Theorem cos9thpiminplylem1 34467

Description: The polynomial ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) has no integer roots. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
cos9thpiminplylem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
cos9thpiminplylem1	⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)

Proof of Theorem cos9thpiminplylem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 𝑋 = 0)
2	1	oveq1d 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋↑3) = (0↑3))
3		3nn 12432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 3 ∈ ℕ)
5	4	0expd 14292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (0↑3) = 0)
6	2, 5	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋↑3) = 0)
7	1	oveq1d 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋↑2) = (0↑2))
8	7	oveq2d 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → ( -3 · (𝑋↑2)) = ( -3 · (0↑2)))
9		2nn 12426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 2 ∈ ℕ)
11	10	0expd 14292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (0↑2) = 0)
12	11	oveq2d 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → ( -3 · (0↑2)) = ( -3 · 0))
13		3nn0 12634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12679	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 3 ∈ ℂ)
17	16	negcld 11666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → -3 ∈ ℂ)
18	17	mul01d 11519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → ( -3 · 0) = 0)
19	8, 12, 18	3eqtrd 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → ( -3 · (𝑋↑2)) = 0)
20	19	oveq1d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (( -3 · (𝑋↑2)) + 1) = (0 + 1))
21	6, 20	oveq12d 7445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) = (0 + (0 + 1)))
22		0cnd 11309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 0 ∈ ℂ)
23		1cnd 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 1 ∈ ℂ)
24	22, 23	addcld 11338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (0 + 1) ∈ ℂ)
25	24	addlidd 11521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (0 + (0 + 1)) = (0 + 1))
26		1cnd 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
27	26	addlidd 11521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
28	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (0 + 1) = 1)
29	21, 25, 28	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) = 1)
30		ax-1ne0 11279	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 1 ≠ 0)
32	29, 31	eqnetrd 3025	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
33	32	ad4ant14 765	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) ∧ 𝑋 = 0) → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
34		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → 𝑋 = 1)
35	34	oveq1d 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (𝑋↑3) = (1↑3))
36		3z 12739	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
37		1exp 14244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ ℤ → (1↑3) = 1)
38	36, 37	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (1↑3) = 1)
39	35, 38	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (𝑋↑3) = 1)
40	34	oveq1d 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (𝑋↑2) = (1↑2))
41	40	oveq2d 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ( -3 · (𝑋↑2)) = ( -3 · (1↑2)))
42		sq1 14348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1↑2) = 1
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (1↑2) = 1)
44	43	oveq2d 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ( -3 · (1↑2)) = ( -3 · 1))
45	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → 3 ∈ ℂ)
46	45	negcld 11666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → -3 ∈ ℂ)
47	46	mulridd 11336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ( -3 · 1) = -3)
48	41, 44, 47	3eqtrd 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ( -3 · (𝑋↑2)) = -3)
49	48	oveq1d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (( -3 · (𝑋↑2)) + 1) = ( -3 + 1))
50	39, 49	oveq12d 7445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) = (1 + ( -3 + 1)))
51		1cnd 11312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → 1 ∈ ℂ)
52	46, 51	addcomd 11522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ( -3 + 1) = (1 + -3))
53	51, 45	negsubd 11685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (1 + -3) = (1 − 3))
54	52, 53	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ( -3 + 1) = (1 − 3))
55	54	oveq2d 7443	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (1 + ( -3 + 1)) = (1 + (1 − 3)))
56		1p1e2 12476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
57	56	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (1 + 1) = 2)
58	57	oveq1d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ((1 + 1) − 3) = (2 − 3))
59	51, 51, 45	addsubassd 11699	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ((1 + 1) − 3) = (1 + (1 − 3)))
60		2cnd 12431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → 2 ∈ ℂ)
61	45, 60	negsubdi2d 11695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → -(3 − 2) = (2 − 3))
62		2p1e3 12494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 + 1) = 3
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (2 + 1) = 3)
64	60, 51, 63	mvlladdcd 11736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (3 − 2) = 1)
65	64	negeqd 11561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → -(3 − 2) = -1)
