Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iooinsup GIF version

Theorem iooinsup 11098
 Description: Intersection of two open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 22-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
iooinsup (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < )(,)inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )))

Proof of Theorem iooinsup
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inrab 3354 . . 3 ({𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵)} ∩ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷)}) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ((𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵) ∧ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷))}
2 iooval 9741 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵)})
3 iooval 9741 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐶(,)𝐷) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷)})
42, 3ineqan12d 3285 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ({𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵)} ∩ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷)}))
5 xrmaxltsup 11079 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧 ↔ (𝐴 < 𝑧𝐶 < 𝑧)))
65ad4ant124 1195 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧 ↔ (𝐴 < 𝑧𝐶 < 𝑧)))
7 xrltmininf 11091 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ↔ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷)))
873expb 1183 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ↔ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷)))
98ancoms 266 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ↔ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷)))
109adantll 468 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ↔ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷)))
116, 10anbi12d 465 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )) ↔ ((𝐴 < 𝑧𝐶 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷))))
12 an4 576 . . . . . 6 (((𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵) ∧ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷)) ↔ ((𝐴 < 𝑧𝐶 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷)))
1311, 12bitr4di 197 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )) ↔ ((𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵) ∧ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷))))
1413rabbidva 2678 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ((𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵) ∧ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷))})
1514an4s 578 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ((𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵) ∧ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷))})
161, 4, 153eqtr4a 2199 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))})
17 xrmaxcl 11073 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
18 xrmincl 11087 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
19 iooval 9741 . . . 4 ((sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < )(,)inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))})
2017, 18, 19syl2an 287 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < )(,)inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))})
2120an4s 578 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < )(,)inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))})
2216, 21eqtr4d 2176 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < )(,)inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  {crab 2421   ∩ cin 3076  {cpr 3534   class class class wbr 3938  (class class class)co 5783  supcsup 6879  infcinf 6880  ℝ*cxr 7843   < clt 7844  (,)cioo 9721 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783  ax-caucvg 7784 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-isom 5141  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-sup 6881  df-inf 6882  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-rp 9491  df-xneg 9609  df-ioo 9725  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-cj 10666  df-re 10667  df-im 10668  df-rsqrt 10822  df-abs 10823 This theorem is referenced by:  qtopbasss  12749  tgioo  12774
 Copyright terms: Public domain W3C validator