ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iooinsup GIF version

Theorem iooinsup 10885
Description: Intersection of two open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 22-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
iooinsup (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < )(,)inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )))

Proof of Theorem iooinsup
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inrab 3295 . . 3 ({𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵)} ∩ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷)}) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ((𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵) ∧ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷))}
2 iooval 9532 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵)})
3 iooval 9532 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐶(,)𝐷) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷)})
42, 3ineqan12d 3226 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = ({𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵)} ∩ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷)}))
5 xrmaxltsup 10866 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧 ↔ (𝐴 < 𝑧𝐶 < 𝑧)))
65ad4ant124 1162 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧 ↔ (𝐴 < 𝑧𝐶 < 𝑧)))
7 xrltmininf 10878 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ↔ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷)))
873expb 1150 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ↔ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷)))
98ancoms 266 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ↔ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷)))
109adantll 463 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ↔ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷)))
116, 10anbi12d 460 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )) ↔ ((𝐴 < 𝑧𝐶 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷))))
12 an4 556 . . . . . 6 (((𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵) ∧ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷)) ↔ ((𝐴 < 𝑧𝐶 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝐵𝑧 < 𝐷)))
1311, 12syl6bbr 197 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )) ↔ ((𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵) ∧ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷))))
1413rabbidva 2629 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ((𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵) ∧ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷))})
1514an4s 558 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ((𝐴 < 𝑧𝑧 < 𝐵) ∧ (𝐶 < 𝑧𝑧 < 𝐷))})
161, 4, 153eqtr4a 2158 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))})
17 xrmaxcl 10860 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
18 xrmincl 10874 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
19 iooval 9532 . . . 4 ((sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < )(,)inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))})
2017, 18, 19syl2an 285 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < )(,)inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))})
2120an4s 558 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < )(,)inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < ) < 𝑧𝑧 < inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < ))})
2216, 21eqtr4d 2135 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (sup({𝐴, 𝐶}, ℝ*, < )(,)inf({𝐵, 𝐷}, ℝ*, < )))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1299  wcel 1448  {crab 2379  cin 3020  {cpr 3475   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706  supcsup 6784  infcinf 6785  *cxr 7671   < clt 7672  (,)cioo 9512
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-isom 5068  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-sup 6786  df-inf 6787  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-rp 9292  df-xneg 9400  df-ioo 9516  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611
This theorem is referenced by:  qtopbasss  12443  tgioo  12465
  Copyright terms: Public domain W3C validator