Theorem bposlem7 16246

Description: Lemma for bpos 16249. The function F is strictly decreasing for arguments greater than 7. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bposlem7.1	|- F = ( n e. NN |-> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` n ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( n / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. n ) ) ) ) )
bposlem7.2	|- G = ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / x ) )
bposlem7.3	|- ( ph -> A e. NN )
bposlem7.4	|- ( ph -> B e. NN )
bposlem7.5	|- ( ph -> ( _e ^ 2 ) <_ A )
bposlem7.6	|- ( ph -> ( _e ^ 2 ) <_ B )

Assertion

Ref	Expression
bposlem7	|- ( ph -> ( A < B -> ( F ` B ) < ( F ` A ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   B, n   n, G   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   F( x, n)   G( x)

Proof of Theorem bposlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bposlem7.2	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / x ) )
2		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( sqr ` B ) -> ( log ` x ) = ( log ` ( sqr ` B ) ) )
3		id 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( sqr ` B ) -> x = ( sqr ` B ) )
4	2, 3	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( sqr ` B ) -> ( ( log ` x ) / x ) = ( ( log ` ( sqr ` B ) ) / ( sqr ` B ) ) )
5		bposlem7.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. NN )
6	5	nnrpd 10106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR+ )
7	6	rpsqrtcld 11941	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( sqr ` B ) e. RR+ )
8	7	relogcld 16044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( log ` ( sqr ` B ) ) e. RR )
9	8, 7	rerpdivcld 10140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( log ` ( sqr ` B ) ) / ( sqr ` B ) ) e. RR )
10	1, 4, 7, 9	fvmptd3 5799	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ` ( sqr ` B ) ) = ( ( log ` ( sqr ` B ) ) / ( sqr ` B ) ) )
11		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( sqr ` A ) -> ( log ` x ) = ( log ` ( sqr ` A ) ) )
12		id 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( sqr ` A ) -> x = ( sqr ` A ) )
13	11, 12	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( sqr ` A ) -> ( ( log ` x ) / x ) = ( ( log ` ( sqr ` A ) ) / ( sqr ` A ) ) )
14		bposlem7.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. NN )
15	14	nnrpd 10106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR+ )
16	15	rpsqrtcld 11941	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( sqr ` A ) e. RR+ )
17	16	relogcld 16044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( log ` ( sqr ` A ) ) e. RR )
18	17, 16	rerpdivcld 10140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( log ` ( sqr ` A ) ) / ( sqr ` A ) ) e. RR )
19	1, 13, 16, 18	fvmptd3 5799	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ` ( sqr ` A ) ) = ( ( log ` ( sqr ` A ) ) / ( sqr ` A ) ) )
20	10, 19	breq12d 4143	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G ` ( sqr ` B ) ) < ( G ` ( sqr ` A ) ) <-> ( ( log ` ( sqr ` B ) ) / ( sqr ` B ) ) < ( ( log ` ( sqr ` A ) ) / ( sqr ` A ) ) ) )
21	16	rpred 10108	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( sqr ` A ) e. RR )
22		bposlem7.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( _e ^ 2 ) <_ A )
23	15	rprege0d 10116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
24		resqrtth 11813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
26	22, 25	breqtrrd 4158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( _e ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) )
27	16	rpge0d 10112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( sqr ` A ) )
28		ere 12456	. . . . . . . . . . . . 13 |- _e e. RR
29		0re 8327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
30		epos 12567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < _e
31	29, 28, 30	ltleii 8430	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ _e
32		le2sq 11066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( _e e. RR /\ 0 <_ _e ) /\ ( ( sqr ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` A ) ) ) -> ( _e <_ ( sqr ` A ) <-> ( _e ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) )
33	28, 31, 32	mpanl12 440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( sqr ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` A ) ) -> ( _e <_ ( sqr ` A ) <-> ( _e ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) )
34	21, 27, 33	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( _e <_ ( sqr ` A ) <-> ( _e ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) )
35	26, 34	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> _e <_ ( sqr ` A ) )
36	7	rpred 10108	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( sqr ` B ) e. RR )
37		bposlem7.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( _e ^ 2 ) <_ B )
38	6	rprege0d 10116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
