Theorem hashscontpow1 42950

Description: Helper lemma for to prove inequality in Zr. (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashscontpow1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashscontpow1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
hashscontpow1.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
hashscontpow1.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
hashscontpow1.5	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
hashscontpow1.6	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
hashscontpow1.7	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
hashscontpow1.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hashscontpow1	⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝐵)))

Proof of Theorem hashscontpow1

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashscontpow1.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
2	1	elfzelzd 13573	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3	2	zred 12720	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		hashscontpow1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
5	4	elfzelzd 13573	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zred 12720	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	3, 6	resubcld 11661	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
8		hashscontpow1.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
9		hashscontpow1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12636	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		hashscontpow1.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
12		odzcl 16879	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
13	8, 10, 11, 12	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
14	13	nnred 12267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
15		elfznn 13602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝐴 ∈ ℕ)
16	4, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
17	16	nnrpd 13078	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
18	3, 17	ltsubrpd 13112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) < 𝐵)
19		elfzle2 13576	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝐵 ≤ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
20	1, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
21	7, 3, 14, 18, 20	ltletrd 11389	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
22	21	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
23		odzval 16877	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) = inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ))
24	8, 10, 11, 23	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) = inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ))
25	24	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) = inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ))
26		elrabi 3648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} → 𝑗 ∈ ℕ)
27	26	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → 𝑗 ∈ ℕ)
28	27	nnred 12267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → 𝑗 ∈ ℝ)
29	28	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} → 𝑗 ∈ ℝ))
30	29	ssrdv 3944	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} ⊆ ℝ)
31	30	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} ⊆ ℝ)
32		1red 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
33		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
34	33	breq1d 5121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 1 ≤ 𝑦))
35	34	ralbidv 3190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}1 ≤ 𝑦))
36		elrabi 3648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} → 𝑦 ∈ ℕ)
37	36	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → 𝑦 ∈ ℕ)
38	37	nnge1d 12303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → 1 ≤ 𝑦)
39	38	ralrimiva 3159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}1 ≤ 𝑦)
40	32, 35, 39	rspcedvd 3585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}𝑥 ≤ 𝑦)
41	40	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}𝑥 ≤ 𝑦)
42		oveq2 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐵 − 𝐴) → (𝑁↑𝑖) = (𝑁↑(𝐵 − 𝐴)))
43	42	oveq1d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐵 − 𝐴) → ((𝑁↑𝑖) − 1) = ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1))
44	43	breq2d 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐵 − 𝐴) → (𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1) ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
45	2	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝐵 ∈ ℤ)
46	5	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝐴 ∈ ℤ)
47	45, 46	zsubcld 12725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
48		hashscontpow1.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
49	6, 3	posdifd 11820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
50	48, 49	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
51	50	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
52	47, 51	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
53		elnnz 12620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
54	52, 53	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ)
55	8	nnzd 12636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
56	55	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∈ ℤ)
57	10	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑁 ∈ ℤ)
58	16	nnnn0d 12584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
59	58	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
60	57, 59	zexpcld 14145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ)
61	54	nnnn0d 12584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0)
62	57, 61	zexpcld 14145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℤ)
63		1zzd 12644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 1 ∈ ℤ)
64	62, 63	zsubcld 12725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1) ∈ ℤ)
65	56, 60, 64	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1) ∈ ℤ))
66		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵)))
67	66	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐿‘(𝑁↑𝐵)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐴)))
68	8	nnnn0d 12584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
69	68	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∈ ℕ0)
70		elfznn 13602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝐵 ∈ ℕ)
71	1, 70	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
72	71	nnnn0d 12584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
73	10, 72	zexpcld 14145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐵) ∈ ℤ)
74	73	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑁↑𝐵) ∈ ℤ)
75		hashscontpow1.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
