Theorem cos9thpiminplylem1 33751

Description: The polynomial ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) has no integer roots. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
cos9thpiminplylem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
cos9thpiminplylem1	⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)

Proof of Theorem cos9thpiminplylem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 𝑋 = 0)
2	1	oveq1d 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋↑3) = (0↑3))
3		3nn 12312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 3 ∈ ℕ)
5	4	0expd 14147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (0↑3) = 0)
6	2, 5	eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋↑3) = 0)
7	1	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋↑2) = (0↑2))
8	7	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (-3 · (𝑋↑2)) = (-3 · (0↑2)))
9		2nn 12306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 2 ∈ ℕ)
11	10	0expd 14147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (0↑2) = 0)
12	11	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (-3 · (0↑2)) = (-3 · 0))
13		3nn0 12512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 3 ∈ ℂ)
17	16	negcld 11574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → -3 ∈ ℂ)
18	17	mul01d 11427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (-3 · 0) = 0)
19	8, 12, 18	3eqtrd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (-3 · (𝑋↑2)) = 0)
20	19	oveq1d 7415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → ((-3 · (𝑋↑2)) + 1) = (0 + 1))
21	6, 20	oveq12d 7418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) = (0 + (0 + 1)))
22		0cnd 11221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 0 ∈ ℂ)
23		1cnd 11223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 1 ∈ ℂ)
24	22, 23	addcld 11247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (0 + 1) ∈ ℂ)
25	24	addlidd 11429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (0 + (0 + 1)) = (0 + 1))
26		1cnd 11223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
27	26	addlidd 11429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (0 + 1) = 1)
29	21, 25, 28	3eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) = 1)
30		ax-1ne0 11191	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 1 ≠ 0)
32	29, 31	eqnetrd 2998	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
33	32	ad4ant14 752	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) ∧ 𝑋 = 0) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
34		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → 𝑋 = 1)
35	34	oveq1d 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (𝑋↑3) = (1↑3))
36		3z 12618	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
37		1exp 14099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ ℤ → (1↑3) = 1)
38	36, 37	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (1↑3) = 1)
39	35, 38	eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (𝑋↑3) = 1)
40	34	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (𝑋↑2) = (1↑2))
41	40	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (-3 · (𝑋↑2)) = (-3 · (1↑2)))
42		sq1 14203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1↑2) = 1
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (1↑2) = 1)
44	43	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (-3 · (1↑2)) = (-3 · 1))
45	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → 3 ∈ ℂ)
46	45	negcld 11574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → -3 ∈ ℂ)
47	46	mulridd 11245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (-3 · 1) = -3)
48	41, 44, 47	3eqtrd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (-3 · (𝑋↑2)) = -3)
49	48	oveq1d 7415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ((-3 · (𝑋↑2)) + 1) = (-3 + 1))
50	39, 49	oveq12d 7418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) = (1 + (-3 + 1)))
51		1cnd 11223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → 1 ∈ ℂ)
52	46, 51	addcomd 11430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (-3 + 1) = (1 + -3))
53	51, 45	negsubd 11593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (1 + -3) = (1 − 3))
54	52, 53	eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (-3 + 1) = (1 − 3))
55	54	oveq2d 7416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (1 + (-3 + 1)) = (1 + (1 − 3)))
56		1p1e2 12358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
57	56	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (1 + 1) = 2)
58	57	oveq1d 7415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ((1 + 1) − 3) = (2 − 3))
59	51, 51, 45	addsubassd 11607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ((1 + 1) − 3) = (1 + (1 − 3)))
60		2cnd 12311	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → 2 ∈ ℂ)
61	45, 60	negsubdi2d 11603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → -(3 − 2) = (2 − 3))
62		2p1e3 12375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 1) = 3
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (2 + 1) = 3)
64	63	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → 3 = (2 + 1))
65	60, 51, 64	mvrladdd 11643	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (3 − 2) = 1)
66	65	negeqd 11469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → -(3 − 2) = -1)