39		resqrtth 11813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) = B )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) = B )
41	37, 40	breqtrrd 4158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( _e ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) )
42	7	rpge0d 10112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( sqr ` B ) )
43		le2sq 11066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( _e e. RR /\ 0 <_ _e ) /\ ( ( sqr ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` B ) ) ) -> ( _e <_ ( sqr ` B ) <-> ( _e ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) ) )
44	28, 31, 43	mpanl12 440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( sqr ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` B ) ) -> ( _e <_ ( sqr ` B ) <-> ( _e ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) ) )
45	36, 42, 44	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( _e <_ ( sqr ` B ) <-> ( _e ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) ) )
46	41, 45	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> _e <_ ( sqr ` B ) )
47		logdivlt 16056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( sqr ` A ) e. RR /\ _e <_ ( sqr ` A ) ) /\ ( ( sqr ` B ) e. RR /\ _e <_ ( sqr ` B ) ) ) -> ( ( sqr ` A ) < ( sqr ` B ) <-> ( ( log ` ( sqr ` B ) ) / ( sqr ` B ) ) < ( ( log ` ( sqr ` A ) ) / ( sqr ` A ) ) ) )
48	21, 35, 36, 46, 47	syl22anc 1279	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( sqr ` A ) < ( sqr ` B ) <-> ( ( log ` ( sqr ` B ) ) / ( sqr ` B ) ) < ( ( log ` ( sqr ` A ) ) / ( sqr ` A ) ) ) )
49	21, 36, 27, 42	lt2sqd 11157	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( sqr ` A ) < ( sqr ` B ) <-> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) ) )
50	20, 48, 49	3bitr2rd 217	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) <-> ( G ` ( sqr ` B ) ) < ( G ` ( sqr ` A ) ) ) )
51	25, 40	breq12d 4143	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) <-> A < B ) )
52		relogcl 16023	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR+ -> ( log ` x ) e. RR )
53		rerpdivcl 10096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( log ` x ) e. RR /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` x ) / x ) e. RR )
54	52, 53	mpancom 426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( ( log ` x ) / x ) e. RR )
55	1, 54	fmpti 5860	. . . . . . . . . . 11 |- G : RR+ --> RR
56	55	ffvelcdmi 5842	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sqr ` B ) e. RR+ -> ( G ` ( sqr ` B ) ) e. RR )
57	7, 56	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` ( sqr ` B ) ) e. RR )
58	55	ffvelcdmi 5842	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sqr ` A ) e. RR+ -> ( G ` ( sqr ` A ) ) e. RR )
59	16, 58	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` ( sqr ` A ) ) e. RR )
60		2rp 10070	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR+
61		rpsqrtcl 11823	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. RR+ -> ( sqr ` 2 ) e. RR+ )
62	60, 61	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sqr ` 2 ) e. RR+ )
63	57, 59, 62	ltmul2d 10151	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( G ` ( sqr ` B ) ) < ( G ` ( sqr ` A ) ) <-> ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) < ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) ) )
64	50, 51, 63	3bitr3d 218	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A < B <-> ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) < ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) ) )
65	64	biimpd 144	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A < B -> ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) < ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) ) )
66	14	nnred 9320	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
67	5	nnred 9320	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR )
68		2re 9377	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
69		2pos 9398	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
70	68, 69	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
71	70	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
72		ltdiv1 9201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( A < B <-> ( A / 2 ) < ( B / 2 ) ) )
73	66, 67, 71, 72	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A < B <-> ( A / 2 ) < ( B / 2 ) ) )
74	15	rphalfcld 10121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A / 2 ) e. RR+ )
75	74	rpred 10108	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A / 2 ) e. RR )
76	28, 68	remulcli 8341	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( _e x. 2 ) e. RR
77	76	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( _e x. 2 ) e. RR )
78	28	resqcli 11076	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( _e ^ 2 ) e. RR
79	78	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( _e ^ 2 ) e. RR )
80		egt2lt3 12566	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )
