Theorem hashscontpow1 42102

Description: Helper lemma for to prove inequality in Zr. (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashscontpow1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashscontpow1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
hashscontpow1.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
hashscontpow1.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
hashscontpow1.5	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
hashscontpow1.6	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
hashscontpow1.7	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
hashscontpow1.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hashscontpow1	⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝐵)))

Proof of Theorem hashscontpow1

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashscontpow1.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
2	1	elfzelzd 13561	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3	2	zred 12719	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		hashscontpow1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
5	4	elfzelzd 13561	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zred 12719	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	3, 6	resubcld 11688	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
8		hashscontpow1.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
9		hashscontpow1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12637	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		hashscontpow1.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
12		odzcl 16826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
13	8, 10, 11, 12	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
14	13	nnred 12278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
15		elfznn 13589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝐴 ∈ ℕ)
16	4, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
17	16	nnrpd 13072	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
18	3, 17	ltsubrpd 13106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) < 𝐵)
19		elfzle2 13564	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝐵 ≤ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
20	1, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
21	7, 3, 14, 18, 20	ltletrd 11418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
23		odzval 16824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) = inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ))
24	8, 10, 11, 23	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) = inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ))
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) = inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ))
26		elrabi 3689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} → 𝑗 ∈ ℕ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → 𝑗 ∈ ℕ)
28	27	nnred 12278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → 𝑗 ∈ ℝ)
29	28	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} → 𝑗 ∈ ℝ))
30	29	ssrdv 4000	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} ⊆ ℝ)
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} ⊆ ℝ)
32		1red 11259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
33		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
34	33	breq1d 5157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 1 ≤ 𝑦))
35	34	ralbidv 3175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}1 ≤ 𝑦))
36		elrabi 3689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} → 𝑦 ∈ ℕ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → 𝑦 ∈ ℕ)
38	37	nnge1d 12311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → 1 ≤ 𝑦)
39	38	ralrimiva 3143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}1 ≤ 𝑦)
40	32, 35, 39	rspcedvd 3623	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}𝑥 ≤ 𝑦)
41	40	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}𝑥 ≤ 𝑦)
42		oveq2 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐵 − 𝐴) → (𝑁↑𝑖) = (𝑁↑(𝐵 − 𝐴)))
43	42	oveq1d 7445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐵 − 𝐴) → ((𝑁↑𝑖) − 1) = ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1))
44	43	breq2d 5159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐵 − 𝐴) → (𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1) ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
45	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝐵 ∈ ℤ)
46	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝐴 ∈ ℤ)
47	45, 46	zsubcld 12724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
48		hashscontpow1.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
49	6, 3	posdifd 11847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
50	48, 49	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
51	50	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
52	47, 51	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
53		elnnz 12620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
54	52, 53	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ)
55	8	nnzd 12637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∈ ℤ)
57	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑁 ∈ ℤ)
58	16	nnnn0d 12584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
60	57, 59	zexpcld 14124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ)
61	54	nnnn0d 12584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0)
62	57, 61	zexpcld 14124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℤ)
63		1zzd 12645	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 1 ∈ ℤ)
64	62, 63	zsubcld 12724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1) ∈ ℤ)
65	56, 60, 64	3jca 1127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1) ∈ ℤ))
66		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵)))
67	66	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐿‘(𝑁↑𝐵)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐴)))
68	8	nnnn0d 12584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∈ ℕ0)
70		elfznn 13589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ (1...((odℤ‘𝑅)‘𝑁)) → 𝐵 ∈ ℕ)
71	1, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
72	71	nnnn0d 12584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
73	10, 72	zexpcld 14124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐵) ∈ ℤ)
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑁↑𝐵) ∈ ℤ)
