Theorem aks6d1c3 42124

Description: Claim 3 of Theorem 6.1 of the AKS inequality lemma. https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c3.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c3.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c3.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c3.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c3.5	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c3.6	⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
aks6d1c3.7	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
aks6d1c3.8	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
aks6d1c3.9	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c3	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑙   𝑃,𝑘,𝑙   𝜑,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑘,𝑙)   𝐸(𝑘,𝑙)   𝐿(𝑘,𝑙)   𝑌(𝑘,𝑙)

Proof of Theorem aks6d1c3

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12340	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		2pos 12369	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
5		aks6d1c3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnred 12281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	5	nngt0d 12315	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
8		1red 11262	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9		1lt2 12437	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
11	8, 10	ltned 11397	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
12	11	necomd 2996	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
13	2, 4, 6, 7, 12	relogbcld 41974	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14	13	resqcld 14165	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
15		aks6d1c3.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
16	5	nnzd 12640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
17		aks6d1c3.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
18		odzcl 16831	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
19	15, 16, 17, 18	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
20	19	nnred 12281	. 2 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
21		aks6d1c3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
22		aks6d1c3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
23		aks6d1c3.6	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
24		aks6d1c3.7	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
25		aks6d1c3.8	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
26	5, 21, 22, 15, 17, 23, 24, 25	hashscontpowcl 42121	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)
27	26	nn0red 12588	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℝ)
28		aks6d1c3.9	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
29		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
30		prmnn 16711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
31	21, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
32	31	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℤ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℤ)
35		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
36	34, 35	zexpcld 14128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
37	31	nnne0d 12316	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
38		dvdsval2 16293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ))
39	32, 37, 16, 38	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ))
40	22, 39	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
43		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑙 ∈ ℕ0)
44	42, 43	zexpcld 14128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙) ∈ ℤ)
45	36, 44	zmulcld 12728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) ∈ ℤ)
46	45	ralrimiva 3146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) ∈ ℤ)
47	46	ralrimiva 3146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) ∈ ℤ)
48	23	fmpo 8093	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) ∈ ℤ ↔ 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℤ)
49	47, 48	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℤ)
50	49	ffund 6740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐸)
51	49	ffvelcdmda 7104	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝐸‘𝑥) ∈ ℤ)
52	29, 50, 51	funimassd 6975	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)) ⊆ ℤ)
53	49	ffnd 6737	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn (ℕ0 × ℕ0))
54	53	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐸 Fn (ℕ0 × ℕ0))
55		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
56	55, 55	opelxpd 5724	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
57	54, 56, 56	fnfvimad 7254	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐸‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
58		vex 3484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑘 ∈ V
59		vex 3484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑙 ∈ V
60	58, 59	op1std 8024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (1st ‘𝑞) = 𝑘)
61	60	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (𝑃↑(1st ‘𝑞)) = (𝑃↑𝑘))
62	58, 59	op2ndd 8025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (2nd ‘𝑞) = 𝑙)
63	62	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
64	61, 63	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞))) = ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
65	64	mpompt 7547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞)))) = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
66	23, 65	eqtr4i 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞))))
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐸 = (𝑞 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞)))))
68		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩)
69	68	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → (1st ‘𝑞) = (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))
70	69	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → (𝑃↑(1st ‘𝑞)) = (𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)))
71	68	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → (2nd ‘𝑞) = (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))
72	71	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞)) = ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)))
73	70, 72	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞))) = ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))))
74		opelxp 5721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0))
75	56, 74	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0))
76	75, 74	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
77	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℤ)
78		xp1st 8046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ ℕ0)
79	56, 78	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ ℕ0)
80	77, 79	zexpcld 14128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) ∈ ℤ)
81	40	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
82		xp2nd 8047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ ℕ0)
83	56, 82	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ ℕ0)
84	81, 83	zexpcld 14128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) ∈ ℤ)
85	80, 84	zmulcld 12728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))) ∈ ℤ)
86	67, 73, 76, 85	fvmptd 7023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐸‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))))
87		vex 3484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑖 ∈ V
88	87, 87	op1st 8022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = 𝑖
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = 𝑖)
90	89	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) = (𝑃↑𝑖))
91	87, 87	op2nd 8023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = 𝑖
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = 𝑖)
93	92	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑖))
94	90, 93	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))) = ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑖)))
95	6	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
96	95	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
97	77	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℂ)
98	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≠ 0)
99	96, 97, 98	divcan2d 12045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑃 · (𝑁 / 𝑃)) = 𝑁)
100	99	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 = (𝑃 · (𝑁 / 𝑃)))
101	100	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑖) = ((𝑃 · (𝑁 / 𝑃))↑𝑖))
102	81	zcnd 12723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℂ)
103	97, 102, 55	mulexpd 14201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃 · (𝑁 / 𝑃))↑𝑖) = ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑖)))
104	101, 103	eqtr2d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑖)) = (𝑁↑𝑖))
105	94, 104	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))) = (𝑁↑𝑖))
106	86, 105	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐸‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = (𝑁↑𝑖))
107	106	eleq1d 2826	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐸‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)) ↔ (𝑁↑𝑖) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))
108	57, 107	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑖) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
109	108	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑁↑𝑖) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
110	52, 5, 109, 15, 17, 24, 25	hashscontpow 42123	. 2 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))
111	14, 20, 27, 28, 110	ltletrd 11421	1 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683   “ cima 5688   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  1^st c1st 8012  2^nd c2nd 8013  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295   / cdiv 11920  ℕcn 12266  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ↑cexp 14102  ♯chash 14369   ∥ cdvds 16290   gcd cgcd 16531  ℙcprime 16708  od_ℤcodz 16800  ℤRHomczrh 21510  ℤ/nℤczn 21513   log_b clogb 26807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-odz 16802  df-phi 16803  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-qus 17554  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-zn 21517  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-logb 26808

This theorem is referenced by:  aks6d1c7lem1  42181