Theorem cos9thpiminplylem1 34172

Description: The polynomial ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) has no integer roots. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
cos9thpiminplylem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
cos9thpiminplylem1	⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)

Proof of Theorem cos9thpiminplylem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 𝑋 = 0)
2	1	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋↑3) = (0↑3))
3		3nn 12315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 3 ∈ ℕ)
5	4	0expd 14171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (0↑3) = 0)
6	2, 5	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋↑3) = 0)
7	1	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋↑2) = (0↑2))
8	7	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (-3 · (𝑋↑2)) = (-3 · (0↑2)))
9		2nn 12309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 2 ∈ ℕ)
11	10	0expd 14171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (0↑2) = 0)
12	11	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (-3 · (0↑2)) = (-3 · 0))
13		3nn0 12517	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12562	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
16	15	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 3 ∈ ℂ)
17	16	negcld 11551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → -3 ∈ ℂ)
18	17	mul01d 11404	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (-3 · 0) = 0)
19	8, 12, 18	3eqtrd 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (-3 · (𝑋↑2)) = 0)
20	19	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → ((-3 · (𝑋↑2)) + 1) = (0 + 1))
21	6, 20	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) = (0 + (0 + 1)))
22		0cnd 11194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 0 ∈ ℂ)
23		1cnd 11197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 1 ∈ ℂ)
24	22, 23	addcld 11223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (0 + 1) ∈ ℂ)
25	24	addlidd 11406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (0 + (0 + 1)) = (0 + 1))
26		1cnd 11197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
27	26	addlidd 11406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
28	27	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (0 + 1) = 1)
29	21, 25, 28	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) = 1)
30		ax-1ne0 11164	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 1 ≠ 0)
32	29, 31	eqnetrd 3025	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
33	32	ad4ant14 764	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) ∧ 𝑋 = 0) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
34		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → 𝑋 = 1)
35	34	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (𝑋↑3) = (1↑3))
36		3z 12622	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
37		1exp 14123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ ℤ → (1↑3) = 1)
38	36, 37	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (1↑3) = 1)
39	35, 38	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (𝑋↑3) = 1)
40	34	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (𝑋↑2) = (1↑2))
41	40	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (-3 · (𝑋↑2)) = (-3 · (1↑2)))
42		sq1 14227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1↑2) = 1
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (1↑2) = 1)
44	43	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (-3 · (1↑2)) = (-3 · 1))
45	15	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → 3 ∈ ℂ)
46	45	negcld 11551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → -3 ∈ ℂ)
47	46	mulridd 11221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (-3 · 1) = -3)
48	41, 44, 47	3eqtrd 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (-3 · (𝑋↑2)) = -3)
49	48	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ((-3 · (𝑋↑2)) + 1) = (-3 + 1))
50	39, 49	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) = (1 + (-3 + 1)))
51		1cnd 11197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → 1 ∈ ℂ)
52	46, 51	addcomd 11407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (-3 + 1) = (1 + -3))
53	51, 45	negsubd 11570	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (1 + -3) = (1 − 3))
54	52, 53	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (-3 + 1) = (1 − 3))
55	54	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (1 + (-3 + 1)) = (1 + (1 − 3)))
56		1p1e2 12359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
57	56	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (1 + 1) = 2)
58	57	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ((1 + 1) − 3) = (2 − 3))
59	51, 51, 45	addsubassd 11584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ((1 + 1) − 3) = (1 + (1 − 3)))
60		2cnd 12314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → 2 ∈ ℂ)
61	45, 60	negsubdi2d 11580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → -(3 − 2) = (2 − 3))
62		2p1e3 12377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 1) = 3
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (2 + 1) = 3)
64	63	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → 3 = (2 + 1))
65	60, 51, 64	mvrladdd 11622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (3 − 2) = 1)
66	65	negeqd 11446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → -(3 − 2) = -1)
67	61, 66	eqtr3d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (2 − 3) = -1)
68	58, 59, 67	3eqtr3d 2806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (1 + (1 − 3)) = -1)
69	50, 55, 68	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) = -1)
70		neg1ne0 12200	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 0
71	70	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → -1 ≠ 0)
72	69, 71	eqnetrd 3025	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
73	72	ad4ant14 764	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) ∧ 𝑋 = 1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
74		oveq1 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = 2 → (𝑋↑3) = (2↑3))
75	74	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (𝑋↑3) = (2↑3))
76		cu2 14232	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑3) = 8
77	75, 76	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (𝑋↑3) = 8)
78		cos9thpiminplylem1.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
79	78	zred 12695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
80	79	resqcld 14157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
