks6d1c4.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
32nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
4 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ/nℤ‘𝑅) = (ℤ/nℤ‘𝑅)
54zncrng 21581 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑅) ∈ CRing)
63, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℤ/nℤ‘𝑅) ∈ CRing)
7 crngring 20263 . . . . . . . . . 10 ((ℤ/nℤ‘𝑅) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘𝑅) ∈ Ring)
8 aks6d1c4.7 . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅))
98zrhrhm 21540 . . . . . . . . . 10 ((ℤ/nℤ‘𝑅) ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom (ℤ/nℤ‘𝑅)))
10 zringbas 21482 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘ℤring)
11 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑅))
1210, 11rhmf 20502 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom (ℤ/nℤ‘𝑅)) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑅)))
136, 7, 9, 124syl 19 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑅)))
1413ffund 6741 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐿)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) → Fun 𝐿)
16 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) → 𝑎 ∈ (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))
17 fvelima 6974 . . . . . . 7 ((Fun 𝐿𝑎 ∈ (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) → ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎)
1815, 16, 17syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) → ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎)
19 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ (𝐿𝑐) = 𝑎) → (𝐿𝑐) = 𝑎)
2019eqcomd 2741 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ (𝐿𝑐) = 𝑎) → 𝑎 = (𝐿𝑐))
21 simpll 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → 𝜑)
22 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → 𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
2321, 22jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → (𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))
24 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑃↑(1st𝑚)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑚))) ∈ V)
25 aks6d1c4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
26 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑘 ∈ V
27 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑙 ∈ V
2826, 27op1std 8023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑚 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (1st𝑚) = 𝑘)
2928oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (𝑃↑(1st𝑚)) = (𝑃𝑘))
3026, 27op2ndd 8024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑚 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (2nd𝑚) = 𝑙)
3130oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑚)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
3229, 31oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑃↑(1st𝑚)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑚))) = ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
3332mpompt 7547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st𝑚)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
3433eqcomi 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (𝑚 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st𝑚)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑚))))
3525, 34eqtri 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐸 = (𝑚 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st𝑚)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑚))))
3624, 35fmptd 7134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶V)
3736ffund 6741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Fun 𝐸)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → Fun 𝐸)
39 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → 𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
40 fvelima 6974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun 𝐸𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐)
4138, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐)
42 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (𝐸𝑒) = 𝑐) → (𝐸𝑒) = 𝑐)
4342eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (𝐸𝑒) = 𝑐) → 𝑐 = (𝐸𝑒))
4443oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (𝐸𝑒) = 𝑐) → (𝑐 gcd 𝑅) = ((𝐸𝑒) gcd 𝑅))
45 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝜑)
46 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0))
4745, 46jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)))
4835a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝐸 = (𝑚 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st𝑚)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑚)))))
49 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ 𝑚 = 𝑒) → 𝑚 = 𝑒)
5049fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ 𝑚 = 𝑒) → (1st𝑚) = (1st𝑒))
5150oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ 𝑚 = 𝑒) → (𝑃↑(1st𝑚)) = (𝑃↑(1st𝑒)))
5249fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ 𝑚 = 𝑒) → (2nd𝑚) = (2nd𝑒))
5352oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ 𝑚 = 𝑒) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑚)) = ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒)))
5451, 53oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ 𝑚 = 𝑒) → ((𝑃↑(1st𝑚)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑚))) = ((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))))
55 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0))
56 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) ∈ V)
