Theorem dvdsexpb 42882

Description: dvdssq 16573 generalized to positive integer exponents. (Contributed by SN, 15-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexpb	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem dvdsexpb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0abscl 15311	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		nn0abscl 15311	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (abs‘𝐵) ∈ ℕ0)
3		dvdsexpnn0 42881	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴) ∥ (abs‘𝐵) ↔ ((abs‘𝐴)↑𝑁) ∥ ((abs‘𝐵)↑𝑁)))
4	1, 2, 3	syl3an12 42764	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴) ∥ (abs‘𝐵) ↔ ((abs‘𝐴)↑𝑁) ∥ ((abs‘𝐵)↑𝑁)))
5		simp1 1145	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12664	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		simp3 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 12528	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	6, 8	absexpd 15454	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
10		simp2 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12664	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11, 8	absexpd 15454	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐵↑𝑁)) = ((abs‘𝐵)↑𝑁))
13	9, 12	breq12d 5103	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐴↑𝑁)) ∥ (abs‘(𝐵↑𝑁)) ↔ ((abs‘𝐴)↑𝑁) ∥ ((abs‘𝐵)↑𝑁)))
14	4, 13	bitr4d 284	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴) ∥ (abs‘𝐵) ↔ (abs‘(𝐴↑𝑁)) ∥ (abs‘(𝐵↑𝑁))))
15		absdvdsabsb 42875	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (abs‘𝐴) ∥ (abs‘𝐵)))
16	15	3adant3 1141	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (abs‘𝐴) ∥ (abs‘𝐵)))
17	5, 8	zexpcld 14086	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
18	10, 8	zexpcld 14086	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
19		absdvdsabsb 42875	. . 3 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (abs‘(𝐴↑𝑁)) ∥ (abs‘(𝐵↑𝑁))))
20	17, 18, 19	syl2anc 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (abs‘(𝐴↑𝑁)) ∥ (abs‘(𝐵↑𝑁))))
21	14, 16, 20	3bitr4d 313	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1095   ∈ wcel 2132   class class class wbr 5090  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  ℕcn 12196  ℕ₀cn0 12467  ℤcz 12554  ↑cexp 14060  abscabs 15233   ∥ cdvds 16258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-rp 12980  df-fl 13788  df-mod 13866  df-seq 14001  df-exp 14061  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-dvds 16259  df-gcd 16501

This theorem is referenced by: (None)