Theorem aks6d1c3 42111

Description: Claim 3 of Theorem 6.1 of the AKS inequality lemma. https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c3.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c3.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c3.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c3.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c3.5	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c3.6	⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
aks6d1c3.7	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
aks6d1c3.8	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
aks6d1c3.9	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c3	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑙   𝑃,𝑘,𝑙   𝜑,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑘,𝑙)   𝐸(𝑘,𝑙)   𝐿(𝑘,𝑙)   𝑌(𝑘,𝑙)

Proof of Theorem aks6d1c3

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12260	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		2pos 12289	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
5		aks6d1c3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnred 12201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	5	nngt0d 12235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
8		1red 11175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9		1lt2 12352	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
11	8, 10	ltned 11310	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
12	11	necomd 2980	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
13	2, 4, 6, 7, 12	relogbcld 41961	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14	13	resqcld 14090	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
15		aks6d1c3.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
16	5	nnzd 12556	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
17		aks6d1c3.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
18		odzcl 16764	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
19	15, 16, 17, 18	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℕ)
20	19	nnred 12201	. 2 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ∈ ℝ)
21		aks6d1c3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
22		aks6d1c3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
23		aks6d1c3.6	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
24		aks6d1c3.7	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
25		aks6d1c3.8	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
26	5, 21, 22, 15, 17, 23, 24, 25	hashscontpowcl 42108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)
27	26	nn0red 12504	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℝ)
28		aks6d1c3.9	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
29		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
30		prmnn 16644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
31	21, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
32	31	nnzd 12556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℤ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℤ)
35		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
36	34, 35	zexpcld 14052	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
37	31	nnne0d 12236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
38		dvdsval2 16225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ))
39	32, 37, 16, 38	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ))
40	22, 39	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
43		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑙 ∈ ℕ0)
44	42, 43	zexpcld 14052	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙) ∈ ℤ)
45	36, 44	zmulcld 12644	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) ∈ ℤ)
46	45	ralrimiva 3125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) ∈ ℤ)
47	46	ralrimiva 3125	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) ∈ ℤ)
48	23	fmpo 8047	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) ∈ ℤ ↔ 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℤ)
49	47, 48	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℤ)
50	49	ffund 6692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐸)
51	49	ffvelcdmda 7056	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝐸‘𝑥) ∈ ℤ)
52	29, 50, 51	funimassd 6927	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)) ⊆ ℤ)
53	49	ffnd 6689	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn (ℕ0 × ℕ0))
54	53	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐸 Fn (ℕ0 × ℕ0))
55		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
56	55, 55	opelxpd 5677	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
57	54, 56, 56	fnfvimad 7208	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐸‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
58		vex 3451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑘 ∈ V
59		vex 3451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑙 ∈ V
60	58, 59	op1std 7978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (1st ‘𝑞) = 𝑘)
61	60	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (𝑃↑(1st ‘𝑞)) = (𝑃↑𝑘))
62	58, 59	op2ndd 7979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (2nd ‘𝑞) = 𝑙)
63	62	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
64	61, 63	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞))) = ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
65	64	mpompt 7503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞)))) = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
66	23, 65	eqtr4i 2755	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞))))
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐸 = (𝑞 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞)))))
68		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩)
69	68	fveq2d 6862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → (1st ‘𝑞) = (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))
70	69	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → (𝑃↑(1st ‘𝑞)) = (𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)))
71	68	fveq2d 6862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → (2nd ‘𝑞) = (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))
72	71	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞)) = ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)))
73	70, 72	oveq12d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑞 = ⟨𝑖, 𝑖⟩) → ((𝑃↑(1st ‘𝑞)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘𝑞))) = ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))))
74		opelxp 5674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0))
75	56, 74	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0))
76	75, 74	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
77	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℤ)
78		xp1st 8000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ ℕ0)
79	56, 78	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ ℕ0)
80	77, 79	zexpcld 14052	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) ∈ ℤ)
81	40	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℤ)
82		xp2nd 8001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑖, 𝑖⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0) → (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ ℕ0)
83	56, 82	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ ℕ0)
84	81, 83	zexpcld 14052	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) ∈ ℤ)
85	80, 84	zmulcld 12644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))) ∈ ℤ)
86	67, 73, 76, 85	fvmptd 6975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐸‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))))
87		vex 3451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑖 ∈ V
88	87, 87	op1st 7976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = 𝑖
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = 𝑖)
90	89	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) = (𝑃↑𝑖))
91	87, 87	op2nd 7977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = 𝑖
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = 𝑖)
93	92	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑖))
94	90, 93	oveq12d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))) = ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑖)))
95	6	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
96	95	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
97	77	zcnd 12639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℂ)
98	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≠ 0)
99	96, 97, 98	divcan2d 11960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑃 · (𝑁 / 𝑃)) = 𝑁)
100	99	eqcomd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 = (𝑃 · (𝑁 / 𝑃)))
101	100	oveq1d 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑖) = ((𝑃 · (𝑁 / 𝑃))↑𝑖))
102	81	zcnd 12639	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℂ)
103	97, 102, 55	mulexpd 14126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃 · (𝑁 / 𝑃))↑𝑖) = ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑖)))
104	101, 103	eqtr2d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑖) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑖)) = (𝑁↑𝑖))
105	94, 104	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(1st ‘⟨𝑖, 𝑖⟩)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd ‘⟨𝑖, 𝑖⟩))) = (𝑁↑𝑖))
106	86, 105	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐸‘⟨𝑖, 𝑖⟩) = (𝑁↑𝑖))
107	106	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐸‘⟨𝑖, 𝑖⟩) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)) ↔ (𝑁↑𝑖) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))
108	57, 107	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑖) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
109	108	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑁↑𝑖) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
110	52, 5, 109, 15, 17, 24, 25	hashscontpow 42110	. 2 ⊢ (𝜑 → ((odℤ‘𝑅)‘𝑁) ≤ (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))
111	14, 20, 27, 28, 110	ltletrd 11334	1 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ⟨cop 4595   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636   “ cima 5641   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  1^st c1st 7966  2^nd c2nd 7967  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073   < clt 11208   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ↑cexp 14026  ♯chash 14295   ∥ cdvds 16222   gcd cgcd 16464  ℙcprime 16641  od_ℤcodz 16733  ℤRHomczrh 21409  ℤ/nℤczn 21412   log_b clogb 26674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-mulf 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-ec 8673  df-qs 8677  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-prm 16642  df-odz 16735  df-phi 16736  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-qus 17472  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-nsg 19056  df-eqg 19057  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-rhm 20381  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-lidl 21118  df-rsp 21119  df-2idl 21160  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-zring 21357  df-zrh 21413  df-zn 21416  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768  df-log 26465  df-logb 26675

This theorem is referenced by:  aks6d1c7lem1  42168