81	80	simpli 111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 < _e
82	68, 28, 81	ltleii 8430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 <_ _e
83	68, 28, 28	lemul2i 9258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 < _e -> ( 2 <_ _e <-> ( _e x. 2 ) <_ ( _e x. _e ) ) )
84	30, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 <_ _e <-> ( _e x. 2 ) <_ ( _e x. _e ) )
85	82, 84	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _e x. 2 ) <_ ( _e x. _e )
86	28	recni 8339	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- _e e. CC
87	86	sqvali 11071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _e ^ 2 ) = ( _e x. _e )
88	85, 87	breqtrri 4157	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( _e x. 2 ) <_ ( _e ^ 2 )
89	88	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( _e x. 2 ) <_ ( _e ^ 2 ) )
90	77, 79, 66, 89, 22	letrd 8452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( _e x. 2 ) <_ A )
91		lemuldiv 9214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _e e. RR /\ A e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( _e x. 2 ) <_ A <-> _e <_ ( A / 2 ) ) )
92	28, 70, 91	mp3an13 1369	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> ( ( _e x. 2 ) <_ A <-> _e <_ ( A / 2 ) ) )
93	66, 92	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( _e x. 2 ) <_ A <-> _e <_ ( A / 2 ) ) )
94	90, 93	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> _e <_ ( A / 2 ) )
95	6	rphalfcld 10121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B / 2 ) e. RR+ )
96	95	rpred 10108	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B / 2 ) e. RR )
97	77, 79, 67, 89, 37	letrd 8452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( _e x. 2 ) <_ B )
98		lemuldiv 9214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _e e. RR /\ B e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( _e x. 2 ) <_ B <-> _e <_ ( B / 2 ) ) )
99	28, 70, 98	mp3an13 1369	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. RR -> ( ( _e x. 2 ) <_ B <-> _e <_ ( B / 2 ) ) )
100	67, 99	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( _e x. 2 ) <_ B <-> _e <_ ( B / 2 ) ) )
101	97, 100	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> _e <_ ( B / 2 ) )
102		logdivlt 16056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A / 2 ) e. RR /\ _e <_ ( A / 2 ) ) /\ ( ( B / 2 ) e. RR /\ _e <_ ( B / 2 ) ) ) -> ( ( A / 2 ) < ( B / 2 ) <-> ( ( log ` ( B / 2 ) ) / ( B / 2 ) ) < ( ( log ` ( A / 2 ) ) / ( A / 2 ) ) ) )
103	75, 94, 96, 101, 102	syl22anc 1279	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A / 2 ) < ( B / 2 ) <-> ( ( log ` ( B / 2 ) ) / ( B / 2 ) ) < ( ( log ` ( A / 2 ) ) / ( A / 2 ) ) ) )
104	73, 103	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A < B <-> ( ( log ` ( B / 2 ) ) / ( B / 2 ) ) < ( ( log ` ( A / 2 ) ) / ( A / 2 ) ) ) )
105		fveq2 5695	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( B / 2 ) -> ( log ` x ) = ( log ` ( B / 2 ) ) )
106		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( B / 2 ) -> x = ( B / 2 ) )
107	105, 106	oveq12d 6103	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( B / 2 ) -> ( ( log ` x ) / x ) = ( ( log ` ( B / 2 ) ) / ( B / 2 ) ) )
108	95	relogcld 16044	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( log ` ( B / 2 ) ) e. RR )
109	108, 95	rerpdivcld 10140	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( log ` ( B / 2 ) ) / ( B / 2 ) ) e. RR )
110	1, 107, 95, 109	fvmptd3 5799	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` ( B / 2 ) ) = ( ( log ` ( B / 2 ) ) / ( B / 2 ) ) )
111		fveq2 5695	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( A / 2 ) -> ( log ` x ) = ( log ` ( A / 2 ) ) )
112		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( A / 2 ) -> x = ( A / 2 ) )
113	111, 112	oveq12d 6103	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( A / 2 ) -> ( ( log ` x ) / x ) = ( ( log ` ( A / 2 ) ) / ( A / 2 ) ) )
114	74	relogcld 16044	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( log ` ( A / 2 ) ) e. RR )
115	114, 74	rerpdivcld 10140	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( log ` ( A / 2 ) ) / ( A / 2 ) ) e. RR )
116	1, 113, 74, 115	fvmptd3 5799	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` ( A / 2 ) ) = ( ( log ` ( A / 2 ) ) / ( A / 2 ) ) )
117	110, 116	breq12d 4143	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( G ` ( B / 2 ) ) < ( G ` ( A / 2 ) ) <-> ( ( log ` ( B / 2 ) ) / ( B / 2 ) ) < ( ( log ` ( A / 2 ) ) / ( A / 2 ) ) ) )
118	55	ffvelcdmi 5842	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B / 2 ) e. RR+ -> ( G ` ( B / 2 ) ) e. RR )
119	95, 118	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` ( B / 2 ) ) e. RR )
120	55	ffvelcdmi 5842	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A / 2 ) e. RR+ -> ( G ` ( A / 2 ) ) e. RR )
121	74, 120	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` ( A / 2 ) ) e. RR )
122		9nn 9478	. . . . . . . . . . 11 |- 9 e. NN
