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Theorem aks6d1c4 42125
Description: Claim 4 of Theorem 6.1 of the AKS inequality lemma. https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf (Contributed by metakunt, 12-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks6d1c4.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c4.2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c4.3 (𝜑𝑃𝑁)
aks6d1c4.4 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c4.5 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c4.6 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
aks6d1c4.7 𝐿 = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
aks6d1c4 (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ≤ (ϕ‘𝑅))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑙   𝑃,𝑘,𝑙
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑙)   𝑅(𝑘,𝑙)   𝐸(𝑘,𝑙)   𝐿(𝑘,𝑙)

Proof of Theorem aks6d1c4
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6921 . . 3 (𝜑 → (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) ∈ V)
2 aks6d1c4.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
32nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
4 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ/nℤ‘𝑅) = (ℤ/nℤ‘𝑅)
54zncrng 21563 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑅) ∈ CRing)
63, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℤ/nℤ‘𝑅) ∈ CRing)
7 crngring 20242 . . . . . . . . . 10 ((ℤ/nℤ‘𝑅) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘𝑅) ∈ Ring)
8 aks6d1c4.7 . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅))
98zrhrhm 21522 . . . . . . . . . 10 ((ℤ/nℤ‘𝑅) ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom (ℤ/nℤ‘𝑅)))
10 zringbas 21464 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘ℤring)
11 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑅))
1210, 11rhmf 20485 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom (ℤ/nℤ‘𝑅)) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑅)))
136, 7, 9, 124syl 19 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑅)))
1413ffund 6740 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐿)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) → Fun 𝐿)
16 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) → 𝑎 ∈ (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))
17 fvelima 6974 . . . . . . 7 ((Fun 𝐿𝑎 ∈ (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) → ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎)
1815, 16, 17syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) → ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎)
19 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ (𝐿𝑐) = 𝑎) → (𝐿𝑐) = 𝑎)
2019eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ (𝐿𝑐) = 𝑎) → 𝑎 = (𝐿𝑐))
21 simpll 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → 𝜑)
22 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → 𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
2321, 22jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → (𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))
24 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑃↑(1st𝑚)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑚))) ∈ V)
25 aks6d1c4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
26 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑘 ∈ V
27 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑙 ∈ V
2826, 27op1std 8024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑚 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (1st𝑚) = 𝑘)
2928oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (𝑃↑(1st𝑚)) = (𝑃𝑘))
3026, 27op2ndd 8025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑚 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (2nd𝑚) = 𝑙)
3130oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑚)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
3229, 31oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑃↑(1st𝑚)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑚))) = ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
3332mpompt 7547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st𝑚)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
3433eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (𝑚 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st𝑚)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑚))))
3525, 34eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐸 = (𝑚 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st𝑚)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑚))))
3624, 35fmptd 7134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶V)
3736ffund 6740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Fun 𝐸)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → Fun 𝐸)
39 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → 𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
40 fvelima 6974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun 𝐸𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐)
4138, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐)
42 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (𝐸𝑒) = 𝑐) → (𝐸𝑒) = 𝑐)
4342eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (𝐸𝑒) = 𝑐) → 𝑐 = (𝐸𝑒))
4443oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (𝐸𝑒) = 𝑐) → (𝑐 gcd 𝑅) = ((𝐸𝑒) gcd 𝑅))
45 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝜑)
46 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0))
4745, 46jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)))
4835a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝐸 = (𝑚 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st𝑚)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑚)))))
49 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ 𝑚 = 𝑒) → 𝑚 = 𝑒)
5049fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ 𝑚 = 𝑒) → (1st𝑚) = (1st𝑒))
