Theorem m1bits 12341

Description: The bits of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
m1bits	⊢ (bits‘-1) = ℕ0

Proof of Theorem m1bits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9398	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		bitscmp 12339	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℕ0 ∖ (bits‘0)) = (bits‘(-0 − 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℕ0 ∖ (bits‘0)) = (bits‘(-0 − 1))
4		0bits 12340	. . . 4 ⊢ (bits‘0) = ∅
5	4	difeq2i 3292	. . 3 ⊢ (ℕ0 ∖ (bits‘0)) = (ℕ0 ∖ ∅)
6		dif0 3535	. . 3 ⊢ (ℕ0 ∖ ∅) = ℕ0
7	5, 6	eqtri 2227	. 2 ⊢ (ℕ0 ∖ (bits‘0)) = ℕ0
8		neg0 8333	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
9	8	oveq1i 5966	. . . 4 ⊢ (-0 − 1) = (0 − 1)
10		df-neg 8261	. . . 4 ⊢ -1 = (0 − 1)
11	9, 10	eqtr4i 2230	. . 3 ⊢ (-0 − 1) = -1
12	11	fveq2i 5591	. 2 ⊢ (bits‘(-0 − 1)) = (bits‘-1)
13	3, 7, 12	3eqtr3ri 2236	1 ⊢ (bits‘-1) = ℕ0

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ∖ cdif 3167  ∅c0 3464  ‘cfv 5279  (class class class)co 5956  0cc0 7940  1c1 7941   − cmin 8258  -cneg 8259  ℕ₀cn0 9310  ℤcz 9387  bitscbits 12321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-pre-mulext 8058  ax-arch 8059  ax-caucvg 8060

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-isom 5288  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-frec 6489  df-sup 7100  df-inf 7101  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-div 8761  df-inn 9052  df-2 9110  df-3 9111  df-4 9112  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-q 9756  df-rp 9791  df-fz 10146  df-fzo 10280  df-fl 10430  df-seqfrec 10610  df-exp 10701  df-cj 11223  df-re 11224  df-im 11225  df-rsqrt 11379  df-abs 11380  df-dvds 12169  df-bits 12322

This theorem is referenced by: (None)