Theorem 2wlkond 30076

Description: A walk of length 2 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 30-Jan-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
2wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
2wlkond	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃)

Proof of Theorem 2wlkond

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		2wlkd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		2wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
5		2wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
6		2wlkd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		2wlkd.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	2wlkd 30075	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
9	3	simp1d 1151	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10	1	fveq1i 6857	. . . 4 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)
11		s3fv0 14894	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
12	10, 11	eqtrid 2803	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
13	9, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝐴)
14	2	fveq2i 6859	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
15		s2len 14892	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
16	14, 15	eqtri 2779	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
17	1, 16	fveq12i 6862	. . 3 ⊢ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)
18	3	simp3d 1153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
19		s3fv2 14896	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
21	17, 20	eqtrid 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐶)
22		3simpb 1158	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
23	3, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
24		s2cli 14883	. . . . 5 ⊢ ⟨“𝐽𝐾”⟩ ∈ Word V
25	2, 24	eqeltri 2852	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ Word V
26		s3cli 14884	. . . . 5 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V
27	1, 26	eqeltri 2852	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ Word V
28	25, 27	pm3.2i 473	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)
29	6	iswlkon 29795	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐶)))
30	23, 28, 29	sylancl 594	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐶)))
31	8, 13, 21, 30	mpbir3and 1352	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  Vcvv 3448   ⊆ wss 3899  {cpr 4578   class class class wbr 5094  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  0cc0 11063  2c2 12262  ♯chash 14333  Word cword 14516  ⟨“cs2 14844  ⟨“cs3 14845  Vtxcvtx 29136  iEdgciedg 29137  Walkscwlks 29736  WalksOncwlkson 29737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-ifp 1072  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-map 8798  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-hash 14334  df-word 14517  df-concat 14574  df-s1 14600  df-s2 14851  df-s3 14852  df-wlks 29739  df-wlkson 29740

This theorem is referenced by:  2trlond  30078  umgr2adedgwlkon  30085