76		hashscontpow1.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
77	75, 76	zndvds 21753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁↑𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑁↑𝐵)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴))))
78	69, 74, 60, 77	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((𝐿‘(𝑁↑𝐵)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴))))
79	67, 78	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴)))
80	10, 58	zexpcld 14145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ)
81	80	zcnd 12721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐴) ∈ ℂ)
82	2, 5	zsubcld 12725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
83		0red 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
84	83, 7, 50	ltled 11377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵 − 𝐴))
85	82, 84	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵 − 𝐴)))
86		elnn0z 12623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵 − 𝐴)))
87	85, 86	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0)
88	10, 87	zexpcld 14145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℤ)
89	88	zcnd 12721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
90		1cnd 11221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
91	81, 89, 90	subdid 11689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)) = (((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))) − ((𝑁↑𝐴) · 1)))
92	6	recnd 11256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
93	3	recnd 11256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
94	92, 93	pncan3d 11591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
95	94	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)))
96	95	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐵) = (𝑁↑(𝐴 + (𝐵 − 𝐴))))
97	9	nncnd 12268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
98	97, 87, 58	expaddd 14206	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(𝐴 + (𝐵 − 𝐴))) = ((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))))
99	96, 98	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐵) = ((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))))
100	99	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))) = (𝑁↑𝐵))
101	81	mulridd 11245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐴) · 1) = (𝑁↑𝐴))
102	100, 101	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))) − ((𝑁↑𝐴) · 1)) = ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴)))
103	91, 102	eqtr2d 2801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴)) = ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
104	103	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴)) = ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
105	79, 104	breqtrd 5139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
106	55, 80	gcdcomd 16598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = ((𝑁↑𝐴) gcd 𝑅))
107		rpexp 16807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (((𝑁↑𝐴) gcd 𝑅) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑅) = 1))
108	10, 55, 16, 107	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑𝐴) gcd 𝑅) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑅) = 1))
109	11, 108	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐴) gcd 𝑅) = 1)
110	106, 109	eqtrd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1)
111	110	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1)
112	105, 111	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)) ∧ (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1))
113		coprmdvds 16737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1) ∈ ℤ) → ((𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)) ∧ (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
114	113	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)) ∧ (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1)) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1))
115	65, 112, 114	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1))
116	44, 54, 115	elrabd 3654	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)})
117		infrelb 12219	. . . . . 6 ⊢ (({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}𝑥 ≤ 𝑦 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐵 − 𝐴))
118	31, 41, 116, 117	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐵 − 𝐴))
119	25, 118	eqbrtrd 5135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐴))
120	13	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
121	120	nnred 12267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
122	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
123	121, 122	lenltd 11375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐴) ↔ ¬ (𝐵 − 𝐴) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
124	119, 123	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ¬ (𝐵 − 𝐴) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
125	22, 124	pm2.65da 829	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵)))
126	125	neqned 2967	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  {crab 3418   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  infcinf 9408  ℝcr 11118  0cc0 11119  1c1 11120   + caddc 11122   · cmul 11124   < clt 11262   ≤ cle 11263   − cmin 11460  ℕcn 12252  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ...cfz 13555  ↑cexp 14119   ∥ cdvds 16336   gcd cgcd 16578  od_ℤcodz 16848  ℤRHomczrh 21703  ℤ/nℤczn 21706

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197  ax-addf 11198  ax-mulf 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-rp 13037  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-fl 13847  df-mod 13925  df-seq 14060  df-exp 14120  df-hash 14389  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-dvds 16337  df-gcd 16579  df-prm 16756  df-odz 16850  df-phi 16851  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-starv 17351  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-ip 17354  df-tset 17355  df-ple 17356  df-ds 17358  df-unif 17359  df-0g 17520  df-imas 17588  df-qus 17589  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-mhm 18882  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-sbg 19053  df-mulg 19182  df-subg 19237  df-nsg 19238  df-eqg 19239  df-ghm 19332  df-cmn 19900  df-abl 19901  df-mgp 20265  df-rng 20279  df-ur 20312  df-ring 20365  df-cring 20366  df-oppr 20469  df-dvdsr 20489  df-rhm 20604  df-subrng 20699  df-subrg 20723  df-lmod 21037  df-lss 21107  df-lsp 21147  df-sra 21348  df-rgmod 21349  df-lidl 21386  df-rsp 21387  df-2idl 21443  df-cnfld 21577  df-zring 21651  df-zrh 21707  df-zn 21710

This theorem is used by:  hashscontpow  42951