Theorem hashscontpow1 42116

Description: Helper lemma for to prove inequality in Zr. (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashscontpow1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashscontpow1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
hashscontpow1.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
hashscontpow1.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
hashscontpow1.5	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
hashscontpow1.6	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
hashscontpow1.7	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
hashscontpow1.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hashscontpow1	⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝐵)))

Proof of Theorem hashscontpow1

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashscontpow1.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
2	1	elfzelzd 13493	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3	2	zred 12645	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		hashscontpow1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
5	4	elfzelzd 13493	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zred 12645	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	3, 6	resubcld 11613	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
8		hashscontpow1.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
9		hashscontpow1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12563	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		hashscontpow1.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
12		odzcl 16771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
13	8, 10, 11, 12	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
14	13	nnred 12208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
15		elfznn 13521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝐴 ∈ ℕ)
16	4, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
17	16	nnrpd 13000	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
18	3, 17	ltsubrpd 13034	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) < 𝐵)
19		elfzle2 13496	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝐵 ≤ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
20	1, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
21	7, 3, 14, 18, 20	ltletrd 11341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
23		odzval 16769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) = inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ))
24	8, 10, 11, 23	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) = inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ))
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) = inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ))
26		elrabi 3657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} → 𝑗 ∈ ℕ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → 𝑗 ∈ ℕ)
28	27	nnred 12208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → 𝑗 ∈ ℝ)
29	28	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} → 𝑗 ∈ ℝ))
30	29	ssrdv 3955	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} ⊆ ℝ)
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} ⊆ ℝ)
32		1red 11182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
33		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
34	33	breq1d 5120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 1 ≤ 𝑦))
35	34	ralbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}1 ≤ 𝑦))
36		elrabi 3657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} → 𝑦 ∈ ℕ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → 𝑦 ∈ ℕ)
38	37	nnge1d 12241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → 1 ≤ 𝑦)
39	38	ralrimiva 3126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}1 ≤ 𝑦)
40	32, 35, 39	rspcedvd 3593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}𝑥 ≤ 𝑦)
41	40	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}𝑥 ≤ 𝑦)
42		oveq2 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐵 − 𝐴) → (𝑁↑𝑖) = (𝑁↑(𝐵 − 𝐴)))
43	42	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐵 − 𝐴) → ((𝑁↑𝑖) − 1) = ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1))
44	43	breq2d 5122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐵 − 𝐴) → (𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1) ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
45	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝐵 ∈ ℤ)
46	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝐴 ∈ ℤ)
47	45, 46	zsubcld 12650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
48		hashscontpow1.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
49	6, 3	posdifd 11772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
50	48, 49	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
51	50	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
52	47, 51	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
53		elnnz 12546	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
54	52, 53	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ)
55	8	nnzd 12563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∈ ℤ)
57	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑁 ∈ ℤ)
58	16	nnnn0d 12510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
60	57, 59	zexpcld 14059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ)
61	54	nnnn0d 12510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0)
62	57, 61	zexpcld 14059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℤ)
63		1zzd 12571	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 1 ∈ ℤ)
64	62, 63	zsubcld 12650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1) ∈ ℤ)
65	56, 60, 64	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1) ∈ ℤ))
66		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵)))
67	66	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐿‘(𝑁↑𝐵)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐴)))
68	8	nnnn0d 12510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∈ ℕ0)
70		elfznn 13521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝐵 ∈ ℕ)
71	1, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
72	71	nnnn0d 12510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
73	10, 72	zexpcld 14059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐵) ∈ ℤ)
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑁↑𝐵) ∈ ℤ)
75		hashscontpow1.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
76		hashscontpow1.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
77	75, 76	zndvds 21466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁↑𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑁↑𝐵)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴))))
78	69, 74, 60, 77	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((𝐿‘(𝑁↑𝐵)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴))))
79	67, 78	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴)))
80	10, 58	zexpcld 14059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ)
81	80	zcnd 12646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐴) ∈ ℂ)
82	2, 5	zsubcld 12650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
83		0red 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
84	83, 7, 50	ltled 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵 − 𝐴))
85	82, 84	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵 − 𝐴)))
86		elnn0z 12549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵 − 𝐴)))
87	85, 86	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0)
88	10, 87	zexpcld 14059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℤ)
89	88	zcnd 12646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
90		1cnd 11176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
91	81, 89, 90	subdid 11641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)) = (((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))) − ((𝑁↑𝐴) · 1)))
92	6	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
93	3	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
94	92, 93	pncan3d 11543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
95	94	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)))
96	95	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐵) = (𝑁↑(𝐴 + (𝐵 − 𝐴))))
97	9	nncnd 12209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
98	97, 87, 58	expaddd 14120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(𝐴 + (𝐵 − 𝐴))) = ((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))))
99	96, 98	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐵) = ((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))))
100	99	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))) = (𝑁↑𝐵))
101	81	mulridd 11198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐴) · 1) = (𝑁↑𝐴))
102	100, 101	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))) − ((𝑁↑𝐴) · 1)) = ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴)))
103	91, 102	eqtr2d 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴)) = ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
104	103	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴)) = ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
105	79, 104	breqtrd 5136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
106	55, 80	gcdcomd 16491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = ((𝑁↑𝐴) gcd 𝑅))
107		rpexp 16699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (((𝑁↑𝐴) gcd 𝑅) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑅) = 1))
108	10, 55, 16, 107	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑𝐴) gcd 𝑅) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑅) = 1))
109	11, 108	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐴) gcd 𝑅) = 1)
110	106, 109	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1)
111	110	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1)
112	105, 111	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)) ∧ (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1))
113		coprmdvds 16630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1) ∈ ℤ) → ((𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)) ∧ (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
114	113	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)) ∧ (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1)) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1))
115	65, 112, 114	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1))
116	44, 54, 115	elrabd 3664	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)})
117		infrelb 12175	. . . . . 6 ⊢ (({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}𝑥 ≤ 𝑦 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐵 − 𝐴))
118	31, 41, 116, 117	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐵 − 𝐴))
119	25, 118	eqbrtrd 5132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐴))
120	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
121	120	nnred 12208	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
122	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
123	121, 122	lenltd 11327	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐴) ↔ ¬ (𝐵 − 𝐴) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
124	119, 123	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ¬ (𝐵 − 𝐴) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
125	22, 124	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵)))
126	125	neqned 2933	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  {crab 3408   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  infcinf 9399  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ...cfz 13475  ↑cexp 14033   ∥ cdvds 16229   gcd cgcd 16471  od_ℤcodz 16740  ℤRHomczrh 21416  ℤ/nℤczn 21419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-ec 8676  df-qs 8680  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-prm 16649  df-odz 16742  df-phi 16743  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-0g 17411  df-imas 17478  df-qus 17479  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-nsg 19063  df-eqg 19064  df-ghm 19152  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-lidl 21125  df-rsp 21126  df-2idl 21167  df-cnfld 21272  df-zring 21364  df-zrh 21420  df-zn 21423

This theorem is referenced by:  hashscontpow  42117