Theorem hashscontpow1 42739

Description: Helper lemma for to prove inequality in Zr. (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashscontpow1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashscontpow1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
hashscontpow1.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
hashscontpow1.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
hashscontpow1.5	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
hashscontpow1.6	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
hashscontpow1.7	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
hashscontpow1.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hashscontpow1	⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝐵)))

Proof of Theorem hashscontpow1

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashscontpow1.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
2	1	elfzelzd 13531	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3	2	zred 12678	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		hashscontpow1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
5	4	elfzelzd 13531	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zred 12678	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	3, 6	resubcld 11616	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
8		hashscontpow1.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
9		hashscontpow1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		hashscontpow1.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
12		odzcl 16830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
13	8, 10, 11, 12	syl3anc 1391	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
14	13	nnred 12226	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
15		elfznn 13559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝐴 ∈ ℕ)
16	4, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
17	16	nnrpd 13036	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
18	3, 17	ltsubrpd 13070	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) < 𝐵)
19		elfzle2 13534	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝐵 ≤ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
20	1, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
21	7, 3, 14, 18, 20	ltletrd 11344	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
22	21	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
23		odzval 16828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) = inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ))
24	8, 10, 11, 23	syl3anc 1391	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) = inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ))
25	24	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) = inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ))
26		elrabi 3647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} → 𝑗 ∈ ℕ)
27	26	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → 𝑗 ∈ ℕ)
28	27	nnred 12226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → 𝑗 ∈ ℝ)
29	28	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} → 𝑗 ∈ ℝ))
30	29	ssrdv 3943	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} ⊆ ℝ)
31	30	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} ⊆ ℝ)
32		1red 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
33		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
34	33	breq1d 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 1 ≤ 𝑦))
35	34	ralbidv 3186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}1 ≤ 𝑦))
36		elrabi 3647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} → 𝑦 ∈ ℕ)
37	36	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → 𝑦 ∈ ℕ)
38	37	nnge1d 12262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → 1 ≤ 𝑦)
39	38	ralrimiva 3155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}1 ≤ 𝑦)
40	32, 35, 39	rspcedvd 3584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}𝑥 ≤ 𝑦)
41	40	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}𝑥 ≤ 𝑦)
42		oveq2 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐵 − 𝐴) → (𝑁↑𝑖) = (𝑁↑(𝐵 − 𝐴)))
43	42	oveq1d 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐵 − 𝐴) → ((𝑁↑𝑖) − 1) = ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1))
44	43	breq2d 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐵 − 𝐴) → (𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1) ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
45	2	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝐵 ∈ ℤ)
46	5	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝐴 ∈ ℤ)
47	45, 46	zsubcld 12683	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
48		hashscontpow1.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
49	6, 3	posdifd 11775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
50	48, 49	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
51	50	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
52	47, 51	jca 519	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
53		elnnz 12579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
54	52, 53	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ)
55	8	nnzd 12595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
56	55	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∈ ℤ)
57	10	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑁 ∈ ℤ)
58	16	nnnn0d 12543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
59	58	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
60	57, 59	zexpcld 14101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ)
61	54	nnnn0d 12543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0)
62	57, 61	zexpcld 14101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℤ)
63		1zzd 12603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 1 ∈ ℤ)
64	62, 63	zsubcld 12683	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1) ∈ ℤ)
65	56, 60, 64	3jca 1142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1) ∈ ℤ))
66		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵)))
67	66	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐿‘(𝑁↑𝐵)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐴)))
68	8	nnnn0d 12543	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
69	68	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∈ ℕ0)
70		elfznn 13559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝐵 ∈ ℕ)
71	1, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
72	71	nnnn0d 12543	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
73	10, 72	zexpcld 14101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐵) ∈ ℤ)
74	73	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑁↑𝐵) ∈ ℤ)
75		hashscontpow1.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
76		hashscontpow1.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