5748, 54, 55, 56fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝐸𝑒) = ((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))))
58 aks6d1c4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
59 prmnn 16708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
6160nnzd 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑃 ∈ ℤ)
63 xp1st 8045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (1st𝑒) ∈ ℕ0)
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (1st𝑒) ∈ ℕ0)
6562, 64zexpcld 14125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑃↑(1st𝑒)) ∈ ℤ)
66 aks6d1c4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝑃𝑁)
6760nnne0d 12314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝑃 ≠ 0)
68 aks6d1c4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6968nnzd 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
70 dvdsval2 16290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ))
7161, 67, 69, 70syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝑃𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ))
7266, 71mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
7372adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
74 xp2nd 8046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (2nd𝑒) ∈ ℕ0)
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (2nd𝑒) ∈ ℕ0)
7673, 75zexpcld 14125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒)) ∈ ℤ)
7765, 76zmulcld 12726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) ∈ ℤ)
7857, 77eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝐸𝑒) ∈ ℤ)
7957oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝐸𝑒) gcd 𝑅) = (((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) gcd 𝑅))
802nnzd 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
8180adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑅 ∈ ℤ)
8277, 81gcdcomd 16548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) gcd 𝑅) = (𝑅 gcd ((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒)))))
8380, 61, 693jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
84 aks6d1c4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
8569, 80jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ))
86 gcdcom 16547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑅) = (𝑅 gcd 𝑁))
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = (𝑅 gcd 𝑁))
88 eqeq1 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑁 gcd 𝑅) = (𝑅 gcd 𝑁) → ((𝑁 gcd 𝑅) = 1 ↔ (𝑅 gcd 𝑁) = 1))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑 → ((𝑁 gcd 𝑅) = 1 ↔ (𝑅 gcd 𝑁) = 1))
9089pm5.74i 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1) ↔ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑁) = 1))
9184, 90mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑁) = 1)
9291, 66jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑃𝑁))
93 rpdvds 16694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑅 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑃𝑁)) → (𝑅 gcd 𝑃) = 1)
9483, 92, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑃) = 1)
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑅 gcd 𝑃) = 1)
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd 𝑃) = 1)
972ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (1st𝑒) ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ)
9860ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (1st𝑒) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
99 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (1st𝑒) ∈ ℕ)
100 rprpwr 16593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ (1st𝑒) ∈ ℕ) → ((𝑅 gcd 𝑃) = 1 → (𝑅 gcd (𝑃↑(1st𝑒))) = 1))
10197, 98, 99, 100syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (1st𝑒) ∈ ℕ) → ((𝑅 gcd 𝑃) = 1 → (𝑅 gcd (𝑃↑(1st𝑒))) = 1))
10296, 101mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd (𝑃↑(1st𝑒))) = 1)
10364anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (1st𝑒) ≠ 0) → ((1st𝑒) ∈ ℕ0 ∧ (1st𝑒) ≠ 0))
104 elnnne0 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((1st𝑒) ∈ ℕ ↔ ((1st𝑒) ∈ ℕ0 ∧ (1st𝑒) ≠ 0))
105103, 104sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (1st𝑒) ≠ 0) → (1st𝑒) ∈ ℕ)
106105ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((1st𝑒) ≠ 0 → (1st𝑒) ∈ ℕ))
107106necon1bd 2956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (¬ (1st𝑒) ∈ ℕ → (1st𝑒) = 0))
108107imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (1st𝑒) = 0)
109108oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (𝑃↑(1st𝑒)) = (𝑃↑0))
110109oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd (𝑃↑(1st𝑒))) = (𝑅 gcd (𝑃↑0)))
11162zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
112111adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (1st𝑒) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
113112exp0d 14177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (𝑃↑0) = 1)
114113oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd (𝑃↑0)) = (𝑅 gcd 1))
11581adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (1st𝑒) ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℤ)
116 gcd1 16562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑅 ∈ ℤ → (𝑅 gcd 1) = 1)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd 1) = 1)
118114, 117eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd (𝑃↑0)) = 1)
119110, 118eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd (𝑃↑(1st𝑒))) = 1)
120102, 119pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑅 gcd (𝑃↑(1st𝑒))) = 1)
12180, 72, 693jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
12268nnred 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
123122recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