67	61, 66	eqtr3d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (2 − 3) = -1)
68	58, 59, 67	3eqtr3d 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (1 + (1 − 3)) = -1)
69	50, 55, 68	3eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) = -1)
70		neg1ne0 12349	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 0
71	70	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → -1 ≠ 0)
72	69, 71	eqnetrd 2998	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
73	72	ad4ant14 752	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) ∧ 𝑋 = 1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
74		oveq1 7407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = 2 → (𝑋↑3) = (2↑3))
75	74	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (𝑋↑3) = (2↑3))
76		cu2 14208	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑3) = 8
77	75, 76	eqtrdi 2785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (𝑋↑3) = 8)
78		cos9thpiminplylem1.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
79	78	zred 12690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
80	79	resqcld 14133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
81	80	recnd 11256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
82	15, 81	mulneg1d 11683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-3 · (𝑋↑2)) = -(3 · (𝑋↑2)))
83	82	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (-3 · (𝑋↑2)) = -(3 · (𝑋↑2)))
84		oveq1 7407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = 2 → (𝑋↑2) = (2↑2))
85	84	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (𝑋↑2) = (2↑2))
86		sq2 14205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑2) = 4
87	85, 86	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (𝑋↑2) = 4)
88	87	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (3 · (𝑋↑2)) = (3 · 4))
89	88	negeqd 11469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -(3 · (𝑋↑2)) = -(3 · 4))
90	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → 3 ∈ ℂ)
91		4cn 12318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → 4 ∈ ℂ)
93	90, 92	mulcomd 11249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (3 · 4) = (4 · 3))
94		4t3e12 12799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 3) = ;12
95	93, 94	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (3 · 4) = ;12)
96	95	negeqd 11469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -(3 · 4) = -;12)
97	83, 89, 96	3eqtrd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (-3 · (𝑋↑2)) = -;12)
98	97	oveq1d 7415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ((-3 · (𝑋↑2)) + 1) = (-;12 + 1))
99	77, 98	oveq12d 7418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) = (8 + (-;12 + 1)))
100		1nn0 12510	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ0
101		2nn0 12511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ0
102	100, 101	deccl 12716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ;12 ∈ ℕ0)
104	103	nn0cnd 12557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ;12 ∈ ℂ)
105	104	negcld 11574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -;12 ∈ ℂ)
106		1cnd 11223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → 1 ∈ ℂ)
107	105, 106	addcomd 11430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (-;12 + 1) = (1 + -;12))
108	106, 104	negsubd 11593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (1 + -;12) = (1 − ;12))
109	107, 108	eqtrd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (-;12 + 1) = (1 − ;12))
110	104, 106	negsubdi2d 11603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -(;12 − 1) = (1 − ;12))
111	100, 100	deccl 12716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ;11 ∈ ℕ0)
113	112	nn0cnd 12557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ;11 ∈ ℂ)
114	106, 113	addcomd 11430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (1 + ;11) = (;11 + 1))
115		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;11 = ;11
116	100, 100, 56, 115	decsuc 12732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;11 + 1) = ;12
117	114, 116	eqtr2di 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ;12 = (1 + ;11))
118	106, 113, 117	mvrladdd 11643	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (;12 − 1) = ;11)
119	118	negeqd 11469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -(;12 − 1) = -;11)
120	109, 110, 119	3eqtr2d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (-;12 + 1) = -;11)
121	120	oveq2d 7416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (8 + (-;12 + 1)) = (8 + -;11))
122		8nn0 12517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ0
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → 8 ∈ ℕ0)
124	123	nn0cnd 12557	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → 8 ∈ ℂ)
125	124, 113	negsubd 11593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (8 + -;11) = (8 − ;11))
126	113, 124	negsubdi2d 11603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -(;11 − 8) = (8 − ;11))
127		8p3e11 12782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 + 3) = ;11
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (8 + 3) = ;11)
129	128	eqcomd 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ;11 = (8 + 3))
130	124, 90, 129	mvrladdd 11643	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (;11 − 8) = 3)
131	130	negeqd 11469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -(;11 − 8) = -3)
