Theorem 3wlkdlem3 30123

Description: Lemma 3 for 3wlkd 30132. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))

Assertion

Ref	Expression
3wlkdlem3	⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))

Proof of Theorem 3wlkdlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
2		3wlkd.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3	2	fveq1i 6827	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘0)
4		s4fv0 14820	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘0) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
6	2	fveq1i 6827	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘1)
7		s4fv1 14821	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘1) = 𝐵)
8	6, 7	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑃‘1) = 𝐵)
9	5, 8	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵))
10	2	fveq1i 6827	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘2)
11		s4fv2 14822	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘2) = 𝐶)
12	10, 11	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝑃‘2) = 𝐶)
13	2	fveq1i 6827	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘3) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘3)
14		s4fv3 14823	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘3) = 𝐷)
15	13, 14	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝑃‘3) = 𝐷)
16	12, 15	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷))
17	9, 16	anim12i 613	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
18	1, 17	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  0cc0 11028  1c1 11029  2c2 12201  3c3 12202  ⟨“cs3 14767  ⟨“cs4 14768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14521  df-s2 14773  df-s3 14774  df-s4 14775

This theorem is referenced by:  3wlkdlem4  30124  3wlkdlem5  30125  3pthdlem1  30126  3wlkdlem6  30127  3wlkdlem10  30131  3wlkond  30133