Theorem 2wlkond 30460

Description: A walk of length 2 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 30-Jan-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
2wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
2wlkond	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃)

Proof of Theorem 2wlkond

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		2wlkd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		2wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
5		2wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
6		2wlkd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		2wlkd.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	2wlkd 30459	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
9	3	simp1d 1160	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10	1	fveq1i 6874	. . . 4 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)
11		s3fv0 15010	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
12	10, 11	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
13	9, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝐴)
14	2	fveq2i 6876	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
15		s2len 15008	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
16	14, 15	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
17	1, 16	fveq12i 6879	. . 3 ⊢ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)
18	3	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
19		s3fv2 15012	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
20	18, 19	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
21	17, 20	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐶)
22		3simpb 1167	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
23	3, 22	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
24		s2cli 14999	. . . . 5 ⊢ ⟨“𝐽𝐾”⟩ ∈ Word V
25	2, 24	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ Word V
26		s3cli 15000	. . . . 5 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V
27	1, 26	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ Word V
28	25, 27	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)
29	6	iswlkon 30170	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐶)))
30	23, 28, 29	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐶)))
31	8, 13, 21, 30	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ⊆ wss 3898  {cpr 4585   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0cc0 11172  2c2 12367  ♯chash 14442  Word cword 14626  ⟨“cs2 14960  ⟨“cs3 14961  Vtxcvtx 29508  iEdgciedg 29509  Walkscwlks 30111  WalksOncwlkson 30112

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-hash 14443  df-word 14627  df-concat 14684  df-s1 14711  df-s2 14967  df-s3 14968  df-wlks 30114  df-wlkson 30115

This theorem is used by:  2trlond  30462  umgr2adedgwlkon  30469