132	125, 126, 131	3eqtr2d 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (8 + -;11) = -3)
133	99, 121, 132	3eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) = -3)
134		0red 11231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
135	14	nn0red 12556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
136		neg0 11522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -0 = 0
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -0 = 0)
138		3pos 12338	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
139	137, 138	eqbrtrdi 5156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -0 < 3)
140	134, 135, 139	ltnegcon1d 11810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -3 < 0)
141	140	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -3 < 0)
142	141	lt0ne0d 11795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -3 ≠ 0)
143	133, 142	eqnetrd 2998	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
144	143	ad4ant14 752	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) ∧ 𝑋 = 2) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
145	78	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → 𝑋 ∈ ℤ)
146		0zd 12593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → 0 ∈ ℤ)
147	36	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → 3 ∈ ℤ)
148		df-neg 11462	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 = (0 − 1)
149		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → -1 < 𝑋)
150	148, 149	eqbrtrrid 5153	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → (0 − 1) < 𝑋)
151		zlem1lt 12637	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (0 − 1) < 𝑋))
152	151	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ (0 − 1) < 𝑋) → 0 ≤ 𝑋)
153	146, 145, 150, 152	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → 0 ≤ 𝑋)
154		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → 𝑋 < 3)
155		elfzo 13668	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ (0..^3) ↔ (0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 3)))
156	155	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 3)) → 𝑋 ∈ (0..^3))
157	145, 146, 147, 153, 154, 156	syl32anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → 𝑋 ∈ (0..^3))
158		fzo0to3tp 13758	. . . . . 6 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
159	157, 158	eleqtrdi 2843	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → 𝑋 ∈ {0, 1, 2})
160		eltpg 4660	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ {0, 1, 2} ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1 ∨ 𝑋 = 2)))
161	160	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1 ∨ 𝑋 = 2))
162	145, 159, 161	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1 ∨ 𝑋 = 2))
163	33, 73, 144, 162	mpjao3dan 1433	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
164	78, 14	zexpcld 14095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑3) ∈ ℤ)
165	164	zred 12690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑3) ∈ ℝ)
166	135	renegcld 11657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -3 ∈ ℝ)
167	166, 80	remulcld 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-3 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ)
168	165, 167	readdcld 11257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))) ∈ ℝ)
169	168	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → ((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))) ∈ ℝ)
170		1red 11229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 1 ∈ ℝ)
171	80	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
172	79, 135	resubcld 11658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 3) ∈ ℝ)
173	172	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → (𝑋 − 3) ∈ ℝ)
174	79	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
175	174	sqge0d 14145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (𝑋↑2))
176	135	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 3 ∈ ℝ)
177		0red 11231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
178		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 3 ≤ 𝑋)
179	79	recnd 11256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
180	179	subid1d 11576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
181	180	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → (𝑋 − 0) = 𝑋)
182	178, 181	breqtrrd 5145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 3 ≤ (𝑋 − 0))
183	176, 174, 177, 182	lesubd 11834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (𝑋 − 3))
184	171, 173, 175, 183	mulge0d 11807	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((𝑋↑2) · (𝑋 − 3)))
185	81, 179, 15	subdid 11686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · (𝑋 − 3)) = (((𝑋↑2) · 𝑋) − ((𝑋↑2) · 3)))
186	81, 179	mulcld 11248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · 𝑋) ∈ ℂ)
187	81, 15	mulcld 11248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · 3) ∈ ℂ)
188	186, 187	negsubd 11593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) · 𝑋) + -((𝑋↑2) · 3)) = (((𝑋↑2) · 𝑋) − ((𝑋↑2) · 3)))
189	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
190	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
191	179, 189, 190	expaddd 14156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑(2 + 1)) = ((𝑋↑2) · (𝑋↑1)))
192	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 + 1) = 3)