12460nnred 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
125124recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
12668nngt0d 12313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → 0 < 𝑁)
127126gt0ne0d 11825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑𝑁 ≠ 0)
128123, 125, 127, 67ddcand 12061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑 → (𝑁 / (𝑁 / 𝑃)) = 𝑃)
129128, 61eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑 → (𝑁 / (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℤ)
13060nngt0d 12313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → 0 < 𝑃)
131122, 124, 126, 130divgt0d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → 0 < (𝑁 / 𝑃))
132131gt0ne0d 11825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ≠ 0)
133 dvdsval2 16290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑃) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑃) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℤ))
13472, 132, 69, 133syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑 → ((𝑁 / 𝑃) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℤ))
135129, 134mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∥ 𝑁)
13691, 135jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑁) = 1 ∧ (𝑁 / 𝑃) ∥ 𝑁))
137 rpdvds 16694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑅 gcd 𝑁) = 1 ∧ (𝑁 / 𝑃) ∥ 𝑁)) → (𝑅 gcd (𝑁 / 𝑃)) = 1)
138121, 136, 137syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝑅 gcd (𝑁 / 𝑃)) = 1)
139138adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑅 gcd (𝑁 / 𝑃)) = 1)
140139adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd (𝑁 / 𝑃)) = 1)
1412ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ)
14272, 131jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑 → ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / 𝑃)))
143 elnnz 12621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / 𝑃)))
144142, 143sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
145144adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
146145adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
147 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (2nd𝑒) ∈ ℕ)
148 rprpwr 16593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ ∧ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → ((𝑅 gcd (𝑁 / 𝑃)) = 1 → (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) = 1))
149141, 146, 147, 148syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → ((𝑅 gcd (𝑁 / 𝑃)) = 1 → (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) = 1))
150140, 149mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) = 1)
15175anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (2nd𝑒) ≠ 0) → ((2nd𝑒) ∈ ℕ0 ∧ (2nd𝑒) ≠ 0))
152 elnnne0 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((2nd𝑒) ∈ ℕ ↔ ((2nd𝑒) ∈ ℕ0 ∧ (2nd𝑒) ≠ 0))
153151, 152sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (2nd𝑒) ≠ 0) → (2nd𝑒) ∈ ℕ)
154153ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((2nd𝑒) ≠ 0 → (2nd𝑒) ∈ ℕ))
155154necon1bd 2956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ → (2nd𝑒) = 0))
156155imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (2nd𝑒) = 0)
157156oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒)) = ((𝑁 / 𝑃)↑0))
158157oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) = (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑0)))
159123adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
160159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
161111adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
16267ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → 𝑃 ≠ 0)
163160, 161, 162divcld 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℂ)
164163exp0d 14177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → ((𝑁 / 𝑃)↑0) = 1)
165164oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑0)) = (𝑅 gcd 1))
166158, 165eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) = (𝑅 gcd 1))
16781adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℤ)
168167, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd 1) = 1)
169166, 168eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) = 1)
170150, 169pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) = 1)
171120, 170jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑅 gcd (𝑃↑(1st𝑒))) = 1 ∧ (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) = 1))
172 rpmul 16693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(1st𝑒)) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒)) ∈ ℤ) → (((𝑅 gcd (𝑃↑(1st𝑒))) = 1 ∧ (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) = 1) → (𝑅 gcd ((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒)))) = 1))
17381, 65, 76, 172syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (((𝑅 gcd (𝑃↑(1st𝑒))) = 1 ∧ (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) = 1) → (𝑅 gcd ((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒)))) = 1))
174171, 173mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑅 gcd ((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒)))) = 1)
17582, 174eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) gcd 𝑅) = 1)
17679, 175eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝐸𝑒) gcd 𝑅) = 1)
17778, 176jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝐸𝑒) ∈ ℤ ∧ ((𝐸𝑒) gcd 𝑅) = 1))
17847, 177syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝐸𝑒) ∈ ℤ ∧ ((𝐸𝑒) gcd 𝑅) = 1))
179178adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (𝐸𝑒) = 𝑐) → ((𝐸𝑒) ∈ ℤ ∧ ((𝐸𝑒) gcd 𝑅) = 1))
