Theorem 2wlkond 30527

Description: A walk of length 2 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 30-Jan-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
2wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
2wlkond	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃)

Proof of Theorem 2wlkond

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		2wlkd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		2wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
5		2wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
6		2wlkd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		2wlkd.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	2wlkd 30526	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
9	3	simp1d 1160	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10	1	fveq1i 6886	. . . 4 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)
11		s3fv0 15043	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
12	10, 11	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
13	9, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝐴)
14	2	fveq2i 6888	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
15		s2len 15041	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
16	14, 15	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
17	1, 16	fveq12i 6891	. . 3 ⊢ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)
18	3	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
19		s3fv2 15045	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
20	18, 19	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
21	17, 20	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐶)
22		3simpb 1167	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
23	3, 22	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
24		s2cli 15032	. . . . 5 ⊢ ⟨“𝐽𝐾”⟩ ∈ Word V
25	2, 24	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ Word V
26		s3cli 15033	. . . . 5 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V
27	1, 26	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ Word V
28	25, 27	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)
29	6	iswlkon 30237	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐶)))
30	23, 28, 29	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐶)))
31	8, 13, 21, 30	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  {cpr 4585   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11201  2c2 12398  ♯chash 14475  Word cword 14659  ⟨“cs2 14993  ⟨“cs3 14994  Vtxcvtx 29575  iEdgciedg 29576  Walkscwlks 30178  WalksOncwlkson 30179

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-hash 14476  df-word 14660  df-concat 14717  df-s1 14744  df-s2 15000  df-s3 15001  df-wlks 30181  df-wlkson 30182

This theorem is used by:  2trlond  30529  umgr2adedgwlkon  30536