77	75, 76	zndvds 21602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁↑𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑁↑𝐵)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴))))
78	69, 74, 60, 77	syl3anc 1391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((𝐿‘(𝑁↑𝐵)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴))))
79	67, 78	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴)))
80	10, 58	zexpcld 14101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ)
81	80	zcnd 12679	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐴) ∈ ℂ)
82	2, 5	zsubcld 12683	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
83		0red 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
84	83, 7, 50	ltled 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵 − 𝐴))
85	82, 84	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵 − 𝐴)))
86		elnn0z 12582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵 − 𝐴)))
87	85, 86	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0)
88	10, 87	zexpcld 14101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℤ)
89	88	zcnd 12679	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
90		1cnd 11176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
91	81, 89, 90	subdid 11644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)) = (((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))) − ((𝑁↑𝐴) · 1)))
92	6	recnd 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
93	3	recnd 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
94	92, 93	pncan3d 11546	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
95	94	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)))
96	95	oveq2d 7413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐵) = (𝑁↑(𝐴 + (𝐵 − 𝐴))))
97	9	nncnd 12227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
98	97, 87, 58	expaddd 14162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(𝐴 + (𝐵 − 𝐴))) = ((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))))
99	96, 98	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐵) = ((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))))
100	99	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))) = (𝑁↑𝐵))
101	81	mulridd 11200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐴) · 1) = (𝑁↑𝐴))
102	100, 101	oveq12d 7415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))) − ((𝑁↑𝐴) · 1)) = ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴)))
103	91, 102	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴)) = ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
104	103	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴)) = ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
105	79, 104	breqtrd 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
106	55, 80	gcdcomd 16549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = ((𝑁↑𝐴) gcd 𝑅))
107		rpexp 16758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (((𝑁↑𝐴) gcd 𝑅) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑅) = 1))
108	10, 55, 16, 107	syl3anc 1391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑𝐴) gcd 𝑅) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑅) = 1))
109	11, 108	mpbird 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐴) gcd 𝑅) = 1)
110	106, 109	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1)
111	110	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1)
112	105, 111	jca 519	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)) ∧ (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1))
113		coprmdvds 16688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1) ∈ ℤ) → ((𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)) ∧ (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
114	113	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)) ∧ (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1)) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1))
115	65, 112, 114	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1))
116	44, 54, 115	elrabd 3653	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)})
117		infrelb 12178	. . . . . 6 ⊢ (({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}𝑥 ≤ 𝑦 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐵 − 𝐴))
118	31, 41, 116, 117	syl3anc 1391	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐵 − 𝐴))
119	25, 118	eqbrtrd 5123	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐴))
120	13	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
121	120	nnred 12226	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
122	7	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
123	121, 122	lenltd 11330	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐴) ↔ ¬ (𝐵 − 𝐴) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
124	119, 123	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ¬ (𝐵 − 𝐴) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
125	22, 124	pm2.65da 826	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵)))
126	125	neqned 2965	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3415   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5101  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  infcinf 9388  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077   · cmul 11079   < clt 11217   ≤ cle 11218   − cmin 11415  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12482  ℤcz 12569  ...cfz 13513  ↑cexp 14075   ∥ cdvds 16287   gcd cgcd 16529  od_ℤcodz 16799  ℤRHomczrh 21552  ℤ/nℤczn 21555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153  ax-mulf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-oadd 8442  df-er 8679  df-ec 8681  df-qs 8685  df-map 8811  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-sup 9389  df-inf 9390  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-xnn0 12556  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-rp 12995  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-fl 13803  df-mod 13881  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14345  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-dvds 16288  df-gcd 16530  df-prm 16707  df-odz 16801  df-phi 16802  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-starv 17302  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-unif 17310  df-0g 17471  df-imas 17539  df-qus 17540  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-mhm 18818  df-grp 18979  df-minusg 18980  df-sbg 18981  df-mulg 19111  df-subg 19166  df-nsg 19167  df-eqg 19168  df-ghm 19255  df-cmn 19823  df-abl 19824  df-mgp 20188  df-rng 20200  df-ur 20233  df-ring 20286  df-cring 20287  df-oppr 20387  df-dvdsr 20407  df-rhm 20522  df-subrng 20597  df-subrg 20621  df-lmod 20930  df-lss 21000  df-lsp 21040  df-sra 21241  df-rgmod 21242  df-lidl 21279  df-rsp 21280  df-2idl 21321  df-cnfld 21426  df-zring 21500  df-zrh 21556  df-zn 21559

This theorem is referenced by:  hashscontpow  42740