66	61, 65	eqtr3d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (2 − 3) = -1)
67	58, 59, 66	3eqtr3d 2806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → (1 + (1 − 3)) = -1)
68	50, 55, 67	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) = -1)
69		neg1ne0 12317	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 0
70	69	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → -1 ≠ 0)
71	68, 70	eqnetrd 3025	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1) → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
72	71	ad4ant14 765	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) ∧ 𝑋 = 1) → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
73		oveq1 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = 2 → (𝑋↑3) = (2↑3))
74	73	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (𝑋↑3) = (2↑3))
75		cu2 14353	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑3) = 8
76	74, 75	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (𝑋↑3) = 8)
77		cos9thpiminplylem1.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
78	77	zred 12813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
79	78	resqcld 14278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
80	79	recnd 11347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
81	15, 80	mulneg1d 11779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ( -3 · (𝑋↑2)) = -(3 · (𝑋↑2)))
82	81	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ( -3 · (𝑋↑2)) = -(3 · (𝑋↑2)))
83		oveq1 7434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = 2 → (𝑋↑2) = (2↑2))
84	83	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (𝑋↑2) = (2↑2))
85		sq2 14350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2↑2) = 4
86	84, 85	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (𝑋↑2) = 4)
87	86	oveq2d 7443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (3 · (𝑋↑2)) = (3 · 4))
88	87	negeqd 11561	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -(3 · (𝑋↑2)) = -(3 · 4))
89	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → 3 ∈ ℂ)
90		4cn 12438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℂ
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → 4 ∈ ℂ)
92	89, 91	mulcomd 11340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (3 · 4) = (4 · 3))
93		4t3e12 12927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 3) = ;12
94	92, 93	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (3 · 4) = ;12)
95	94	negeqd 11561	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -(3 · 4) = -;12)
96	82, 88, 95	3eqtrd 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ( -3 · (𝑋↑2)) = -;12)
97	96	oveq1d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (( -3 · (𝑋↑2)) + 1) = ( -;12 + 1))
98	76, 97	oveq12d 7445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) = (8 + ( -;12 + 1)))
99		1nn0 12632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ0
100		2nn0 12633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ0
101	99, 100	deccl 12839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ;12 ∈ ℕ0)
103	102	nn0cnd 12679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ;12 ∈ ℂ)
104	103	negcld 11666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -;12 ∈ ℂ)
105		1cnd 11312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → 1 ∈ ℂ)
106	104, 105	addcomd 11522	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ( -;12 + 1) = (1 + -;12))
107	105, 103	negsubd 11685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (1 + -;12) = (1 − ;12))
108	106, 107	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ( -;12 + 1) = (1 − ;12))
109	103, 105	negsubdi2d 11695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -(;12 − 1) = (1 − ;12))
110	99, 99	deccl 12839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ;11 ∈ ℕ0)
112	111	nn0cnd 12679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ;11 ∈ ℂ)
113	105, 112	addcomd 11522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (1 + ;11) = (;11 + 1))
114		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;11 = ;11
115	99, 99, 56, 114	decsuc 12860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;11 + 1) = ;12
116	113, 115	eqtr2di 2815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ;12 = (1 + ;11))
117	105, 112, 116	mvrladdd 11738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (;12 − 1) = ;11)
118	117	negeqd 11561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -(;12 − 1) = -;11)
119	108, 109, 118	3eqtr2d 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ( -;12 + 1) = -;11)
120	119	oveq2d 7443	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (8 + ( -;12 + 1)) = (8 + -;11))
121		8nn0 12639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ0
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → 8 ∈ ℕ0)
123	122	nn0cnd 12679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → 8 ∈ ℂ)
124	123, 112	negsubd 11685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (8 + -;11) = (8 − ;11))
125	112, 123	negsubdi2d 11695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -(;11 − 8) = (8 − ;11))
126		8p3e11 12910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 3) = ;11
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (8 + 3) = ;11)
128	123, 89, 127	mvlladdcd 11736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (;11 − 8) = 3)