75		hashscontpow1.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
76		hashscontpow1.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
77	75, 76	zndvds 21585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁↑𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑁↑𝐵)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴))))
78	69, 74, 60, 77	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((𝐿‘(𝑁↑𝐵)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴))))
79	67, 78	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴)))
80	10, 58	zexpcld 14124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ)
81	80	zcnd 12720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐴) ∈ ℂ)
82	2, 5	zsubcld 12724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
83		0red 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
84	83, 7, 50	ltled 11406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵 − 𝐴))
85	82, 84	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵 − 𝐴)))
86		elnn0z 12623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵 − 𝐴)))
87	85, 86	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0)
88	10, 87	zexpcld 14124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℤ)
89	88	zcnd 12720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
90		1cnd 11253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
91	81, 89, 90	subdid 11716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)) = (((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))) − ((𝑁↑𝐴) · 1)))
92	6	recnd 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
93	3	recnd 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
94	92, 93	pncan3d 11620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
95	94	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)))
96	95	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐵) = (𝑁↑(𝐴 + (𝐵 − 𝐴))))
97	9	nncnd 12279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
98	97, 87, 58	expaddd 14184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(𝐴 + (𝐵 − 𝐴))) = ((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))))
99	96, 98	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝐵) = ((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))))
100	99	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))) = (𝑁↑𝐵))
101	81	mulridd 11275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐴) · 1) = (𝑁↑𝐴))
102	100, 101	oveq12d 7448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑𝐴) · (𝑁↑(𝐵 − 𝐴))) − ((𝑁↑𝐴) · 1)) = ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴)))
103	91, 102	eqtr2d 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴)) = ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
104	103	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((𝑁↑𝐵) − (𝑁↑𝐴)) = ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
105	79, 104	breqtrd 5173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
106	55, 80	gcdcomd 16547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = ((𝑁↑𝐴) gcd 𝑅))
107		rpexp 16755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (((𝑁↑𝐴) gcd 𝑅) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑅) = 1))
108	10, 55, 16, 107	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑𝐴) gcd 𝑅) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑅) = 1))
109	11, 108	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑𝐴) gcd 𝑅) = 1)
110	106, 109	eqtrd 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1)
111	110	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1)
112	105, 111	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)) ∧ (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1))
113		coprmdvds 16686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1) ∈ ℤ) → ((𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)) ∧ (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)))
114	113	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑅 ∥ ((𝑁↑𝐴) · ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1)) ∧ (𝑅 gcd (𝑁↑𝐴)) = 1)) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1))
115	65, 112, 114	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(𝐵 − 𝐴)) − 1))
116	44, 54, 115	elrabd 3696	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)})
117		infrelb 12250	. . . . . 6 ⊢ (({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}𝑥 ≤ 𝑦 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}) → inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐵 − 𝐴))
118	31, 41, 116, 117	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → inf({𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑅 ∥ ((𝑁↑𝑖) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐵 − 𝐴))
119	25, 118	eqbrtrd 5169	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐴))
120	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
121	120	nnred 12278	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
122	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
123	121, 122	lenltd 11404	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → (((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐴) ↔ ¬ (𝐵 − 𝐴) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁)))
124	119, 123	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵))) → ¬ (𝐵 − 𝐴) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
125	22, 124	pm2.65da 817	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) = (𝐿‘(𝑁↑𝐵)))
126	125	neqned 2944	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑁↑𝐴)) ≠ (𝐿‘(𝑁↑𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  {crab 3432   ⊆ wss 3962   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  infcinf 9478  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292   ≤ cle 11293   − cmin 11489  ℕcn 12263  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ...cfz 13543  ↑cexp 14098   ∥ cdvds 16286   gcd cgcd 16527  od_ℤcodz 16796  ℤRHomczrh 21527  ℤ/nℤczn 21530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-odz 16798  df-phi 16799  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-nsg 19154  df-eqg 19155  df-ghm 19243  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-rhm 20488  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-rsp 21236  df-2idl 21277  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-zrh 21531  df-zn 21534

This theorem is referenced by:  hashscontpow  42103