ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsgcd GIF version

Theorem dvdsgcd 10907
Description: An integer which divides each of two others also divides their gcd. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsgcd ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))

Proof of Theorem dvdsgcd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezout 10906 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)))
213adant1 959 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)))
3 dvds2ln 10735 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑥 · 𝑀) + (𝑦 · 𝑁))))
433impia 1138 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → 𝐾 ∥ ((𝑥 · 𝑀) + (𝑦 · 𝑁)))
543coml 1148 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∥ ((𝑥 · 𝑀) + (𝑦 · 𝑁)))
6 simp3l 969 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
7 simp12 972 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
8 zcn 8691 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
9 zcn 8691 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
10 mulcom 7418 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑥))
118, 9, 10syl2an 283 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑥))
126, 7, 11syl2anc 403 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑥))
13 simp3r 970 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
14 simp13 973 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
15 zcn 8691 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
16 zcn 8691 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
17 mulcom 7418 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑦))
1815, 16, 17syl2an 283 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑦))
1913, 14, 18syl2anc 403 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑦))
2012, 19oveq12d 5633 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑀) + (𝑦 · 𝑁)) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)))
215, 20breqtrd 3846 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∥ ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)))
22 breq2 3826 . . . . . 6 ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → (𝐾 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ 𝐾 ∥ ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))))
2321, 22syl5ibrcom 155 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → 𝐾 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
24233expia 1143 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → 𝐾 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))))
2524rexlimdvv 2491 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → 𝐾 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
2625ex 113 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → 𝐾 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))))
272, 26mpid 41 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436  wrex 2356   class class class wbr 3822  (class class class)co 5615  cc 7295   + caddc 7300   · cmul 7302  cz 8686  cdvds 10702   gcd cgcd 10844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410  ax-arch 7411  ax-caucvg 7412
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-frec 6112  df-sup 6626  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-2 8419  df-3 8420  df-4 8421  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-q 9040  df-rp 9070  df-fz 9360  df-fzo 9485  df-fl 9608  df-mod 9661  df-iseq 9783  df-iexp 9857  df-cj 10175  df-re 10176  df-im 10177  df-rsqrt 10330  df-abs 10331  df-dvds 10703  df-gcd 10845
This theorem is referenced by:  dvdsgcdb  10908  dfgcd2  10909  mulgcd  10911  ncoprmgcdne1b  10977  mulgcddvds  10982  rpmulgcd2  10983  rpexp  11038
  Copyright terms: Public domain W3C validator