ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iooinsup GIF version

Theorem iooinsup 11303
Description: Intersection of two open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 22-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
iooinsup (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < )(,)inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )))

Proof of Theorem iooinsup
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inrab 3422 . . 3 ({𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵)} ∩ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷)}) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ((𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵) ∧ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷))}
2 iooval 9926 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵)})
3 iooval 9926 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐶(,)𝐷) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷)})
42, 3ineqan12d 3353 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ({𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵)} ∩ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷)}))
5 xrmaxltsup 11284 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧 ↔ (𝐴 < 𝑧𝐶 < 𝑧)))
65ad4ant124 1218 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧 ↔ (𝐴 < 𝑧𝐶 < 𝑧)))
7 xrltmininf 11296 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ↔ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷)))
873expb 1206 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ↔ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷)))
98ancoms 268 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ↔ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷)))
109adantll 476 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ↔ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷)))
116, 10anbi12d 473 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )) ↔ ((𝐴 < 𝑧𝐶 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷))))
12 an4 586 . . . . . 6 (((𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵) ∧ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷)) ↔ ((𝐴 < 𝑧𝐶 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷)))
1311, 12bitr4di 198 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )) ↔ ((𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵) ∧ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷))))
1413rabbidva 2740 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ((𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵) ∧ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷))})
1514an4s 588 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ((𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵) ∧ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷))})
161, 4, 153eqtr4a 2248 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))})
17 xrmaxcl 11278 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
18 xrmincl 11292 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
19 iooval 9926 . . . 4 ((sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < )(,)inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))})
2017, 18, 19syl2an 289 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < )(,)inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))})
2120an4s 588 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < )(,)inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))})
2216, 21eqtr4d 2225 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < )(,)inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  {crab 2472  cin 3143  {cpr 3608   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  supcsup 6999  infcinf 7000  *cxr 8009   < clt 8010  (,)cioo 9906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-sup 7001  df-inf 7002  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-rp 9672  df-xneg 9790  df-ioo 9910  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026
This theorem is referenced by:  qtopbasss  14418  tgioo  14443
  Copyright terms: Public domain W3C validator