Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashscontpow1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashscontpow1 42122
Description: Helper lemma for to prove inequality in Zr. (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
hashscontpow1.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
hashscontpow1.2 (𝜑𝐴 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)))
hashscontpow1.3 (𝜑𝐵 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)))
hashscontpow1.4 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
hashscontpow1.5 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
hashscontpow1.6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
hashscontpow1.7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
hashscontpow1.8 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
hashscontpow1 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁𝐴)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝐵)))

Proof of Theorem hashscontpow1
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashscontpow1.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)))
21elfzelzd 13565 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
32zred 12722 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 hashscontpow1.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)))
54elfzelzd 13565 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
65zred 12722 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
73, 6resubcld 11691 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
8 hashscontpow1.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
9 hashscontpow1.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
109nnzd 12640 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
11 hashscontpow1.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
12 odzcl 16831 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
138, 10, 11, 12syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
1413nnred 12281 . . . . 5 (𝜑 → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
15 elfznn 13593 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) → 𝐴 ∈ ℕ)
164, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
1716nnrpd 13075 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
183, 17ltsubrpd 13109 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐴) < 𝐵)
19 elfzle2 13568 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) → 𝐵 ≤ ((od𝑅)‘𝑁))
201, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 ≤ ((od𝑅)‘𝑁))
217, 3, 14, 18, 20ltletrd 11421 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) < ((od𝑅)‘𝑁))
2221adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → (𝐵𝐴) < ((od𝑅)‘𝑁))
23 odzval 16829 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((od𝑅)‘𝑁) = inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)}, ℝ, < ))
248, 10, 11, 23syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → ((od𝑅)‘𝑁) = inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)}, ℝ, < ))
2524adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → ((od𝑅)‘𝑁) = inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)}, ℝ, < ))
26 elrabi 3687 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)} → 𝑗 ∈ ℕ)
2726adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)}) → 𝑗 ∈ ℕ)
2827nnred 12281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)}) → 𝑗 ∈ ℝ)
2928ex 412 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)} → 𝑗 ∈ ℝ))
3029ssrdv 3989 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)} ⊆ ℝ)
3130adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)} ⊆ ℝ)
32 1red 11262 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
33 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
3433breq1d 5153 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = 1) → (𝑥𝑦 ↔ 1 ≤ 𝑦))
3534ralbidv 3178 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 1) → (∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)}𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)}1 ≤ 𝑦))
36 elrabi 3687 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)} → 𝑦 ∈ ℕ)
3736adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)}) → 𝑦 ∈ ℕ)
3837nnge1d 12314 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)}) → 1 ≤ 𝑦)
3938ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)}1 ≤ 𝑦)
4032, 35, 39rspcedvd 3624 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)}𝑥𝑦)
4140adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)}𝑥𝑦)
42 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐵𝐴) → (𝑁𝑖) = (𝑁↑(𝐵𝐴)))
4342oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐵𝐴) → ((𝑁𝑖) − 1) = ((𝑁↑(𝐵𝐴)) − 1))
4443breq2d 5155 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝐵𝐴) → (𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1) ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵𝐴)) − 1)))
452adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → 𝐵 ∈ ℤ)
465adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → 𝐴 ∈ ℤ)
4745, 46zsubcld 12727 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → (𝐵𝐴) ∈ ℤ)
48 hashscontpow1.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
496, 3posdifd 11850 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
5048, 49mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
5150adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → 0 < (𝐵𝐴))
5247, 51jca 511 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → ((𝐵𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐵𝐴)))
53 elnnz 12623 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∈ ℕ ↔ ((𝐵𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐵𝐴)))
5452, 53sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → (𝐵𝐴) ∈ ℕ)
558nnzd 12640 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
5655adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → 𝑅 ∈ ℤ)
5710adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → 𝑁 ∈ ℤ)
5816nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
5958adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
6057, 59zexpcld 14128 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → (𝑁𝐴) ∈ ℤ)
6154nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → (𝐵𝐴) ∈ ℕ0)
6257, 61zexpcld 14128 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → (𝑁↑(𝐵𝐴)) ∈ ℤ)
63 1zzd 12648 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → 1 ∈ ℤ)
6462, 63zsubcld 12727 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → ((𝑁↑(𝐵𝐴)) − 1) ∈ ℤ)