123		4nn 9473	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. NN
124		nnrp 10075	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 9 e. NN -> 9 e. RR+ )
125		nnrp 10075	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
126		rpdivcl 10091	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 9 e. RR+ /\ 4 e. RR+ ) -> ( 9 / 4 ) e. RR+ )
127	124, 125, 126	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 9 e. NN /\ 4 e. NN ) -> ( 9 / 4 ) e. RR+ )
128	122, 123, 127	mp2an 430	. . . . . . . . . 10 |- ( 9 / 4 ) e. RR+
129	128	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 9 / 4 ) e. RR+ )
130	119, 121, 129	ltmul2d 10151	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( G ` ( B / 2 ) ) < ( G ` ( A / 2 ) ) <-> ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) < ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) )
131	104, 117, 130	3bitr2d 216	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A < B <-> ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) < ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) )
132	131	biimpd 144	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A < B -> ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) < ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) )
133	65, 132	jcad 307	. . . . 5 |- ( ph -> ( A < B -> ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) < ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) /\ ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) < ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) ) )
134		sqrt2re 12961	. . . . . . 7 |- ( sqr ` 2 ) e. RR
135		remulcl 8308	. . . . . . 7 |- ( ( ( sqr ` 2 ) e. RR /\ ( G ` ( sqr ` B ) ) e. RR ) -> ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) e. RR )
136	134, 57, 135	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) e. RR )
137		9re 9394	. . . . . . . 8 |- 9 e. RR
138		4re 9384	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR
139		4ap0 9406	. . . . . . . 8 |- 4 # 0
140	137, 138, 139	redivclapi 9112	. . . . . . 7 |- ( 9 / 4 ) e. RR
141		remulcl 8308	. . . . . . 7 |- ( ( ( 9 / 4 ) e. RR /\ ( G ` ( B / 2 ) ) e. RR ) -> ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) e. RR )
142	140, 119, 141	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) e. RR )
143		remulcl 8308	. . . . . . 7 |- ( ( ( sqr ` 2 ) e. RR /\ ( G ` ( sqr ` A ) ) e. RR ) -> ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) e. RR )
144	134, 59, 143	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) e. RR )
145		remulcl 8308	. . . . . . 7 |- ( ( ( 9 / 4 ) e. RR /\ ( G ` ( A / 2 ) ) e. RR ) -> ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) e. RR )
146	140, 121, 145	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) e. RR )
147		lt2add 8775	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) e. RR /\ ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) e. RR /\ ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) < ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) /\ ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) < ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) < ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) ) )
148	136, 142, 144, 146, 147	syl22anc 1279	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) < ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) /\ ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) < ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) < ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) ) )
149	133, 148	syld 45	. . . 4 |- ( ph -> ( A < B -> ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) < ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) ) )
150		ltmul2 9189	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( A < B <-> ( 2 x. A ) < ( 2 x. B ) ) )
151	66, 67, 71, 150	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A < B <-> ( 2 x. A ) < ( 2 x. B ) ) )
152		rpmulcl 10090	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR+ /\ A e. RR+ ) -> ( 2 x. A ) e. RR+ )
153	60, 15, 152	sylancr 418	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. A ) e. RR+ )
154	153	rpsqrtcld 11941	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sqr ` ( 2 x. A ) ) e. RR+ )
155		rpmulcl 10090	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( 2 x. B ) e. RR+ )
156	60, 6, 155	sylancr 418	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. B ) e. RR+ )
157	156	rpsqrtcld 11941	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sqr ` ( 2 x. B ) ) e. RR+ )
158		rprege0 10080	. . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) e. RR+ -> ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) )
159		rprege0 10080	. . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` ( 2 x. B ) ) e. RR+ -> ( ( sqr ` ( 2 x. B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) )
