Theorem aks6d1c3 42608

Description: Claim 3 of Theorem 6.1 of the AKS inequality lemma. https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c3.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c3.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c3.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c3.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c3.5	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c3.6	⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
aks6d1c3.7	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
aks6d1c3.8	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
aks6d1c3.9	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c3	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑙   𝑃,𝑘,𝑙   𝜑,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑘,𝑙)   𝐸(𝑘,𝑙)   𝐿(𝑘,𝑙)   𝑌(𝑘,𝑙)

Proof of Theorem aks6d1c3

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12246	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		2pos 12275	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
5		aks6d1c3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnred 12180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	5	nngt0d 12217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
8		1red 11136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9		1lt2 12338	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
11	8, 10	ltned 11273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
12	11	necomd 2989	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
13	2, 4, 6, 7, 12	relogbcld 42459	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14	13	resqcld 14078	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
15		aks6d1c3.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
16	5	nnzd 12541	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
17		aks6d1c3.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
18		odzcl 16755	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
19	15, 16, 17, 18	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
20	19	nnred 12180	. 2 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
21		aks6d1c3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
22		aks6d1c3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
23		aks6d1c3.6	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
24		aks6d1c3.7	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
25		aks6d1c3.8	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
26	5, 21, 22, 15, 17, 23, 24, 25	hashscontpowcl 42605	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)
27	26	nn0red 12490	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℝ)
28		aks6d1c3.9	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
29		nfv 1921	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
30		prmnn 16634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
31	21, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
32	31	nnzd 12541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℤ)
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℤ)
35		simplr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
36	34, 35	zexpcld 14040	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
37	31	nnne0d 12218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
38		dvdsval2 16215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ))
39	32, 37, 16, 38	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ))
40	22, 39	mpbid 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
43		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑙 ∈ ℕ0)
44	42, 43	zexpcld 14040	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙) ∈ ℤ)
45	36, 44	zmulcld 12630	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) ∈ ℤ)
46	45	ralrimiva 3131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) ∈ ℤ)
47	46	ralrimiva 3131	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) ∈ ℤ)
48	23	fmpo 8010	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) ∈ ℤ ↔ 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℤ)
49	47, 48	sylib 219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℤ)
50	49	ffund 6659	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐸)
51	49	ffvelcdmda 7025	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝐸‘𝑥) ∈ ℤ)
52	29, 50, 51	funimassd 6893	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)) ⊆ ℤ)
53	49	ffnd 6656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn (ℕ0 × ℕ0))
54	53	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐸 Fn (ℕ0 × ℕ0))
55		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
56	55, 55	opelxpd 5657	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
57	54, 56, 56	fnfvimad 7178	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐸‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
58		vex 3435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑘 ∈ V
59		vex 3435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑙 ∈ V
60	58, 59	op1std 7941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (1st ‘𝑞) = 𝑘)
61	60	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (𝑃↑(1st ‘𝑞)) = (𝑃↑𝑘))
62	58, 59	op2ndd 7942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (2nd ‘𝑞) = 𝑙)
63	62	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
64	61, 63	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞))) = ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
65	64	mpompt 7470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞)))) = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
66	23, 65	eqtr4i 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞))))
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐸 = (𝑞 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞)))))
68		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩)
69	68	fveq2d 6831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → (1st ‘𝑞) = (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))
70	69	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → (𝑃↑(1st ‘𝑞)) = (𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)))
71	68	fveq2d 6831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → (2nd ‘𝑞) = (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))
72	71	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞)) = ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)))
73	70, 72	oveq12d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞))) = ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))))
74		opelxp 5654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0))
75	56, 74	sylib 219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0))
76	75, 74	sylibr 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
77	32	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℤ)
78		xp1st 7963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ ℕ0)
79	56, 78	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ ℕ0)
80	77, 79	zexpcld 14040	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) ∈ ℤ)
81	40	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
82		xp2nd 7964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ ℕ0)
83	56, 82	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ ℕ0)
84	81, 83	zexpcld 14040	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) ∈ ℤ)
85	80, 84	zmulcld 12630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))) ∈ ℤ)
86	67, 73, 76, 85	fvmptd 6943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐸‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))))
87		vex 3435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑖 ∈ V
88	87, 87	op1st 7939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = 𝑖
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = 𝑖)
90	89	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) = (𝑃↑𝑖))
91	87, 87	op2nd 7940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = 𝑖
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = 𝑖)
93	92	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑖))
94	90, 93	oveq12d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))) = ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑖)))
95	6	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
97	77	zcnd 12625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℂ)
98	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≠ 0)
99	96, 97, 98	divcan2d 11924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑃 · (𝑁 / 𝑃)) = 𝑁)
100	99	eqcomd 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 = (𝑃 · (𝑁 / 𝑃)))
101	100	oveq1d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑖) = ((𝑃 · (𝑁 / 𝑃))↑𝑖))
102	81	zcnd 12625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℂ)
103	97, 102, 55	mulexpd 14114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃 · (𝑁 / 𝑃))↑𝑖) = ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑖)))
104	101, 103	eqtr2d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑖)) = (𝑁↑𝑖))
105	94, 104	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))) = (𝑁↑𝑖))
106	86, 105	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐸‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = (𝑁↑𝑖))
107	106	eleq1d 2824	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐸‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)) ↔ (𝑁↑𝑖) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))
108	57, 107	mpbid 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑖) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
109	108	ralrimiva 3131	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑁↑𝑖) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
110	52, 5, 109, 15, 17, 24, 25	hashscontpow 42607	. 2 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))
111	14, 20, 27, 28, 110	ltletrd 11297	1 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ⟨cop 4561   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153   × cxp 5616   “ cima 5621   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  1^st c1st 7929  2^nd c2nd 7930  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   < clt 11170   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ↑cexp 14014  ♯chash 14283   ∥ cdvds 16212   gcd cgcd 16454  ℙcprime 16631  od_ℤcodz 16724  ℤRHomczrh 21474  ℤ/nℤczn 21477   log_b clogb 26746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-prm 16632  df-odz 16726  df-phi 16727  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-qus 17464  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-nsg 19091  df-eqg 19092  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-rhm 20443  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-lidl 21201  df-rsp 21202  df-2idl 21243  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-zring 21422  df-zrh 21478  df-zn 21481  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-lp 23119  df-perf 23120  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-haus 23298  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-cncf 24863  df-limc 25851  df-dv 25852  df-log 26538  df-logb 26747

This theorem is referenced by:  aks6d1c7lem1  42665