Theorem hashscontpow1 42560

Description: Helper lemma for to prove inequality in Zr. (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashscontpow1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashscontpow1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
hashscontpow1.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
hashscontpow1.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
hashscontpow1.5	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
hashscontpow1.6	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
hashscontpow1.7	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
hashscontpow1.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hashscontpow1	⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝐵)))

Proof of Theorem hashscontpow1

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashscontpow1.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
2	1	elfzelzd 13479	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3	2	zred 12633	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		hashscontpow1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
5	4	elfzelzd 13479	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zred 12633	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	3, 6	resubcld 11578	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
8		hashscontpow1.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
9		hashscontpow1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12550	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		hashscontpow1.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
12		odzcl 16764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
13	8, 10, 11, 12	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
14	13	nnred 12189	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
15		elfznn 13507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝐴 ∈ ℕ)
16	4, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
17	16	nnrpd 12984	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
18	3, 17	ltsubrpd 13018	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) < 𝐵)
19		elfzle2 13482	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝐵 ≤ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
20	1, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
21	7, 3, 14, 18, 20	ltletrd 11306	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
23		odzval 16762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) = inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ))
24	8, 10, 11, 23	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) = inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ))
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) = inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ))
26		elrabi 3630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} → 𝑗 ∈ ℕ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → 𝑗 ∈ ℕ)
28	27	nnred 12189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → 𝑗 ∈ ℝ)
29	28	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} → 𝑗 ∈ ℝ))
30	29	ssrdv 3927	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} ⊆ ℝ)
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} ⊆ ℝ)
32		1red 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
33		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
34	33	breq1d 5095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 1 ≤ 𝑦))
35	34	ralbidv 3160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}1 ≤ 𝑦))
36		elrabi 3630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} → 𝑦 ∈ ℕ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → 𝑦 ∈ ℕ)
38	37	nnge1d 12225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → 1 ≤ 𝑦)
39	38	ralrimiva 3129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}1 ≤ 𝑦)
40	32, 35, 39	rspcedvd 3566	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}𝑥 ≤ 𝑦)
41	40	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}𝑥 ≤ 𝑦)
42		oveq2 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐵 − 𝐴) → (𝑁↑𝑖) = (𝑁↑(𝐵 − 𝐴)))
43	42	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐵 − 𝐴) → ((𝑁↑𝑖) − 1) = ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1))
44	43	breq2d 5097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐵 − 𝐴) → (𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1) ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
45	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝐵 ∈ ℤ)
46	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝐴 ∈ ℤ)
47	45, 46	zsubcld 12638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
48		hashscontpow1.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
49	6, 3	posdifd 11737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
50	48, 49	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
51	50	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
52	47, 51	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
53		elnnz 12534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
54	52, 53	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ)
55	8	nnzd 12550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∈ ℤ)
57	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑁 ∈ ℤ)
58	16	nnnn0d 12498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
60	57, 59	zexpcld 14049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ)
61	54	nnnn0d 12498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0)
62	57, 61	zexpcld 14049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℤ)
63		1zzd 12558	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 1 ∈ ℤ)
64	62, 63	zsubcld 12638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1) ∈ ℤ)
65	56, 60, 64	3jca 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1) ∈ ℤ))
66		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵)))
67	66	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐿‘(𝑁↑𝐵)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐴)))
68	8	nnnn0d 12498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∈ ℕ0)
70		elfznn 13507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝐵 ∈ ℕ)
71	1, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
72	71	nnnn0d 12498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
73	10, 72	zexpcld 14049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐵) ∈ ℤ)
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑁↑𝐵) ∈ ℤ)
75		hashscontpow1.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
76		hashscontpow1.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
77	75, 76	zndvds 21529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁↑𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑁↑𝐵)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴))))
78	69, 74, 60, 77	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((𝐿‘(𝑁↑𝐵)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴))))
79	67, 78	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴)))
80	10, 58	zexpcld 14049	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ)
81	80	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐴) ∈ ℂ)
82	2, 5	zsubcld 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
83		0red 11147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
84	83, 7, 50	ltled 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵 − 𝐴))
85	82, 84	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵 − 𝐴)))
86		elnn0z 12537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵 − 𝐴)))
87	85, 86	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0)
88	10, 87	zexpcld 14049	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℤ)
89	88	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
90		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
91	81, 89, 90	subdid 11606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)) = (((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))) − ((𝑁↑𝐴) · 1)))
92	6	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
93	3	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
94	92, 93	pncan3d 11508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
95	94	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)))
96	95	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐵) = (𝑁↑(𝐴 + (𝐵 − 𝐴))))
97	9	nncnd 12190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
98	97, 87, 58	expaddd 14110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(𝐴 + (𝐵 − 𝐴))) = ((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))))
99	96, 98	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐵) = ((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))))
100	99	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))) = (𝑁↑𝐵))
101	81	mulridd 11162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐴) · 1) = (𝑁↑𝐴))
102	100, 101	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))) − ((𝑁↑𝐴) · 1)) = ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴)))
103	91, 102	eqtr2d 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴)) = ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
104	103	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴)) = ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
105	79, 104	breqtrd 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
106	55, 80	gcdcomd 16483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = ((𝑁↑𝐴) gcd 𝑅))
107		rpexp 16692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (((𝑁↑𝐴) gcd 𝑅) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑅) = 1))
108	10, 55, 16, 107	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑𝐴) gcd 𝑅) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑅) = 1))
109	11, 108	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐴) gcd 𝑅) = 1)
110	106, 109	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1)
111	110	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1)
112	105, 111	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)) ∧ (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1))
113		coprmdvds 16622	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1) ∈ ℤ) → ((𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)) ∧ (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
114	113	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)) ∧ (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1)) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1))
115	65, 112, 114	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1))
116	44, 54, 115	elrabd 3636	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)})
117		infrelb 12141	. . . . . 6 ⊢ (({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}𝑥 ≤ 𝑦 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐵 − 𝐴))
118	31, 41, 116, 117	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐵 − 𝐴))
119	25, 118	eqbrtrd 5107	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐴))
120	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
121	120	nnred 12189	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
122	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
123	121, 122	lenltd 11292	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐴) ↔ ¬ (𝐵 − 𝐴) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
124	119, 123	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ¬ (𝐵 − 𝐴) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
125	22, 124	pm2.65da 817	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵)))
126	125	neqned 2939	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  {crab 3389   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  infcinf 9354  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ...cfz 13461  ↑cexp 14023   ∥ cdvds 16221   gcd cgcd 16463  od_ℤcodz 16733  ℤRHomczrh 21479  ℤ/nℤczn 21482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641  df-odz 16735  df-phi 16736  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-imas 17472  df-qus 17473  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-nsg 19100  df-eqg 19101  df-ghm 19188  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-rhm 20452  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206  df-rsp 21207  df-2idl 21248  df-cnfld 21353  df-zring 21427  df-zrh 21483  df-zn 21486

This theorem is referenced by:  hashscontpow  42561