5150oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ 𝑚 = 𝑒) → (𝑃↑(1st𝑚)) = (𝑃↑(1st𝑒)))
5249fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ 𝑚 = 𝑒) → (2nd𝑚) = (2nd𝑒))
5352oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ 𝑚 = 𝑒) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑚)) = ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒)))
5451, 53oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ 𝑚 = 𝑒) → ((𝑃↑(1st𝑚)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑚))) = ((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))))
55 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0))
56 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) ∈ V)
5748, 54, 55, 56fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝐸𝑒) = ((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))))
58 aks6d1c4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
59 prmnn 16711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
6160nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑃 ∈ ℤ)
63 xp1st 8046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (1st𝑒) ∈ ℕ0)
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (1st𝑒) ∈ ℕ0)
6562, 64zexpcld 14128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑃↑(1st𝑒)) ∈ ℤ)
66 aks6d1c4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝑃𝑁)
6760nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝑃 ≠ 0)
68 aks6d1c4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6968nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
70 dvdsval2 16293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ))
7161, 67, 69, 70syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝑃𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ))
7266, 71mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
7372adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
74 xp2nd 8047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (2nd𝑒) ∈ ℕ0)
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (2nd𝑒) ∈ ℕ0)
7673, 75zexpcld 14128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒)) ∈ ℤ)
7765, 76zmulcld 12728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) ∈ ℤ)
7857, 77eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝐸𝑒) ∈ ℤ)
7957oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝐸𝑒) gcd 𝑅) = (((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) gcd 𝑅))
802nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
8180adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑅 ∈ ℤ)
8277, 81gcdcomd 16551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) gcd 𝑅) = (𝑅 gcd ((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒)))))
8380, 61, 693jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
84 aks6d1c4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
8569, 80jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ))
86 gcdcom 16550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑅) = (𝑅 gcd 𝑁))
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = (𝑅 gcd 𝑁))
88 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑁 gcd 𝑅) = (𝑅 gcd 𝑁) → ((𝑁 gcd 𝑅) = 1 ↔ (𝑅 gcd 𝑁) = 1))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑 → ((𝑁 gcd 𝑅) = 1 ↔ (𝑅 gcd 𝑁) = 1))
9089pm5.74i 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1) ↔ (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑁) = 1))
9184, 90mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑁) = 1)
9291, 66jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑃𝑁))
93 rpdvds 16697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑅 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑃𝑁)) → (𝑅 gcd 𝑃) = 1)
9483, 92, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝑅 gcd 𝑃) = 1)
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑅 gcd 𝑃) = 1)
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd 𝑃) = 1)
972ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (1st𝑒) ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ)
9860ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (1st𝑒) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
99 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (1st𝑒) ∈ ℕ)
100 rprpwr 16596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ (1st𝑒) ∈ ℕ) → ((𝑅 gcd 𝑃) = 1 → (𝑅 gcd (𝑃↑(1st𝑒))) = 1))
10197, 98, 99, 100syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (1st𝑒) ∈ ℕ) → ((𝑅 gcd 𝑃) = 1 → (𝑅 gcd (𝑃↑(1st𝑒))) = 1))
10296, 101mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd (𝑃↑(1st𝑒))) = 1)
10364anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (1st𝑒) ≠ 0) → ((1st𝑒) ∈ ℕ0 ∧ (1st𝑒) ≠ 0))
104 elnnne0 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((1st𝑒) ∈ ℕ ↔ ((1st𝑒) ∈ ℕ0 ∧ (1st𝑒) ≠ 0))
105103, 104sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (1st𝑒) ≠ 0) → (1st𝑒) ∈ ℕ)
106105ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((1st𝑒) ≠ 0 → (1st𝑒) ∈ ℕ))
107106necon1bd 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (¬ (1st𝑒) ∈ ℕ → (1st𝑒) = 0))
108107imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (1st𝑒) = 0)
109108oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (𝑃↑(1st𝑒)) = (𝑃↑0))
110109oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd (𝑃↑(1st𝑒))) = (𝑅 gcd (𝑃↑0)))
11162zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
112111adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (1st𝑒) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
113112exp0d 14180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (𝑃↑0) = 1)
114113oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd (𝑃↑0)) = (𝑅 gcd 1))
11581adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (1st𝑒) ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℤ)
116 gcd1 16565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑅 ∈ ℤ → (𝑅 gcd 1) = 1)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd 1) = 1)
118114, 117eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd (𝑃↑0)) = 1)