6556, 60, 643jca 1129 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → (𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑(𝐵𝐴)) − 1) ∈ ℤ))
66 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵)))
6766eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → (𝐿‘(𝑁𝐵)) = (𝐿‘(𝑁𝐴)))
688nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → 𝑅 ∈ ℕ0)
70 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ (1...((od𝑅)‘𝑁)) → 𝐵 ∈ ℕ)
711, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
7271nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
7310, 72zexpcld 14128 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁𝐵) ∈ ℤ)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → (𝑁𝐵) ∈ ℤ)
75 hashscontpow1.7 . . . . . . . . . . . . 13 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
76 hashscontpow1.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
7775, 76zndvds 21568 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐴) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑁𝐵)) = (𝐿‘(𝑁𝐴)) ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁𝐵) − (𝑁𝐴))))
7869, 74, 60, 77syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → ((𝐿‘(𝑁𝐵)) = (𝐿‘(𝑁𝐴)) ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁𝐵) − (𝑁𝐴))))
7967, 78mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁𝐵) − (𝑁𝐴)))
8010, 58zexpcld 14128 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁𝐴) ∈ ℤ)
8180zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
822, 5zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℤ)
83 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8483, 7, 50ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐴))
8582, 84jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵𝐴)))
86 elnn0z 12626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐵𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵𝐴)))
8785, 86sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℕ0)
8810, 87zexpcld 14128 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁↑(𝐵𝐴)) ∈ ℤ)
8988zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁↑(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
90 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
9181, 89, 90subdid 11719 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁𝐴) · ((𝑁↑(𝐵𝐴)) − 1)) = (((𝑁𝐴) · (𝑁↑(𝐵𝐴))) − ((𝑁𝐴) · 1)))
926recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
933recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
9492, 93pncan3d 11623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
9594eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 = (𝐴 + (𝐵𝐴)))
9695oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝐵) = (𝑁↑(𝐴 + (𝐵𝐴))))
979nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
9897, 87, 58expaddd 14188 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁↑(𝐴 + (𝐵𝐴))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁↑(𝐵𝐴))))
9996, 98eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁𝐵) = ((𝑁𝐴) · (𝑁↑(𝐵𝐴))))
10099eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁𝐴) · (𝑁↑(𝐵𝐴))) = (𝑁𝐵))
10181mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁𝐴) · 1) = (𝑁𝐴))
102100, 101oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑁𝐴) · (𝑁↑(𝐵𝐴))) − ((𝑁𝐴) · 1)) = ((𝑁𝐵) − (𝑁𝐴)))
10391, 102eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝐵) − (𝑁𝐴)) = ((𝑁𝐴) · ((𝑁↑(𝐵𝐴)) − 1)))
104103adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → ((𝑁𝐵) − (𝑁𝐴)) = ((𝑁𝐴) · ((𝑁↑(𝐵𝐴)) − 1)))
10579, 104breqtrd 5169 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁𝐴) · ((𝑁↑(𝐵𝐴)) − 1)))
10655, 80gcdcomd 16551 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅 gcd (𝑁𝐴)) = ((𝑁𝐴) gcd 𝑅))
107 rpexp 16759 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (((𝑁𝐴) gcd 𝑅) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑅) = 1))
10810, 55, 16, 107syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑁𝐴) gcd 𝑅) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑅) = 1))
10911, 108mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝐴) gcd 𝑅) = 1)
110106, 109eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 gcd (𝑁𝐴)) = 1)
111110adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → (𝑅 gcd (𝑁𝐴)) = 1)
112105, 111jca 511 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → (𝑅 ∥ ((𝑁𝐴) · ((𝑁↑(𝐵𝐴)) − 1)) ∧ (𝑅 gcd (𝑁𝐴)) = 1))
113 coprmdvds 16690 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑(𝐵𝐴)) − 1) ∈ ℤ) → ((𝑅 ∥ ((𝑁𝐴) · ((𝑁↑(𝐵𝐴)) − 1)) ∧ (𝑅 gcd (𝑁𝐴)) = 1) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵𝐴)) − 1)))
114113imp 406 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑(𝐵𝐴)) − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑅 ∥ ((𝑁𝐴) · ((𝑁↑(𝐵𝐴)) − 1)) ∧ (𝑅 gcd (𝑁𝐴)) = 1)) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵𝐴)) − 1))
11565, 112, 114syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵𝐴)) − 1))
11644, 54, 115elrabd 3694 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → (𝐵𝐴) ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)})
117 infrelb 12253 . . . . . 6 (({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)}𝑥𝑦 ∧ (𝐵𝐴) ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)}) → inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐵𝐴))
11831, 41, 116, 117syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁𝑖) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐵𝐴))
11925, 118eqbrtrd 5165 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → ((od𝑅)‘𝑁) ≤ (𝐵𝐴))
12013adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
121120nnred 12281 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → ((od𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
1227adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
123121, 122lenltd 11407 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → (((od𝑅)‘𝑁) ≤ (𝐵𝐴) ↔ ¬ (𝐵𝐴) < ((od𝑅)‘𝑁)))
124119, 123mpbid 232 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵))) → ¬ (𝐵𝐴) < ((od𝑅)‘𝑁))
12522, 124pm2.65da 817 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐿‘(𝑁𝐴)) = (𝐿‘(𝑁𝐵)))
126125neqned 2947 1 (𝜑 → (𝐿‘(𝑁𝐴)) ≠ (𝐿‘(𝑁𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  infcinf 9481  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  ...cfz 13547  cexp 14102  cdvds 16290   gcd cgcd 16531  odcodz 16800  ℤRHomczrh 21510  ℤ/nczn 21513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-odz 16802  df-phi 16803  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-zn 21517
This theorem is referenced by:  hashscontpow  42123
  Copyright terms: Public domain W3C validator