Theorem 2wlkond 30030

Description: A walk of length 2 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 30-Jan-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
2wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
2wlkond	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃)

Proof of Theorem 2wlkond

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		2wlkd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		2wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
5		2wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
6		2wlkd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		2wlkd.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	2wlkd 30029	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
9	3	simp1d 1148	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10	1	fveq1i 6835	. . . 4 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)
11		s3fv0 14851	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
12	10, 11	eqtrid 2787	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
13	9, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝐴)
14	2	fveq2i 6837	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
15		s2len 14849	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
16	14, 15	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
17	1, 16	fveq12i 6840	. . 3 ⊢ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)
18	3	simp3d 1150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
19		s3fv2 14853	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
21	17, 20	eqtrid 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐶)
22		3simpb 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
23	3, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
24		s2cli 14840	. . . . 5 ⊢ ⟨“𝐽𝐾”⟩ ∈ Word V
25	2, 24	eqeltri 2836	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ Word V
26		s3cli 14841	. . . . 5 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V
27	1, 26	eqeltri 2836	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ Word V
28	25, 27	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)
29	6	iswlkon 29749	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐶)))
30	23, 28, 29	sylancl 592	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐶)))
31	8, 13, 21, 30	mpbir3and 1349	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  {cpr 4564   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036  2c2 12234  ♯chash 14290  Word cword 14473  ⟨“cs2 14801  ⟨“cs3 14802  Vtxcvtx 29090  iEdgciedg 29091  Walkscwlks 29690  WalksOncwlkson 29691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-ifp 1069  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-hash 14291  df-word 14474  df-concat 14531  df-s1 14557  df-s2 14808  df-s3 14809  df-wlks 29693  df-wlkson 29694

This theorem is referenced by:  2trlond  30032  umgr2adedgwlkon  30039