129	128	negeqd 11561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -(;11 − 8) = -3)
130	124, 125, 129	3eqtr2d 2804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → (8 + -;11) = -3)
131	98, 120, 130	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) = -3)
132		0red 11321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
133	14	nn0red 12678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
134		neg0 11614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -0 = 0
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -0 = 0)
136		3pos 12461	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
137	135, 136	eqbrtrdi 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -0 < 3)
138	132, 133, 137	ltnegcon1d 11906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -3 < 0)
139	138	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -3 < 0)
140	139	lt0ne0d 11891	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → -3 ≠ 0)
141	131, 140	eqnetrd 3025	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 2) → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
142	141	ad4ant14 765	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) ∧ 𝑋 = 2) → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
143	77	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → 𝑋 ∈ ℤ)
144		0zd 12715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → 0 ∈ ℤ)
145	36	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → 3 ∈ ℤ)
146		df-neg 11554	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 = (0 − 1)
147		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → -1 < 𝑋)
148	146, 147	eqbrtrrid 5143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → (0 − 1) < 𝑋)
149		zlem1lt 12758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (0 − 1) < 𝑋))
150	149	biimpar 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ (0 − 1) < 𝑋) → 0 ≤ 𝑋)
151	144, 143, 148, 150	syl21anc 851	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → 0 ≤ 𝑋)
152		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → 𝑋 < 3)
153		elfzo 13805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ (0..^3) ↔ (0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 3)))
154	153	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 3)) → 𝑋 ∈ (0..^3))
155	143, 144, 145, 151, 152, 154	syl32anc 1405	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → 𝑋 ∈ (0..^3))
156		fzo0to3tp 13897	. . . . . 6 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
157	155, 156	eleqtrdi 2873	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → 𝑋 ∈ {0, 1, 2})
158		eltpg 4646	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ {0, 1, 2} ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1 ∨ 𝑋 = 2)))
159	158	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ {0, 1, 2}) → (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1 ∨ 𝑋 = 2))
160	143, 157, 159	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 1 ∨ 𝑋 = 2))
161	33, 72, 142, 160	mpjao3dan 1459	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 𝑋 < 3) → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
162	77, 14	zexpcld 14240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑3) ∈ ℤ)
163	162	zred 12813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑3) ∈ ℝ)
164	133	renegcld 11753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -3 ∈ ℝ)
165	164, 79	remulcld 11349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( -3 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ)
166	163, 165	readdcld 11348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ( -3 · (𝑋↑2))) ∈ ℝ)
167	166	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → ((𝑋↑3) + ( -3 · (𝑋↑2))) ∈ ℝ)
168		1red 11319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 1 ∈ ℝ)
169	79	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
170	78, 133	resubcld 11754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 3) ∈ ℝ)
171	170	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → (𝑋 − 3) ∈ ℝ)
172	78	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
173	172	sqge0d 14290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (𝑋↑2))
174	133	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 3 ∈ ℝ)
175		0red 11321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
176		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 3 ≤ 𝑋)
177	78	recnd 11347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
178	177	subid1d 11668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
179	178	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → (𝑋 − 0) = 𝑋)
180	176, 179	breqtrrd 5135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 3 ≤ (𝑋 − 0))
181	174, 172, 175, 180	lesubd 11930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (𝑋 − 3))
182	169, 171, 173, 181	mulge0d 11903	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((𝑋↑2) · (𝑋 − 3)))
183	80, 177, 15	subdid 11782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · (𝑋 − 3)) = (((𝑋↑2) · 𝑋) − ((𝑋↑2) · 3)))
184	80, 177	mulcld 11339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · 𝑋) ∈ ℂ)
185	80, 15	mulcld 11339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · 3) ∈ ℂ)
186	184, 185	negsubd 11685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) · 𝑋) + -((𝑋↑2) · 3)) = (((𝑋↑2) · 𝑋) − ((𝑋↑2) · 3)))
187	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
188	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