81	80	recnd 11232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
82	15, 81	mulneg1d 11662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-3 · (𝑋↑2)) = -(3 · (𝑋↑2)))
83	82	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (-3 · (𝑋↑2)) = -(3 · (𝑋↑2)))
84		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = 2 → (𝑋↑2) = (2↑2))
85	84	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (𝑋↑2) = (2↑2))
86		sq2 14229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑2) = 4
87	85, 86	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (𝑋↑2) = 4)
88	87	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (3 · (𝑋↑2)) = (3 · 4))
89	88	negeqd 11446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -(3 · (𝑋↑2)) = -(3 · 4))
90	15	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → 3 ∈ ℂ)
91		4cn 12321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → 4 ∈ ℂ)
93	90, 92	mulcomd 11225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (3 · 4) = (4 · 3))
94		4t3e12 12809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 3) = ;12
95	93, 94	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (3 · 4) = ;12)
96	95	negeqd 11446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -(3 · 4) = -;12)
97	83, 89, 96	3eqtrd 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (-3 · (𝑋↑2)) = -;12)
98	97	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ((-3 · (𝑋↑2)) + 1) = (-;12 + 1))
99	77, 98	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) = (8 + (-;12 + 1)))
100		1nn0 12515	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ0
101		2nn0 12516	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ0
102	100, 101	deccl 12721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ;12 ∈ ℕ0)
104	103	nn0cnd 12562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ;12 ∈ ℂ)
105	104	negcld 11551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -;12 ∈ ℂ)
106		1cnd 11197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → 1 ∈ ℂ)
107	105, 106	addcomd 11407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (-;12 + 1) = (1 + -;12))
108	106, 104	negsubd 11570	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (1 + -;12) = (1 − ;12))
109	107, 108	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (-;12 + 1) = (1 − ;12))
110	104, 106	negsubdi2d 11580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -(;12 − 1) = (1 − ;12))
111	100, 100	deccl 12721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ;11 ∈ ℕ0)
113	112	nn0cnd 12562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ;11 ∈ ℂ)
114	106, 113	addcomd 11407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (1 + ;11) = (;11 + 1))
115		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;11 = ;11
116	100, 100, 56, 115	decsuc 12742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;11 + 1) = ;12
117	114, 116	eqtr2di 2815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ;12 = (1 + ;11))
118	106, 113, 117	mvrladdd 11622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (;12 − 1) = ;11)
119	118	negeqd 11446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -(;12 − 1) = -;11)
120	109, 110, 119	3eqtr2d 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (-;12 + 1) = -;11)
121	120	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (8 + (-;12 + 1)) = (8 + -;11))
122		8nn0 12522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ0
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → 8 ∈ ℕ0)
124	123	nn0cnd 12562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → 8 ∈ ℂ)
125	124, 113	negsubd 11570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (8 + -;11) = (8 − ;11))
126	113, 124	negsubdi2d 11580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -(;11 − 8) = (8 − ;11))
127		8p3e11 12792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 + 3) = ;11
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (8 + 3) = ;11)
129	128	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ;11 = (8 + 3))
130	124, 90, 129	mvrladdd 11622	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (;11 − 8) = 3)
131	130	negeqd 11446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -(;11 − 8) = -3)
132	125, 126, 131	3eqtr2d 2804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (8 + -;11) = -3)
133	99, 121, 132	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) = -3)
134		0red 11206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
135	14	nn0red 12561	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
136		neg0 11499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -0 = 0
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -0 = 0)
138		3pos 12344	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
139	137, 138	eqbrtrdi 5150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -0 < 3)
140	134, 135, 139	ltnegcon1d 11789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -3 < 0)
141	140	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -3 < 0)
142	141	lt0ne0d 11774	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -3 ≠ 0)
143	133, 142	eqnetrd 3025	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
144	143	ad4ant14 764	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) ∧ 𝑋 = 2) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
145	78	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → 𝑋 ∈ ℤ)
146		0zd 12598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → 0 ∈ ℤ)
147	36	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → 3 ∈ ℤ)
148		df-neg 11439	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 = (0 − 1)
149		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → -1 < 𝑋)
150	148, 149	eqbrtrrid 5147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → (0 − 1) < 𝑋)
151		zlem1lt 12641	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (0 − 1) < 𝑋))
152	151	biimpar 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ (0 − 1) < 𝑋) → 0 ≤ 𝑋)
153	146, 145, 150, 152	syl21anc 850	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → 0 ≤ 𝑋)
154		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → 𝑋 < 3)
155		elfzo 13685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ (0..^3) ↔ (0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 3)))
156	155	biimpar 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 3)) → 𝑋 ∈ (0..^3))
157	145, 146, 147, 153, 154, 156	syl32anc 1405	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → 𝑋 ∈ (0..^3))
158		fzo0to3tp 13777	. . . . . 6 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
159	157, 158	eleqtrdi 2873	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → 𝑋 ∈ {0, 1, 2})