119110, 118eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (1st𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd (𝑃↑(1st𝑒))) = 1)
120102, 119pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑅 gcd (𝑃↑(1st𝑒))) = 1)
12180, 72, 693jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
12268nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
123122recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
12460nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
125124recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
12668nngt0d 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → 0 < 𝑁)
127126gt0ne0d 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑𝑁 ≠ 0)
128123, 125, 127, 67ddcand 12063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑 → (𝑁 / (𝑁 / 𝑃)) = 𝑃)
129128, 61eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑 → (𝑁 / (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℤ)
13060nngt0d 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → 0 < 𝑃)
131122, 124, 126, 130divgt0d 12203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → 0 < (𝑁 / 𝑃))
132131gt0ne0d 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ≠ 0)
133 dvdsval2 16293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑃) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑃) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℤ))
13472, 132, 69, 133syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑 → ((𝑁 / 𝑃) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℤ))
135129, 134mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∥ 𝑁)
13691, 135jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → ((𝑅 gcd 𝑁) = 1 ∧ (𝑁 / 𝑃) ∥ 𝑁))
137 rpdvds 16697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑅 gcd 𝑁) = 1 ∧ (𝑁 / 𝑃) ∥ 𝑁)) → (𝑅 gcd (𝑁 / 𝑃)) = 1)
138121, 136, 137syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝑅 gcd (𝑁 / 𝑃)) = 1)
139138adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑅 gcd (𝑁 / 𝑃)) = 1)
140139adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd (𝑁 / 𝑃)) = 1)
1412ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ)
14272, 131jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑 → ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / 𝑃)))
143 elnnz 12623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / 𝑃)))
144142, 143sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
145144adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
146145adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ)
147 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (2nd𝑒) ∈ ℕ)
148 rprpwr 16596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℕ ∧ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → ((𝑅 gcd (𝑁 / 𝑃)) = 1 → (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) = 1))
149141, 146, 147, 148syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → ((𝑅 gcd (𝑁 / 𝑃)) = 1 → (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) = 1))
150140, 149mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) = 1)
15175anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (2nd𝑒) ≠ 0) → ((2nd𝑒) ∈ ℕ0 ∧ (2nd𝑒) ≠ 0))
152 elnnne0 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((2nd𝑒) ∈ ℕ ↔ ((2nd𝑒) ∈ ℕ0 ∧ (2nd𝑒) ≠ 0))
153151, 152sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (2nd𝑒) ≠ 0) → (2nd𝑒) ∈ ℕ)
154153ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((2nd𝑒) ≠ 0 → (2nd𝑒) ∈ ℕ))
155154necon1bd 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ → (2nd𝑒) = 0))
156155imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (2nd𝑒) = 0)
157156oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒)) = ((𝑁 / 𝑃)↑0))
158157oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) = (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑0)))
159123adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
160159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
161111adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
16267ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → 𝑃 ≠ 0)
163160, 161, 162divcld 12043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℂ)
164163exp0d 14180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → ((𝑁 / 𝑃)↑0) = 1)
165164oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑0)) = (𝑅 gcd 1))
166158, 165eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) = (𝑅 gcd 1))
16781adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℤ)
168167, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd 1) = 1)
169166, 168eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ ¬ (2nd𝑒) ∈ ℕ) → (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) = 1)
170150, 169pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) = 1)
171120, 170jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝑅 gcd (𝑃↑(1st𝑒))) = 1 ∧ (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) = 1))
172 rpmul 16696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(1st𝑒)) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒)) ∈ ℤ) → (((𝑅 gcd (𝑃↑(1st𝑒))) = 1 ∧ (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) = 1) → (𝑅 gcd ((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒)))) = 1))
17381, 65, 76, 172syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (((𝑅 gcd (𝑃↑(1st𝑒))) = 1 ∧ (𝑅 gcd ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) = 1) → (𝑅 gcd ((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒)))) = 1))
174171, 173mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝑅 gcd ((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒)))) = 1)
17582, 174eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (((𝑃↑(1st𝑒)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑒))) gcd 𝑅) = 1)
17679, 175eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝐸𝑒) gcd 𝑅) = 1)
17778, 176jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝐸𝑒) ∈ ℤ ∧ ((𝐸𝑒) gcd 𝑅) = 1))