189	177, 187, 188	expaddd 14301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑(2 + 1)) = ((𝑋↑2) · (𝑋↑1)))
190	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 + 1) = 3)
191	190	oveq2d 7443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑(2 + 1)) = (𝑋↑3))
192	177	exp1d 14294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑1) = 𝑋)
193	192	oveq2d 7443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · (𝑋↑1)) = ((𝑋↑2) · 𝑋))
194	189, 191, 193	3eqtr3rd 2807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · 𝑋) = (𝑋↑3))
195	80, 15	mulcomd 11340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · 3) = (3 · (𝑋↑2)))
196	195	negeqd 11561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -((𝑋↑2) · 3) = -(3 · (𝑋↑2)))
197	196, 81	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -((𝑋↑2) · 3) = ( -3 · (𝑋↑2)))
198	194, 197	oveq12d 7445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) · 𝑋) + -((𝑋↑2) · 3)) = ((𝑋↑3) + ( -3 · (𝑋↑2))))
199	183, 186, 198	3eqtr2d 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · (𝑋 − 3)) = ((𝑋↑3) + ( -3 · (𝑋↑2))))
200	199	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → ((𝑋↑2) · (𝑋 − 3)) = ((𝑋↑3) + ( -3 · (𝑋↑2))))
201	182, 200	breqtrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((𝑋↑3) + ( -3 · (𝑋↑2))))
202		0lt1 11848	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
203	202	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 < 1)
204	167, 168, 201, 203	addgegt0d 11899	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 < (((𝑋↑3) + ( -3 · (𝑋↑2))) + 1))
205	163	recnd 11347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
206	205	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
207	165	recnd 11347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( -3 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
208	207	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → ( -3 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
209		1cnd 11312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 1 ∈ ℂ)
210	206, 208, 209	addassd 11341	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → (((𝑋↑3) + ( -3 · (𝑋↑2))) + 1) = ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)))
211	204, 210	breqtrd 5133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → 0 < ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)))
212	211	gt0ne0d 11890	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 ≤ 𝑋) → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
213	212	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) ∧ 3 ≤ 𝑋) → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
214	78	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
215	133	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) → 3 ∈ ℝ)
216	161, 213, 214, 215	ltlecasei 11428	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ -1 < 𝑋) → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
217	163	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (𝑋↑3) ∈ ℝ)
218	165	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ( -3 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ)
219		1red 11319	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 1 ∈ ℝ)
220	218, 219	readdcld 11348	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (( -3 · (𝑋↑2)) + 1) ∈ ℝ)
221	217, 220	readdcld 11348	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) ∈ ℝ)
222	164	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -3 ∈ ℝ)
223		0red 11321	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 0 ∈ ℝ)
224	217, 218	readdcld 11348	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((𝑋↑3) + ( -3 · (𝑋↑2))) ∈ ℝ)
225		4re 12437	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
226	225	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 4 ∈ ℝ)
227	226	renegcld 11753	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -4 ∈ ℝ)
228		1red 11319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
229	228	renegcld 11753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
230	229	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -1 ∈ ℝ)
231	78	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 𝑋 ∈ ℝ)
232	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 3 ∈ ℕ)
233		n2dvds3 16553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
234	233	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ¬ 2 ∥ 3)
235		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 𝑋 ≤ -1)
236	231, 230, 232, 234, 235	oexpled 33480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (𝑋↑3) ≤ ( -1↑3))
237		m1expo 16557	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 3) → ( -1↑3) = -1)
238	36, 234, 237	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ( -1↑3) = -1)
239	236, 238	breqtrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (𝑋↑3) ≤ -1)
240	232	nncnd 12361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 3 ∈ ℂ)
241	80	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
242	240, 241	mulneg1d 11779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ( -3 · (𝑋↑2)) = -(3 · (𝑋↑2)))
243	133	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 3 ∈ ℝ)
244	133, 79	remulcld 11349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ)
245	244	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (3 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ)
