ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iooinsup GIF version

Theorem iooinsup 11256
Description: Intersection of two open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 22-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
iooinsup (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < )(,)inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )))

Proof of Theorem iooinsup
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inrab 3407 . . 3 ({𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵)} ∩ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷)}) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ((𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵) ∧ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷))}
2 iooval 9882 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵)})
3 iooval 9882 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐶(,)𝐷) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷)})
42, 3ineqan12d 3338 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ({𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵)} ∩ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷)}))
5 xrmaxltsup 11237 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧 ↔ (𝐴 < 𝑧𝐶 < 𝑧)))
65ad4ant124 1216 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧 ↔ (𝐴 < 𝑧𝐶 < 𝑧)))
7 xrltmininf 11249 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ↔ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷)))
873expb 1204 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ↔ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷)))
98ancoms 268 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ↔ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷)))
109adantll 476 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ↔ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷)))
116, 10anbi12d 473 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )) ↔ ((𝐴 < 𝑧𝐶 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷))))
12 an4 586 . . . . . 6 (((𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵) ∧ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷)) ↔ ((𝐴 < 𝑧𝐶 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷)))
1311, 12bitr4di 198 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )) ↔ ((𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵) ∧ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷))))
1413rabbidva 2725 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ((𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵) ∧ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷))})
1514an4s 588 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ((𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵) ∧ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷))})
161, 4, 153eqtr4a 2236 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))})
17 xrmaxcl 11231 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
18 xrmincl 11245 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
19 iooval 9882 . . . 4 ((sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < )(,)inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))})
2017, 18, 19syl2an 289 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < )(,)inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))})
2120an4s 588 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < )(,)inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))})
2216, 21eqtr4d 2213 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < )(,)inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  {crab 2459  cin 3128  {cpr 3592   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868  supcsup 6974  infcinf 6975  *cxr 7968   < clt 7969  (,)cioo 9862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-isom 5220  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-sup 6976  df-inf 6977  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-rp 9628  df-xneg 9746  df-ioo 9866  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979
This theorem is referenced by:  qtopbasss  13654  tgioo  13679
  Copyright terms: Public domain W3C validator