193	192	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑(2 + 1)) = (𝑋↑3))
194	179	exp1d 14149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑1) = 𝑋)
195	194	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · (𝑋↑1)) = ((𝑋↑2) · 𝑋))
196	191, 193, 195	3eqtr3rd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · 𝑋) = (𝑋↑3))
197	81, 15	mulcomd 11249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · 3) = (3 · (𝑋↑2)))
198	197	negeqd 11469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -((𝑋↑2) · 3) = -(3 · (𝑋↑2)))
199	198, 82	eqtr4d 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -((𝑋↑2) · 3) = (-3 · (𝑋↑2)))
200	196, 199	oveq12d 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) · 𝑋) + -((𝑋↑2) · 3)) = ((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))))
201	185, 188, 200	3eqtr2d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · (𝑋 − 3)) = ((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))))
202	201	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → ((𝑋↑2) · (𝑋 − 3)) = ((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))))
203	184, 202	breqtrd 5143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))))
204		0lt1 11752	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
205	204	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 < 1)
206	169, 170, 203, 205	addgegt0d 11803	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 < (((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))) + 1))
207	165	recnd 11256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
208	207	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
209	167	recnd 11256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-3 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
210	209	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → (-3 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
211		1cnd 11223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 1 ∈ ℂ)
212	208, 210, 211	addassd 11250	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → (((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))) + 1) = ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)))
213	206, 212	breqtrd 5143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 < ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)))
214	213	gt0ne0d 11794	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
215	214	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 3 ≤ 𝑋) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
216	79	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
217	135	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) → 3 ∈ ℝ)
218	163, 215, 216, 217	ltlecasei 11336	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
219	165	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (𝑋↑3) ∈ ℝ)
220	167	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (-3 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ)
221		1red 11229	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 1 ∈ ℝ)
222	220, 221	readdcld 11257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((-3 · (𝑋↑2)) + 1) ∈ ℝ)
223	219, 222	readdcld 11257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ∈ ℝ)
224	166	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -3 ∈ ℝ)
225		0red 11231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 0 ∈ ℝ)
226	219, 220	readdcld 11257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))) ∈ ℝ)
227		4re 12317	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
228	227	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 4 ∈ ℝ)
229	228	renegcld 11657	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -4 ∈ ℝ)
230		1red 11229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
231	230	renegcld 11657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
232	231	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -1 ∈ ℝ)
233	79	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 𝑋 ∈ ℝ)
234	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 3 ∈ ℕ)
235		n2dvds3 16377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
236	235	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ¬ 2 ∥ 3)
237		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 𝑋 ≤ -1)
238	233, 232, 234, 236, 237	oexpled 32763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (𝑋↑3) ≤ (-1↑3))
239		m1expo 16381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 3) → (-1↑3) = -1)
240	36, 236, 239	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (-1↑3) = -1)
241	238, 240	breqtrd 5143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (𝑋↑3) ≤ -1)
242	234	nncnd 12249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 3 ∈ ℂ)
243	81	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
244	242, 243	mulneg1d 11683	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (-3 · (𝑋↑2)) = -(3 · (𝑋↑2)))
245	135	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 3 ∈ ℝ)
246	135, 80	remulcld 11258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ)
247	246	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (3 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ)
248	80	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
249	13	nn0ge0i 12521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 3
250	249	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 0 ≤ 3)