246	79	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
247	13	nn0ge0i 12643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 3
248	247	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 0 ≤ 3)
249	231, 219, 235	lenegcon2d 11909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 1 ≤ -𝑋)
250	231	renegcld 11753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -𝑋 ∈ ℝ)
251		0le1 11849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ≤ 1
252	251	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 0 ≤ 1)
253		neg1rr 12316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -1 ∈ ℝ
254		0re 11320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ∈ ℝ
255		neg1lt0 12318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -1 < 0
256	253, 254, 255	ltleii 11443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -1 ≤ 0
257	256	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -1 ≤ 0)
258	231, 230, 223, 235, 257	letrd 11477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 𝑋 ≤ 0)
259		leneg 11829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑋 ≤ 0 ↔ -0 ≤ -𝑋))
260	259	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ≤ 0) → -0 ≤ -𝑋)
261	231, 223, 258, 260	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -0 ≤ -𝑋)
262	134, 261	eqbrtrrid 5143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 0 ≤ -𝑋)
263	219, 250, 252, 262	le2sqd 14411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (1 ≤ -𝑋 ↔ (1↑2) ≤ ( -𝑋↑2)))
264	249, 263	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (1↑2) ≤ ( -𝑋↑2))
265	231	recnd 11347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 𝑋 ∈ ℂ)
266	265	sqnegd 14269	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ( -𝑋↑2) = (𝑋↑2))
267	264, 266	breqtrd 5133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (1↑2) ≤ (𝑋↑2))
268	42, 267	eqbrtrrid 5143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 1 ≤ (𝑋↑2))
269	243, 246, 248, 268	lemulge11d 12264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 3 ≤ (3 · (𝑋↑2)))
270		leneg 11829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ (3 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ) → (3 ≤ (3 · (𝑋↑2)) ↔ -(3 · (𝑋↑2)) ≤ -3))
271	270	biimpa 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ (3 · (𝑋↑2)) ∈ ℝ) ∧ 3 ≤ (3 · (𝑋↑2))) → -(3 · (𝑋↑2)) ≤ -3)
272	243, 245, 269, 271	syl21anc 851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -(3 · (𝑋↑2)) ≤ -3)
273	242, 272	eqbrtrd 5129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ( -3 · (𝑋↑2)) ≤ -3)
274	217, 218, 230, 222, 239, 273	le2addd 11945	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((𝑋↑3) + ( -3 · (𝑋↑2))) ≤ ( -1 + -3))
275		1cnd 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → 1 ∈ ℂ)
276	275, 240	negdid 11692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -(1 + 3) = ( -1 + -3))
277	275, 240	addcomd 11522	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (1 + 3) = (3 + 1))
278		3p1e4 12497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
279	277, 278	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (1 + 3) = 4)
280	279	negeqd 11561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -(1 + 3) = -4)
281	276, 280	eqtr3d 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ( -1 + -3) = -4)
282	274, 281	breqtrd 5133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((𝑋↑3) + ( -3 · (𝑋↑2))) ≤ -4)
283	224, 227, 219, 282	leadd1dd 11940	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (((𝑋↑3) + ( -3 · (𝑋↑2))) + 1) ≤ ( -4 + 1))
284	205	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
285	207	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ( -3 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
286	284, 285, 275	addassd 11341	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → (((𝑋↑3) + ( -3 · (𝑋↑2))) + 1) = ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)))
287		ax-1cn 11268	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
288	90, 287	negsubdii 11653	. . . . . . 7 ⊢ -(4 − 1) = ( -4 + 1)
289		4m1e3 12481	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 1) = 3
290	289	negeqi 11560	. . . . . . 7 ⊢ -(4 − 1) = -3
291	288, 290	eqtr3i 2788	. . . . . 6 ⊢ ( -4 + 1) = -3
292	291	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ( -4 + 1) = -3)
293	283, 286, 292	3brtr3d 5138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≤ -3)
294	138	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → -3 < 0)
295	221, 222, 223, 293, 294	lelttrd 11478	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) < 0)
296	295	lt0ne0d 11891	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ -1) → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)
297	216, 296, 229, 78	ltlecasei 11428	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + (( -3 · (𝑋↑2)) + 1)) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  {ctp 4591   class class class wbr 5105  (class class class)co 7427  ℂcc 11208  ℝcr 11209  0cc0 11210  1c1 11211   + caddc 11213   · cmul 11215   < clt 11353   ≤ cle 11354   − cmin 11551   -cneg 11552  ℕcn 12345  2c2 12407  3c3 12408  4c4 12409  8c8 12413  ℕ₀cn0 12616  ℤcz 12703  ;cdc 12824  ..^cfzo 13798  ↑cexp 14214   ∥ cdvds 16434

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-rp 13131  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-exp 14215  df-dvds 16435

This theorem is used by:  cos9thpiminplylem2  34468