Theorem aks6d1c3 42779

Description: Claim 3 of Theorem 6.1 of the AKS inequality lemma. https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c3.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c3.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c3.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c3.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c3.5	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c3.6	⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
aks6d1c3.7	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
aks6d1c3.8	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
aks6d1c3.9	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c3	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑙   𝑃,𝑘,𝑙   𝜑,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑘,𝑙)   𝐸(𝑘,𝑙)   𝐿(𝑘,𝑙)   𝑌(𝑘,𝑙)

Proof of Theorem aks6d1c3

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12314	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		2pos 12344	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
5		aks6d1c3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnred 12247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	5	nngt0d 12284	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
8		1red 11208	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9		1lt2 12412	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
11	8, 10	ltned 11345	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
12	11	necomd 3019	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
13	2, 4, 6, 7, 12	relogbcld 42630	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14	13	resqcld 14160	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
15		aks6d1c3.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
16	5	nnzd 12616	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
17		aks6d1c3.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
18		odzcl 16852	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
19	15, 16, 17, 18	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
20	19	nnred 12247	. 2 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
21		aks6d1c3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
22		aks6d1c3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
23		aks6d1c3.6	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
24		aks6d1c3.7	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
25		aks6d1c3.8	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
26	5, 21, 22, 15, 17, 23, 24, 25	hashscontpowcl 42776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)
27	26	nn0red 12565	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℝ)
28		aks6d1c3.9	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
29		nfv 1941	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
30		prmnn 16731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
31	21, 30	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
32	31	nnzd 12616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
33	32	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℤ)
34	33	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℤ)
35		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
36	34, 35	zexpcld 14122	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
37	31	nnne0d 12285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
38		dvdsval2 16312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ))
39	32, 37, 16, 38	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ))
40	22, 39	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
41	40	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
42	41	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
43		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑙 ∈ ℕ0)
44	42, 43	zexpcld 14122	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙) ∈ ℤ)
45	36, 44	zmulcld 12705	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) ∈ ℤ)
46	45	ralrimiva 3163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) ∈ ℤ)
47	46	ralrimiva 3163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) ∈ ℤ)
48	23	fmpo 8064	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) ∈ ℤ ↔ 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℤ)
49	47, 48	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℤ)
50	49	ffund 6711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐸)
51	49	ffvelcdmda 7080	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝐸‘𝑥) ∈ ℤ)
52	29, 50, 51	funimassd 6948	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)) ⊆ ℤ)
53	49	ffnd 6707	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn (ℕ0 × ℕ0))
54	53	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐸 Fn (ℕ0 × ℕ0))
55		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
56	55, 55	opelxpd 5701	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
57	54, 56, 56	fnfvimad 7233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐸‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
58		vex 3467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑘 ∈ V
59		vex 3467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑙 ∈ V
60	58, 59	op1std 7995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (1st ‘𝑞) = 𝑘)
61	60	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (𝑃↑(1st ‘𝑞)) = (𝑃↑𝑘))
62	58, 59	op2ndd 7996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (2nd ‘𝑞) = 𝑙)
63	62	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
64	61, 63	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞))) = ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
65	64	mpompt 7525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞)))) = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
66	23, 65	eqtr4i 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞))))
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐸 = (𝑞 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞)))))
68		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩)
69	68	fveq2d 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → (1st ‘𝑞) = (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))
70	69	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → (𝑃↑(1st ‘𝑞)) = (𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)))
71	68	fveq2d 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → (2nd ‘𝑞) = (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))
72	71	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞)) = ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)))
73	70, 72	oveq12d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞))) = ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))))
74		opelxp 5698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0))
75	56, 74	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0))
76	75, 74	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
77	32	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℤ)
78		xp1st 8017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ ℕ0)
79	56, 78	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ ℕ0)
80	77, 79	zexpcld 14122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) ∈ ℤ)
81	40	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
82		xp2nd 8018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ ℕ0)
83	56, 82	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ ℕ0)
84	81, 83	zexpcld 14122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) ∈ ℤ)
85	80, 84	zmulcld 12705	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))) ∈ ℤ)
86	67, 73, 76, 85	fvmptd 6998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐸‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))))
87		vex 3467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑖 ∈ V
88	87, 87	op1st 7993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = 𝑖
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = 𝑖)
90	89	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) = (𝑃↑𝑖))
91	87, 87	op2nd 7994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = 𝑖
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = 𝑖)
93	92	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑖))
94	90, 93	oveq12d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))) = ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑖)))
95	6	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
96	95	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
97	77	zcnd 12700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℂ)
98	37	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≠ 0)
99	96, 97, 98	divcan2d 11992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑃 · (𝑁 / 𝑃)) = 𝑁)
100	99	eqcomd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 = (𝑃 · (𝑁 / 𝑃)))
101	100	oveq1d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑖) = ((𝑃 · (𝑁 / 𝑃))↑𝑖))
102	81	zcnd 12700	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℂ)
103	97, 102, 55	mulexpd 14196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃 · (𝑁 / 𝑃))↑𝑖) = ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑖)))
104	101, 103	eqtr2d 2805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑖)) = (𝑁↑𝑖))
105	94, 104	eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))) = (𝑁↑𝑖))
106	86, 105	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐸‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = (𝑁↑𝑖))
107	106	eleq1d 2854	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐸‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)) ↔ (𝑁↑𝑖) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))
108	57, 107	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑖) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
109	108	ralrimiva 3163	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑁↑𝑖) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
110	52, 5, 109, 15, 17, 24, 25	hashscontpow 42778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))
111	14, 20, 27, 28, 110	ltletrd 11369	1 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ⟨cop 4600   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196   × cxp 5660   “ cima 5665   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1^st c1st 7983  2^nd c2nd 7984  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   · cmul 11104   < clt 11242   / cdiv 11870  ℕcn 12232  2c2 12294  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ↑cexp 14096  ♯chash 14365   ∥ cdvds 16309   gcd cgcd 16551  ℙcprime 16728  od_ℤcodz 16821  ℤRHomczrh 21617  ℤ/nℤczn 21620   log_b clogb 26894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178  ax-mulf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-ec 8695  df-qs 8699  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15103  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-limsup 15521  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-prm 16729  df-odz 16823  df-phi 16824  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-qus 17562  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-nsg 19189  df-eqg 19190  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-rhm 20553  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-lmod 20960  df-lss 21030  df-lsp 21070  df-sra 21271  df-rgmod 21272  df-lidl 21309  df-rsp 21310  df-2idl 21359  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-met 21484  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-fbas 21487  df-fg 21488  df-cnfld 21491  df-zring 21565  df-zrh 21621  df-zn 21624  df-top 23019  df-topon 23036  df-topsp 23058  df-bases 23071  df-cld 23144  df-ntr 23145  df-cls 23146  df-nei 23223  df-lp 23261  df-perf 23262  df-cn 23352  df-cnp 23353  df-haus 23440  df-tx 23687  df-hmeo 23880  df-fil 23971  df-fm 24063  df-flim 24064  df-flf 24065  df-xms 24445  df-ms 24446  df-tms 24447  df-cncf 25005  df-limc 25993  df-dv 25994  df-log 26686  df-logb 26895

This theorem is referenced by:  aks6d1c7lem1  42836