MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3wlkdlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3wlkdlem3 28098
Description: Lemma 3 for 3wlkd 28107. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
Assertion
Ref Expression
3wlkdlem3 (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))

Proof of Theorem 3wlkdlem3
StepHypRef Expression
1 3wlkd.s . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
2 3wlkd.p . . . . . 6 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
32fveq1i 6675 . . . . 5 (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘0)
4 s4fv0 14346 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘0) = 𝐴)
53, 4syl5eq 2785 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
62fveq1i 6675 . . . . 5 (𝑃‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘1)
7 s4fv1 14347 . . . . 5 (𝐵𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘1) = 𝐵)
86, 7syl5eq 2785 . . . 4 (𝐵𝑉 → (𝑃‘1) = 𝐵)
95, 8anim12i 616 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵))
102fveq1i 6675 . . . . 5 (𝑃‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘2)
11 s4fv2 14348 . . . . 5 (𝐶𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘2) = 𝐶)
1210, 11syl5eq 2785 . . . 4 (𝐶𝑉 → (𝑃‘2) = 𝐶)
132fveq1i 6675 . . . . 5 (𝑃‘3) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘3)
14 s4fv3 14349 . . . . 5 (𝐷𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘3) = 𝐷)
1513, 14syl5eq 2785 . . . 4 (𝐷𝑉 → (𝑃‘3) = 𝐷)
1612, 15anim12i 616 . . 3 ((𝐶𝑉𝐷𝑉) → ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷))
179, 16anim12i 616 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
181, 17syl 17 1 (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  cfv 6339  0cc0 10615  1c1 10616  2c2 11771  3c3 11772  ⟨“cs3 14293  ⟨“cs4 14294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-hash 13783  df-word 13956  df-concat 14012  df-s1 14039  df-s2 14299  df-s3 14300  df-s4 14301
This theorem is referenced by:  3wlkdlem4  28099  3wlkdlem5  28100  3pthdlem1  28101  3wlkdlem6  28102  3wlkdlem10  28106  3wlkond  28108
  Copyright terms: Public domain W3C validator