160		lt2sq 11065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) /\ ( ( sqr ` ( 2 x. B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) < ( sqr ` ( 2 x. B ) ) <-> ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ^ 2 ) ) )
161	158, 159, 160	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) e. RR+ /\ ( sqr ` ( 2 x. B ) ) e. RR+ ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) < ( sqr ` ( 2 x. B ) ) <-> ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ^ 2 ) ) )
162	154, 157, 161	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) < ( sqr ` ( 2 x. B ) ) <-> ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ^ 2 ) ) )
163	153	rprege0d 10116	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. A ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. A ) ) )
164		resqrtth 11813	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. A ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. A ) ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ^ 2 ) = ( 2 x. A ) )
165	163, 164	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ^ 2 ) = ( 2 x. A ) )
166	156	rprege0d 10116	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. B ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. B ) ) )
167		resqrtth 11813	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. B ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. B ) ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ^ 2 ) = ( 2 x. B ) )
168	166, 167	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ^ 2 ) = ( 2 x. B ) )
169	165, 168	breq12d 4143	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ^ 2 ) <-> ( 2 x. A ) < ( 2 x. B ) ) )
170	162, 169	bitr2d 189	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. A ) < ( 2 x. B ) <-> ( sqr ` ( 2 x. A ) ) < ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) )
171		1lt2 9479	. . . . . . . . 9 |- 1 < 2
172		rplogcl 16041	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ 1 < 2 ) -> ( log ` 2 ) e. RR+ )
173	68, 171, 172	mp2an 430	. . . . . . . 8 |- ( log ` 2 ) e. RR+
174	173	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` 2 ) e. RR+ )
175	154, 157, 174	ltdiv2d 10132	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) < ( sqr ` ( 2 x. B ) ) <-> ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) < ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) )
176	151, 170, 175	3bitrd 214	. . . . 5 |- ( ph -> ( A < B <-> ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) < ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) )
177	176	biimpd 144	. . . 4 |- ( ph -> ( A < B -> ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) < ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) )
178	149, 177	jcad 307	. . 3 |- ( ph -> ( A < B -> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) < ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) /\ ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) < ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) ) )
179	136, 142	readdcld 8356	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) e. RR )
180		rpre 10072	. . . . . 6 |- ( ( log ` 2 ) e. RR+ -> ( log ` 2 ) e. RR )
181	173, 180	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( log ` 2 ) e. RR
182		rerpdivcl 10096	. . . . 5 |- ( ( ( log ` 2 ) e. RR /\ ( sqr ` ( 2 x. B ) ) e. RR+ ) -> ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) e. RR )
183	181, 157, 182	sylancr 418	. . . 4 |- ( ph -> ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) e. RR )
184	144, 146	readdcld 8356	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) e. RR )
185		rerpdivcl 10096	. . . . 5 |- ( ( ( log ` 2 ) e. RR /\ ( sqr ` ( 2 x. A ) ) e. RR+ ) -> ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) e. RR )
186	181, 154, 185	sylancr 418	. . . 4 |- ( ph -> ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) e. RR )
187		lt2add 8775	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) e. RR /\ ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) e. RR ) /\ ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) e. RR /\ ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) < ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) /\ ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) < ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) -> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) ) < ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) ) )
188	179, 183, 184, 186, 187	syl22anc 1279	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) < ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) /\ ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) < ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) -> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) ) < ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) ) )
189	178, 188	syld 45	. 2 |- ( ph -> ( A < B -> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) ) < ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) ) )
