ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsgcd GIF version

Theorem dvdsgcd 12016
Description: An integer which divides each of two others also divides their gcd. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsgcd ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))

Proof of Theorem dvdsgcd
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezout 12015 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)))
213adant1 1015 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)))
3 dvds2ln 11834 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) + (๐‘ฆ ยท ๐‘))))
433impia 1200 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐พ โˆฅ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) + (๐‘ฆ ยท ๐‘)))
543coml 1210 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐พ โˆฅ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) + (๐‘ฆ ยท ๐‘)))
6 simp3l 1025 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
7 simp12 1028 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
8 zcn 9261 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
9 zcn 9261 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
10 mulcom 7943 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))
118, 9, 10syl2an 289 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))
126, 7, 11syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))
13 simp3r 1026 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
14 simp13 1029 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
15 zcn 9261 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
16 zcn 9261 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
17 mulcom 7943 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘ฆ))
1815, 16, 17syl2an 289 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘ฆ))
1913, 14, 18syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘ฆ))
2012, 19oveq12d 5896 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) + (๐‘ฆ ยท ๐‘)) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)))
215, 20breqtrd 4031 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐พ โˆฅ ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)))
22 breq2 4009 . . . . . 6 ((๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘) โ†” ๐พ โˆฅ ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ))))
2321, 22syl5ibrcom 157 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
24233expia 1205 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘))))
2524rexlimdvv 2601 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
2625ex 115 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘))))
272, 26mpid 42 1 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  โ„‚cc 7812   + caddc 7817   ยท cmul 7819  โ„คcz 9256   โˆฅ cdvds 11797   gcd cgcd 11946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-sup 6986  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-fl 10273  df-mod 10326  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-dvds 11798  df-gcd 11947
This theorem is referenced by:  dvdsgcdb  12017  dfgcd2  12018  mulgcd  12020  ncoprmgcdne1b  12092  mulgcddvds  12097  rpmulgcd2  12098  rpexp  12156  pythagtriplem4  12271  pcgcd1  12330  pockthlem  12357  lgsne0  14627
  Copyright terms: Public domain W3C validator