17847, 177syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → ((𝐸𝑒) ∈ ℤ ∧ ((𝐸𝑒) gcd 𝑅) = 1))
179178adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (𝐸𝑒) = 𝑐) → ((𝐸𝑒) ∈ ℤ ∧ ((𝐸𝑒) gcd 𝑅) = 1))
180179simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (𝐸𝑒) = 𝑐) → ((𝐸𝑒) gcd 𝑅) = 1)
18144, 180eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (𝐸𝑒) = 𝑐) → (𝑐 gcd 𝑅) = 1)
182179simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (𝐸𝑒) = 𝑐) → (𝐸𝑒) ∈ ℤ)
18343, 182eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (𝐸𝑒) = 𝑐) → 𝑐 ∈ ℤ)
184181, 183jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) ∧ 𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) ∧ (𝐸𝑒) = 𝑐) → ((𝑐 gcd 𝑅) = 1 ∧ 𝑐 ∈ ℤ))
185 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑒(𝐸𝑑) = 𝑐
186 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑑(𝐸𝑒) = 𝑐
187 fveqeq2 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 = 𝑒 → ((𝐸𝑑) = 𝑐 ↔ (𝐸𝑒) = 𝑐))
188185, 186, 187cbvrexw 3307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐 ↔ ∃𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑒) = 𝑐)
189188biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐 → ∃𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑒) = 𝑐)
190189adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) → ∃𝑒 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑒) = 𝑐)
191184, 190r19.29a 3162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐) → ((𝑐 gcd 𝑅) = 1 ∧ 𝑐 ∈ ℤ))
192191ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → (∃𝑑 ∈ (ℕ0 × ℕ0)(𝐸𝑑) = 𝑐 → ((𝑐 gcd 𝑅) = 1 ∧ 𝑐 ∈ ℤ)))
19341, 192mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → ((𝑐 gcd 𝑅) = 1 ∧ 𝑐 ∈ ℤ))
194193simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → (𝑐 gcd 𝑅) = 1)
1953adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → 𝑅 ∈ ℕ0)
196193simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → 𝑐 ∈ ℤ)
197 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) = (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅))
1984, 197, 8znunit 21582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑐) ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) ↔ (𝑐 gcd 𝑅) = 1))
199195, 196, 198syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → ((𝐿𝑐) ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) ↔ (𝑐 gcd 𝑅) = 1))
200194, 199mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → (𝐿𝑐) ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)))
20123, 200syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → (𝐿𝑐) ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)))
202201adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ (𝐿𝑐) = 𝑎) → (𝐿𝑐) ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)))
20320, 202eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∧ (𝐿𝑐) = 𝑎) → 𝑎 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)))
204 nfv 1914 . . . . . . . . . . . 12 𝑐(𝐿𝑏) = 𝑎
205 nfv 1914 . . . . . . . . . . . 12 𝑏(𝐿𝑐) = 𝑎
206 fveqeq2 6915 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑐 → ((𝐿𝑏) = 𝑎 ↔ (𝐿𝑐) = 𝑎))
207204, 205, 206cbvrexw 3307 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎 ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑐) = 𝑎)
208207biimpi 216 . . . . . . . . . 10 (∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎 → ∃𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑐) = 𝑎)
209208adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎) → ∃𝑐 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑐) = 𝑎)
210203, 209r19.29a 3162 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎) → 𝑎 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)))
211210ex 412 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎𝑎 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅))))
212211adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) → (∃𝑏 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))(𝐿𝑏) = 𝑎𝑎 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅))))
21318, 212mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) → 𝑎 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)))
214213ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → 𝑎 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅))))
215214ssrdv 3989 . . 3 (𝜑 → (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ⊆ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)))
216 hashss 14448 . . 3 (((Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) ∈ V ∧ (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ⊆ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅))) → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ≤ (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅))))
2171, 215, 216syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ≤ (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅))))
2184, 197znunithash 21583 . . 3 (𝑅 ∈ ℕ → (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅))) = (ϕ‘𝑅))
2192, 218syl 17 . 2 (𝜑 → (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑅))) = (ϕ‘𝑅))
220217, 219breqtrd 5169 1 (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ≤ (ϕ‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951  cop 4632   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  cima 5688  Fun wfun 6555  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1st c1st 8012  2nd c2nd 8013  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cexp 14102  chash 14369  cdvds 16290   gcd cgcd 16531  cprime 16708  ϕcphi 16801  Basecbs 17247  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  Unitcui 20355   RingHom crh 20469  ringczring 21457  ℤRHomczrh 21510  ℤ/nczn 21513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-phi 16803  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-zn 21517
This theorem is referenced by:  aks6d1c7lem1  42181
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