190		bposlem7.1	. . . 4 |- F = ( n e. NN |-> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` n ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( n / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. n ) ) ) ) )
191		2fveq3 5700	. . . . . . 7 |- ( n = B -> ( G ` ( sqr ` n ) ) = ( G ` ( sqr ` B ) ) )
192	191	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( n = B -> ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` n ) ) ) = ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) )
193		fvoveq1 6108	. . . . . . 7 |- ( n = B -> ( G ` ( n / 2 ) ) = ( G ` ( B / 2 ) ) )
194	193	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( n = B -> ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( n / 2 ) ) ) = ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) )
195	192, 194	oveq12d 6103	. . . . 5 |- ( n = B -> ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` n ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( n / 2 ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) )
196		oveq2 6093	. . . . . . 7 |- ( n = B -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. B ) )
197	196	fveq2d 5699	. . . . . 6 |- ( n = B -> ( sqr ` ( 2 x. n ) ) = ( sqr ` ( 2 x. B ) ) )
198	197	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( n = B -> ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. n ) ) ) = ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) )
199	195, 198	oveq12d 6103	. . . 4 |- ( n = B -> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` n ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( n / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. n ) ) ) ) = ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) ) )
200	179, 183	readdcld 8356	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) ) e. RR )
201	190, 199, 5, 200	fvmptd3 5799	. . 3 |- ( ph -> ( F ` B ) = ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) ) )
202		2fveq3 5700	. . . . . . 7 |- ( n = A -> ( G ` ( sqr ` n ) ) = ( G ` ( sqr ` A ) ) )
203	202	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( n = A -> ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` n ) ) ) = ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) )
204		fvoveq1 6108	. . . . . . 7 |- ( n = A -> ( G ` ( n / 2 ) ) = ( G ` ( A / 2 ) ) )
205	204	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( n = A -> ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( n / 2 ) ) ) = ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) )
206	203, 205	oveq12d 6103	. . . . 5 |- ( n = A -> ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` n ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( n / 2 ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) )
207		oveq2 6093	. . . . . . 7 |- ( n = A -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. A ) )
208	207	fveq2d 5699	. . . . . 6 |- ( n = A -> ( sqr ` ( 2 x. n ) ) = ( sqr ` ( 2 x. A ) ) )
209	208	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( n = A -> ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. n ) ) ) = ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) )
210	206, 209	oveq12d 6103	. . . 4 |- ( n = A -> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` n ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( n / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. n ) ) ) ) = ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) )
211	184, 186	readdcld 8356	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) e. RR )
212	190, 210, 14, 211	fvmptd3 5799	. . 3 |- ( ph -> ( F ` A ) = ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) )
213	201, 212	breq12d 4143	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` B ) < ( F ` A ) <-> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) ) < ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) ) )
214	189, 213	sylibrd 169	1 |- ( ph -> ( A < B -> ( F ` B ) < ( F ` A ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8179   0cc0 8180   1c1 8181   + caddc 8183   x. cmul 8185   < clt 8361   <_ cle 8362   / cdiv 9005   NNcn 9307   2c2 9358   3c3 9359   4c4 9360   9c9 9365   RR+crp 10065   ^cexp 10990   sqrcsqrt 11778   _eceu 12429   logclog 16017

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300  ax-pre-suploc 8301  ax-addf 8302  ax-mulf 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7325  df-inf 7326  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-xneg 10185  df-xadd 10186  df-ioo 10305  df-ico 10307  df-icc 10308  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-fac 11180  df-bc 11202  df-ihash 11231  df-shft 11596  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-clim 12064  df-sumdc 12139  df-ef 12434  df-e 12435  df-rest 13647  df-topgen 13666  df-psmet 14932  df-xmet 14933  df-met 14934  df-bl 14935  df-mopn 14936  df-top 15158  df-topon 15171  df-bases 15203  df-ntr 15256  df-cn 15348  df-cnp 15349  df-tx 15413  df-cncf 15731  df-limced 15816  df-dvap 15817  df-relog 16019

This theorem is used by:  bposlem9  16248