Theorem 3wlkdlem3 30744

Description: Lemma 3 for 3wlkd 30753. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))

Assertion

Ref	Expression
3wlkdlem3	⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))

Proof of Theorem 3wlkdlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
2		3wlkd.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3	2	fveq1i 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘0)
4		s4fv0 15026	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘0) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
6	2	fveq1i 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘1)
7		s4fv1 15027	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘1) = 𝐵)
8	6, 7	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑃‘1) = 𝐵)
9	5, 8	anim12i 625	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵))
10	2	fveq1i 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘2)
11		s4fv2 15028	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘2) = 𝐶)
12	10, 11	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝑃‘2) = 𝐶)
13	2	fveq1i 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘3) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘3)
14		s4fv3 15029	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘3) = 𝐷)
15	13, 14	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝑃‘3) = 𝐷)
16	12, 15	anim12i 625	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷))
17	9, 16	anim12i 625	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
18	1, 17	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  0cc0 11181  1c1 11182  2c2 12378  3c3 12379  ⟨“cs3 14973  ⟨“cs4 14974

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-hash 14455  df-word 14639  df-concat 14696  df-s1 14723  df-s2 14979  df-s3 14980  df-s4 14981

This theorem is used by:  3wlkdlem4  30745  3wlkdlem5  30746  3pthdlem1  30747  3wlkdlem6  30748  3wlkdlem10  30752  3wlkond  30754