MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3wlkdlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3wlkdlem3 29381
Description: Lemma 3 for 3wlkd 29390. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
Assertion
Ref Expression
3wlkdlem3 (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))

Proof of Theorem 3wlkdlem3
StepHypRef Expression
1 3wlkd.s . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
2 3wlkd.p . . . . . 6 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
32fveq1i 6882 . . . . 5 (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘0)
4 s4fv0 14833 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘0) = 𝐴)
53, 4eqtrid 2785 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
62fveq1i 6882 . . . . 5 (𝑃‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘1)
7 s4fv1 14834 . . . . 5 (𝐵𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘1) = 𝐵)
86, 7eqtrid 2785 . . . 4 (𝐵𝑉 → (𝑃‘1) = 𝐵)
95, 8anim12i 614 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵))
102fveq1i 6882 . . . . 5 (𝑃‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘2)
11 s4fv2 14835 . . . . 5 (𝐶𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘2) = 𝐶)
1210, 11eqtrid 2785 . . . 4 (𝐶𝑉 → (𝑃‘2) = 𝐶)
132fveq1i 6882 . . . . 5 (𝑃‘3) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘3)
14 s4fv3 14836 . . . . 5 (𝐷𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘3) = 𝐷)
1513, 14eqtrid 2785 . . . 4 (𝐷𝑉 → (𝑃‘3) = 𝐷)
1612, 15anim12i 614 . . 3 ((𝐶𝑉𝐷𝑉) → ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷))
179, 16anim12i 614 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
181, 17syl 17 1 (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6535  0cc0 11097  1c1 11098  2c2 12254  3c3 12255  ⟨“cs3 14780  ⟨“cs4 14781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-hash 14278  df-word 14452  df-concat 14508  df-s1 14533  df-s2 14786  df-s3 14787  df-s4 14788
This theorem is referenced by:  3wlkdlem4  29382  3wlkdlem5  29383  3pthdlem1  29384  3wlkdlem6  29385  3wlkdlem10  29389  3wlkond  29391
  Copyright terms: Public domain W3C validator