Theorem dvdsexpb 42767

Description: dvdssq 16536 generalized to positive integer exponents. (Contributed by SN, 15-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexpb	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem dvdsexpb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0abscl 15274	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		nn0abscl 15274	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (abs‘𝐵) ∈ ℕ0)
3		dvdsexpnn0 42766	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴) ∥ (abs‘𝐵) ↔ ((abs‘𝐴)↑𝑁) ∥ ((abs‘𝐵)↑𝑁)))
4	1, 2, 3	syl3an12 42648	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴) ∥ (abs‘𝐵) ↔ ((abs‘𝐴)↑𝑁) ∥ ((abs‘𝐵)↑𝑁)))
5		simp1 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12634	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 12498	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	6, 8	absexpd 15417	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
10		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12634	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11, 8	absexpd 15417	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐵↑𝑁)) = ((abs‘𝐵)↑𝑁))
13	9, 12	breq12d 5099	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐴↑𝑁)) ∥ (abs‘(𝐵↑𝑁)) ↔ ((abs‘𝐴)↑𝑁) ∥ ((abs‘𝐵)↑𝑁)))
14	4, 13	bitr4d 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴) ∥ (abs‘𝐵) ↔ (abs‘(𝐴↑𝑁)) ∥ (abs‘(𝐵↑𝑁))))
15		absdvdsabsb 42760	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (abs‘𝐴) ∥ (abs‘𝐵)))
16	15	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (abs‘𝐴) ∥ (abs‘𝐵)))
17	5, 8	zexpcld 14049	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
18	10, 8	zexpcld 14049	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
19		absdvdsabsb 42760	. . 3 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (abs‘(𝐴↑𝑁)) ∥ (abs‘(𝐵↑𝑁))))
20	17, 18, 19	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (abs‘(𝐴↑𝑁)) ∥ (abs‘(𝐵↑𝑁))))
21	14, 16, 20	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ↑cexp 14023  abscabs 15196   ∥ cdvds 16221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-gcd 16464

This theorem is referenced by: (None)