Theorem pcxqcl 12635

Description: The general prime count function is an integer or infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jun-2025.)

Assertion

Ref	Expression
pcxqcl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ ∨ (𝑃 pCnt 𝑁) = +∞))

Proof of Theorem pcxqcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
2	1	oveq2d 5960	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt 0))
3		pc0 12627	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
4	3	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
5	2, 4	eqtrd 2238	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 pCnt 𝑁) = +∞)
6	5	olcd 736	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ ∨ (𝑃 pCnt 𝑁) = +∞))
7		pcqcl 12629	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
8	7	anassrs 400	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
9	8	orcd 735	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ ∨ (𝑃 pCnt 𝑁) = +∞))
10		0z 9383	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		zq 9747	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℚ
13		qdceq 10387	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → DECID 𝑁 = 0)
14	12, 13	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℚ → DECID 𝑁 = 0)
15		dcne 2387	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
16	14, 15	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℚ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
17	16	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
18	6, 9, 17	mpjaodan 800	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ ∨ (𝑃 pCnt 𝑁) = +∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   ≠ wne 2376  (class class class)co 5944  0cc0 7925  +∞cpnf 8104  ℤcz 9372  ℚcq 9740  ℙcprime 12429   pCnt cpc 12607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-1o 6502  df-2o 6503  df-er 6620  df-en 6828  df-sup 7086  df-inf 7087  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-fl 10413  df-mod 10468  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-dvds 12099  df-gcd 12275  df-prm 12430  df-pc 12608

This theorem is referenced by:  pcadd2  12664