Theorem 2trlond 30462

Description: A trail of length 2 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 30-Jan-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
2wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2trld.n	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2trlond	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐶)𝑃)

Proof of Theorem 2trlond

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		2wlkd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		2wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
5		2wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
6		2wlkd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		2wlkd.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	2wlkond 30460	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃)
9		2trld.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	2trld 30461	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
11	3	simp1d 1160	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
12	3	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
13		s2cli 14999	. . . . 5 ⊢ ⟨“𝐽𝐾”⟩ ∈ Word V
14	2, 13	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ Word V
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word V)
16		s3cli 15000	. . . . 5 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V
17	1, 16	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ Word V
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
19	6	istrlson 30223	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐶)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
20	11, 12, 15, 18, 19	syl22anc 852	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐶)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
21	8, 10, 20	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐶)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ⊆ wss 3898  {cpr 4585   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Word cword 14626  ⟨“cs2 14960  ⟨“cs3 14961  Vtxcvtx 29508  iEdgciedg 29509  WalksOncwlkson 30112  Trailsctrls 30207  TrailsOnctrlson 30208

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-hash 14443  df-word 14627  df-concat 14684  df-s1 14711  df-s2 14967  df-s3 14968  df-wlks 30114  df-wlkson 30115  df-trls 30209  df-trlson 30210

This theorem is used by:  2pthond  30465