160		eltpg 4652	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ {0, 1, 2} ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1 ∨ 𝑋 = 2)))
161	160	biimpa 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1 ∨ 𝑋 = 2))
162	145, 159, 161	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1 ∨ 𝑋 = 2))
163	33, 73, 144, 162	mpjao3dan 1459	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
164	78, 14	zexpcld 14119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑3) ∈ ℤ)
165	164	zred 12695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑3) ∈ ℝ)
166	135	renegcld 11636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -3 ∈ ℝ)
167	166, 80	remulcld 11234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-3 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ)
168	165, 167	readdcld 11233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))) ∈ ℝ)
169	168	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → ((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))) ∈ ℝ)
170		1red 11204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 1 ∈ ℝ)
171	80	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
172	79, 135	resubcld 11637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 3) ∈ ℝ)
173	172	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → (𝑋 − 3) ∈ ℝ)
174	79	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
175	174	sqge0d 14169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (𝑋↑2))
176	135	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 3 ∈ ℝ)
177		0red 11206	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
178		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 3 ≤ 𝑋)
179	79	recnd 11232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
180	179	subid1d 11553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
181	180	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → (𝑋 − 0) = 𝑋)
182	178, 181	breqtrrd 5139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 3 ≤ (𝑋 − 0))
183	176, 174, 177, 182	lesubd 11813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (𝑋 − 3))
184	171, 173, 175, 183	mulge0d 11786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((𝑋↑2) · (𝑋 − 3)))
185	81, 179, 15	subdid 11665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · (𝑋 − 3)) = (((𝑋↑2) · 𝑋) − ((𝑋↑2) · 3)))
186	81, 179	mulcld 11224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · 𝑋) ∈ ℂ)
187	81, 15	mulcld 11224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · 3) ∈ ℂ)
188	186, 187	negsubd 11570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) · 𝑋) + -((𝑋↑2) · 3)) = (((𝑋↑2) · 𝑋) − ((𝑋↑2) · 3)))
189	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
190	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
191	179, 189, 190	expaddd 14180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑(2 + 1)) = ((𝑋↑2) · (𝑋↑1)))
192	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 + 1) = 3)
193	192	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑(2 + 1)) = (𝑋↑3))
194	179	exp1d 14173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑1) = 𝑋)
195	194	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · (𝑋↑1)) = ((𝑋↑2) · 𝑋))
196	191, 193, 195	3eqtr3rd 2807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · 𝑋) = (𝑋↑3))
197	81, 15	mulcomd 11225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · 3) = (3 · (𝑋↑2)))
198	197	negeqd 11446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -((𝑋↑2) · 3) = -(3 · (𝑋↑2)))
199	198, 82	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -((𝑋↑2) · 3) = (-3 · (𝑋↑2)))
200	196, 199	oveq12d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) · 𝑋) + -((𝑋↑2) · 3)) = ((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))))
201	185, 188, 200	3eqtr2d 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · (𝑋 − 3)) = ((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))))
202	201	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → ((𝑋↑2) · (𝑋 − 3)) = ((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))))
203	184, 202	breqtrd 5137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))))
204		0lt1 11731	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
205	204	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 < 1)
206	169, 170, 203, 205	addgegt0d 11782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 < (((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))) + 1))
207	165	recnd 11232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
208	207	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
209	167	recnd 11232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-3 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
210	209	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → (-3 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
211		1cnd 11197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 1 ∈ ℂ)
212	208, 210, 211	addassd 11226	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → (((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))) + 1) = ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)))
213	206, 212	breqtrd 5137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 < ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)))
214	213	gt0ne0d 11773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
215	214	adantlr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 3 ≤ 𝑋) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
216	79	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
217	135	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) → 3 ∈ ℝ)
218	163, 215, 216, 217	ltlecasei 11313	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
219	165	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (𝑋↑3) ∈ ℝ)
220	167	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (-3 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ)
221		1red 11204	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 1 ∈ ℝ)
222	220, 221	readdcld 11233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((-3 · (𝑋↑2)) + 1) ∈ ℝ)
223	219, 222	readdcld 11233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ∈ ℝ)
224	166	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -3 ∈ ℝ)
225		0red 11206	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 0 ∈ ℝ)
226	219, 220	readdcld 11233	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))) ∈ ℝ)
227		4re 12320	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
228	227	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 4 ∈ ℝ)
