Theorem aks6d1c3 42080

Description: Claim 3 of Theorem 6.1 of the AKS inequality lemma. https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c3.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c3.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c3.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c3.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c3.5	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c3.6	⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
aks6d1c3.7	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
aks6d1c3.8	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
aks6d1c3.9	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c3	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑙   𝑃,𝑘,𝑙   𝜑,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑘,𝑙)   𝐸(𝑘,𝑙)   𝐿(𝑘,𝑙)   𝑌(𝑘,𝑙)

Proof of Theorem aks6d1c3

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12367	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		2pos 12396	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
5		aks6d1c3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnred 12308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	5	nngt0d 12342	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
8		1red 11291	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9		1lt2 12464	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
11	8, 10	ltned 11426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
12	11	necomd 3002	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
13	2, 4, 6, 7, 12	relogbcld 41929	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14	13	resqcld 14175	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
15		aks6d1c3.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
16	5	nnzd 12666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
17		aks6d1c3.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
18		odzcl 16840	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
19	15, 16, 17, 18	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
20	19	nnred 12308	. 2 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
21		aks6d1c3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
22		aks6d1c3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
23		aks6d1c3.6	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
24		aks6d1c3.7	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
25		aks6d1c3.8	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
26	5, 21, 22, 15, 17, 23, 24, 25	hashscontpowcl 42077	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)
27	26	nn0red 12614	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℝ)
28		aks6d1c3.9	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
29		nfv 1913	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
30		prmnn 16721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
31	21, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
32	31	nnzd 12666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℤ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℤ)
35		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
36	34, 35	zexpcld 14138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
37	31	nnne0d 12343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
38		dvdsval2 16305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ))
39	32, 37, 16, 38	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ))
40	22, 39	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
43		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑙 ∈ ℕ0)
44	42, 43	zexpcld 14138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙) ∈ ℤ)
45	36, 44	zmulcld 12753	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) ∈ ℤ)
46	45	ralrimiva 3152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) ∈ ℤ)
47	46	ralrimiva 3152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) ∈ ℤ)
48	23	fmpo 8109	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) ∈ ℤ ↔ 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℤ)
49	47, 48	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℤ)
50	49	ffund 6751	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐸)
51	49	ffvelcdmda 7118	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝐸‘𝑥) ∈ ℤ)
52	29, 50, 51	funimassd 6988	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)) ⊆ ℤ)
53	49	ffnd 6748	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn (ℕ0 × ℕ0))
54	53	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐸 Fn (ℕ0 × ℕ0))
55		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
56	55, 55	opelxpd 5739	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
57	54, 56, 56	fnfvimad 7271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐸‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
58		vex 3492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑘 ∈ V
59		vex 3492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑙 ∈ V
60	58, 59	op1std 8040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (1st ‘𝑞) = 𝑘)
61	60	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (𝑃↑(1st ‘𝑞)) = (𝑃↑𝑘))
62	58, 59	op2ndd 8041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (2nd ‘𝑞) = 𝑙)
63	62	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
64	61, 63	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞))) = ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
65	64	mpompt 7564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞)))) = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
66	23, 65	eqtr4i 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞))))
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐸 = (𝑞 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞)))))
68		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩)
69	68	fveq2d 6924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → (1st ‘𝑞) = (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))
70	69	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → (𝑃↑(1st ‘𝑞)) = (𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)))
71	68	fveq2d 6924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → (2nd ‘𝑞) = (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))
72	71	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞)) = ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)))
73	70, 72	oveq12d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞))) = ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))))
74		opelxp 5736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0))
75	56, 74	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0))
76	75, 74	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
77	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℤ)
78		xp1st 8062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ ℕ0)
79	56, 78	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ ℕ0)
80	77, 79	zexpcld 14138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) ∈ ℤ)
81	40	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
82		xp2nd 8063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ ℕ0)
83	56, 82	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ ℕ0)
84	81, 83	zexpcld 14138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) ∈ ℤ)
85	80, 84	zmulcld 12753	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))) ∈ ℤ)
86	67, 73, 76, 85	fvmptd 7036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐸‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))))
87		vex 3492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑖 ∈ V
88	87, 87	op1st 8038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = 𝑖
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = 𝑖)
90	89	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) = (𝑃↑𝑖))
91	87, 87	op2nd 8039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = 𝑖
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = 𝑖)
93	92	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑖))
94	90, 93	oveq12d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))) = ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑖)))
95	6	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
96	95	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
97	77	zcnd 12748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℂ)
98	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≠ 0)
99	96, 97, 98	divcan2d 12072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑃 · (𝑁 / 𝑃)) = 𝑁)
100	99	eqcomd 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 = (𝑃 · (𝑁 / 𝑃)))
101	100	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑖) = ((𝑃 · (𝑁 / 𝑃))↑𝑖))
102	81	zcnd 12748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℂ)
103	97, 102, 55	mulexpd 14211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃 · (𝑁 / 𝑃))↑𝑖) = ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑖)))
104	101, 103	eqtr2d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑖)) = (𝑁↑𝑖))
105	94, 104	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))) = (𝑁↑𝑖))
106	86, 105	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐸‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = (𝑁↑𝑖))
107	106	eleq1d 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐸‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)) ↔ (𝑁↑𝑖) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))
108	57, 107	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑖) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
109	108	ralrimiva 3152	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑁↑𝑖) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
110	52, 5, 109, 15, 17, 24, 25	hashscontpow 42079	. 2 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))
111	14, 20, 27, 28, 110	ltletrd 11450	1 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698   “ cima 5703   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  1^st c1st 8028  2^nd c2nd 8029  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   < clt 11324   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ↑cexp 14112  ♯chash 14379   ∥ cdvds 16302   gcd cgcd 16540  ℙcprime 16718  od_ℤcodz 16810  ℤRHomczrh 21533  ℤ/nℤczn 21536   log_b clogb 26825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-odz 16812  df-phi 16813  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-qus 17569  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-nsg 19164  df-eqg 19165  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-rsp 21242  df-2idl 21283  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-zring 21481  df-zrh 21537  df-zn 21540  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616  df-logb 26826

This theorem is referenced by:  aks6d1c7lem1  42137