251	233, 221, 237	lenegcon2d 11813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 1 ≤ -𝑋)
252	233	renegcld 11657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -𝑋 ∈ ℝ)
253		0le1 11753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ≤ 1
254	253	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 0 ≤ 1)
255		neg1rr 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -1 ∈ ℝ
256		0re 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ∈ ℝ
257		neg1lt0 12350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -1 < 0
258	255, 256, 257	ltleii 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -1 ≤ 0
259	258	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -1 ≤ 0)
260	233, 232, 225, 237, 259	letrd 11385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 𝑋 ≤ 0)
261		leneg 11733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑋 ≤ 0 ↔ -0 ≤ -𝑋))
262	261	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ≤ 0) → -0 ≤ -𝑋)
263	233, 225, 260, 262	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -0 ≤ -𝑋)
264	136, 263	eqbrtrrid 5153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 0 ≤ -𝑋)
265	221, 252, 254, 264	le2sqd 14265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (1 ≤ -𝑋 ↔ (1↑2) ≤ (-𝑋↑2)))
266	251, 265	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (1↑2) ≤ (-𝑋↑2))
267	233	recnd 11256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 𝑋 ∈ ℂ)
268	267	sqnegd 14124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (-𝑋↑2) = (𝑋↑2))
269	266, 268	breqtrd 5143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (1↑2) ≤ (𝑋↑2))
270	42, 269	eqbrtrrid 5153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 1 ≤ (𝑋↑2))
271	245, 248, 250, 270	lemulge11d 12172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 3 ≤ (3 · (𝑋↑2)))
272		leneg 11733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ (3 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ) → (3 ≤ (3 · (𝑋↑2)) ↔ -(3 · (𝑋↑2)) ≤ -3))
273	272	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ (3 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ) ∧ 3 ≤ (3 · (𝑋↑2))) → -(3 · (𝑋↑2)) ≤ -3)
274	245, 247, 271, 273	syl21anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -(3 · (𝑋↑2)) ≤ -3)
275	244, 274	eqbrtrd 5139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (-3 · (𝑋↑2)) ≤ -3)
276	219, 220, 232, 224, 241, 275	le2addd 11849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))) ≤ (-1 + -3))
277		1cnd 11223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 1 ∈ ℂ)
278	277, 242	negdid 11600	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -(1 + 3) = (-1 + -3))
279	277, 242	addcomd 11430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (1 + 3) = (3 + 1))
280		3p1e4 12378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
281	279, 280	eqtrdi 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (1 + 3) = 4)
282	281	negeqd 11469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -(1 + 3) = -4)
283	278, 282	eqtr3d 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (-1 + -3) = -4)
284	276, 283	breqtrd 5143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))) ≤ -4)
285	226, 229, 221, 284	leadd1dd 11844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))) + 1) ≤ (-4 + 1))
286	207	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
287	209	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (-3 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
288	286, 287, 277	addassd 11250	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (((𝑋↑3) + (-3 · (𝑋↑2))) + 1) = ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)))
289		ax-1cn 11180	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
290	91, 289	negsubdii 11561	. . . . . . 7 ⊢ -(4 − 1) = (-4 + 1)
291		4m1e3 12362	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 1) = 3
292	291	negeqi 11468	. . . . . . 7 ⊢ -(4 − 1) = -3
293	290, 292	eqtr3i 2759	. . . . . 6 ⊢ (-4 + 1) = -3
294	293	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (-4 + 1) = -3)
295	285, 288, 294	3brtr3d 5148	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≤ -3)
296	140	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -3 < 0)
297	223, 224, 225, 295, 296	lelttrd 11386	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) < 0)
298	297	lt0ne0d 11795	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
299	218, 298, 231, 79	ltlecasei 11336	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((-3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  {ctp 4603   class class class wbr 5117  (class class class)co 7400  ℂcc 11120  ℝcr 11121  0cc0 11122  1c1 11123   + caddc 11125   · cmul 11127   < clt 11262   ≤ cle 11263   − cmin 11459  -cneg 11460  ℕcn 12233  2c2 12288  3c3 12289  4c4 12290  8c8 12294  ℕ₀cn0 12494  ℤcz 12581  ;cdc 12701  ..^cfzo 13661  ↑cexp 14069   ∥ cdvds 16259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4882  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8714  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11888  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-4 12298  df-5 12299  df-6 12300  df-7 12301  df-8 12302  df-9 12303  df-n0 12495  df-z 12582  df-dec 12702  df-uz 12846  df-rp 13002  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14010  df-exp 14070  df-dvds 16260

This theorem is referenced by:  cos9thpiminplylem2  33752