180179simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (𝐸𝑒) = 𝑐) → ((𝐸𝑒) gcd 𝑅) = 1)
18144, 180eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (𝐸𝑒) = 𝑐) → (𝑐 gcd 𝑅) = 1)
182179simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (𝐸𝑒) = 𝑐) → (𝐸𝑒) ∈ ℤ)
18343, 182eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (𝐸𝑒) = 𝑐) → 𝑐 ∈ ℤ)
184181, 183jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (𝐸𝑒) = 𝑐) → ((𝑐 gcd 𝑅) = 1 ∧ 𝑐 ∈ ℤ))
185 nfv 1912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑒(𝐸𝑑) = 𝑐
186 nfv 1912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑑(𝐸𝑒) = 𝑐
187 fveqeq2 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 = 𝑒 → ((𝐸𝑑) = 𝑐 ↔ (𝐸𝑒) = 𝑐))
188185, 186, 187cbvrexw 3305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐 ↔ ∃𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑒) = 𝑐)
189188biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐 → ∃𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑒) = 𝑐)
190189adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) → ∃𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑒) = 𝑐)
191184, 190r19.29a 3160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) → ((𝑐 gcd 𝑅) = 1 ∧ 𝑐 ∈ ℤ))
192191ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → (∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐 → ((𝑐 gcd 𝑅) = 1 ∧ 𝑐 ∈ ℤ)))
19341, 192mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → ((𝑐 gcd 𝑅) = 1 ∧ 𝑐 ∈ ℤ))
194193simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → (𝑐 gcd 𝑅) = 1)
1953adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → 𝑅 ∈ ℕ0)
196193simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → 𝑐 ∈ ℤ)
197 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) = (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅))
1984, 197, 8znunit 21600 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑐) ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) ↔ (𝑐 gcd 𝑅) = 1))
199195, 196, 198syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → ((𝐿𝑐) ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) ↔ (𝑐 gcd 𝑅) = 1))
200194, 199mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → (𝐿𝑐) ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)))
20123, 200syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → (𝐿𝑐) ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)))
202201adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ (𝐿𝑐) = 𝑎) → (𝐿𝑐) ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)))
20320, 202eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ (𝐿𝑐) = 𝑎) → 𝑎 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)))
204 nfv 1912 . . . . . . . . . . . 12 𝑐(𝐿𝑏) = 𝑎
205 nfv 1912 . . . . . . . . . . . 12 𝑏(𝐿𝑐) = 𝑎
206 fveqeq2 6916 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑐 → ((𝐿𝑏) = 𝑎 ↔ (𝐿𝑐) = 𝑎))
207204, 205, 206cbvrexw 3305 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎 ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑐) = 𝑎)
208207biimpi 216 . . . . . . . . . 10 (∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎 → ∃𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑐) = 𝑎)
209208adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎) → ∃𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑐) = 𝑎)
210203, 209r19.29a 3160 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎) → 𝑎 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)))
211210ex 412 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎𝑎 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅))))
212211adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) → (∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎𝑎 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅))))
21318, 212mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) → 𝑎 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)))
214213ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → 𝑎 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅))))
215214ssrdv 4001 . . 3 (𝜑 → (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ⊆ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)))
216 hashss 14445 . . 3 (((Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) ∈ V ∧ (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ⊆ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅))) → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ≤ (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅))))
2171, 215, 216syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ≤ (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅))))
2184, 197znunithash 21601 . . 3 (𝑅 ∈ ℕ → (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅))) = (ϕ‘𝑅))
2192, 218syl 17 . 2 (𝜑 → (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅))) = (ϕ‘𝑅))
220217, 219breqtrd 5174 1 (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ≤ (ϕ‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963  cop 4637   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5687  cima 5692  Fun wfun 6557  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1st c1st 8011  2nd c2nd 8012  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cexp 14099  chash 14366  cdvds 16287   gcd cgcd 16528  cprime 16705  ϕcphi 16798  Basecbs 17245  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  Unitcui 20372   RingHom crh 20486  ringczring 21475  ℤRHomczrh 21528  ℤ/nczn 21531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-phi 16800  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-zn 21535
This theorem is referenced by:  aks6d1c7lem1  42162
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