229	228	renegcld 11636	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -4 ∈ ℝ)
230		1red 11204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
231	230	renegcld 11636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
232	231	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -1 ∈ ℝ)
233	79	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 𝑋 ∈ ℝ)
234	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 3 ∈ ℕ)
235		n2dvds3 16424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
236	235	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ¬ 2 ∥ 3)
237		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 𝑋 ≤ -1)
238	233, 232, 234, 236, 237	oexpled 33180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (𝑋↑3) ≤ (-1↑3))
239		m1expo 16428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 3) → (-1↑3) = -1)
240	36, 236, 239	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (-1↑3) = -1)
241	238, 240	breqtrd 5137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (𝑋↑3) ≤ -1)
242	234	nncnd 12244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 3 ∈ ℂ)
243	81	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
244	242, 243	mulneg1d 11662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (-3 · (𝑋↑2)) = -(3 · (𝑋↑2)))
245	135	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 3 ∈ ℝ)
246	135, 80	remulcld 11234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ)
247	246	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (3 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ)
248	80	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
249	13	nn0ge0i 12526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 3
250	249	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 0 ≤ 3)
251	233, 221, 237	lenegcon2d 11792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 1 ≤ -𝑋)
252	233	renegcld 11636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -𝑋 ∈ ℝ)
253		0le1 11732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ≤ 1
254	253	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 0 ≤ 1)
255		neg1rr 12199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -1 ∈ ℝ
256		0re 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ∈ ℝ
257		neg1lt0 12201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -1 < 0
258	255, 256, 257	ltleii 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -1 ≤ 0
259	258	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -1 ≤ 0)
260	233, 232, 225, 237, 259	letrd 11362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 𝑋 ≤ 0)
261		leneg 11712	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑋 ≤ 0 ↔ -0 ≤ -𝑋))
262	261	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ≤ 0) → -0 ≤ -𝑋)
263	233, 225, 260, 262	syl21anc 850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -0 ≤ -𝑋)
264	136, 263	eqbrtrrid 5147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 0 ≤ -𝑋)
265	221, 252, 254, 264	le2sqd 14289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (1 ≤ -𝑋 ↔ (1↑2) ≤ (-𝑋↑2)))
266	251, 265	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (1↑2) ≤ (-𝑋↑2))
267	233	recnd 11232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 𝑋 ∈ ℂ)
268	267	sqnegd 14148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (-𝑋↑2) = (𝑋↑2))
269	266, 268	breqtrd 5137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (1↑2) ≤ (𝑋↑2))
270	42, 269	eqbrtrrid 5147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 1 ≤ (𝑋↑2))
271	245, 248, 250, 270	lemulge11d 12147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 3 ≤ (3 · (𝑋↑2)))
272		leneg 11712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ (3 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ) → (3 ≤ (3 · (𝑋↑2)) ↔ -(3 · (𝑋↑2)) ≤ -3))
273	272	biimpa 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ (3 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ) ∧ 3 ≤ (3 · (𝑋↑2))) → -(3 · (𝑋↑2)) ≤ -3)
274	245, 247, 271, 273	syl21anc 850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -(3 · (𝑋↑2)) ≤ -3)
275	244, 274	eqbrtrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (-3 · (𝑋↑2)) ≤ -3)
276	219, 220, 232, 224, 241, 275	le2addd 11828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))) ≤ (-1 + -3))
277		1cnd 11197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 1 ∈ ℂ)
278	277, 242	negdid 11577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -(1 + 3) = (-1 + -3))
279	277, 242	addcomd 11407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (1 + 3) = (3 + 1))
280		3p1e4 12380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
281	279, 280	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (1 + 3) = 4)
282	281	negeqd 11446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -(1 + 3) = -4)
283	278, 282	eqtr3d 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (-1 + -3) = -4)
284	276, 283	breqtrd 5137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))) ≤ -4)
285	226, 229, 221, 284	leadd1dd 11823	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))) + 1) ≤ (-4 + 1))
286	207	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
287	209	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (-3 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
288	286, 287, 277	addassd 11226	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))) + 1) = ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)))
289		ax-1cn 11153	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
290	91, 289	negsubdii 11538	. . . . . . 7 ⊢ -(4 − 1) = (-4 + 1)
291		4m1e3 12364	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 1) = 3
292	291	negeqi 11445	. . . . . . 7 ⊢ -(4 − 1) = -3
293	290, 292	eqtr3i 2788	. . . . . 6 ⊢ (-4 + 1) = -3
294	293	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (-4 + 1) = -3)
295	285, 288, 294	3brtr3d 5142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≤ -3)
296	140	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -3 < 0)
297	223, 224, 225, 295, 296	lelttrd 11363	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) < 0)
298	297	lt0ne0d 11774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
299	218, 298, 231, 79	ltlecasei 11313	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  {ctp 4593   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436  -cneg 11437  ℕcn 12228  2c2 12290  3c3 12291  4c4 12292  8c8 12296  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ;cdc 12706  ..^cfzo 13678  ↑cexp 14093   ∥ cdvds 16305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-dvds 16306

This theorem is referenced by:  cos9thpiminplylem2  34173