Theorem 3wlkdlem3 30181

Description: Lemma 3 for 3wlkd 30190. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))

Assertion

Ref	Expression
3wlkdlem3	⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))

Proof of Theorem 3wlkdlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
2		3wlkd.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3	2	fveq1i 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘0)
4		s4fv0 14935	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘0) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
6	2	fveq1i 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘1)
7		s4fv1 14936	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘1) = 𝐵)
8	6, 7	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑃‘1) = 𝐵)
9	5, 8	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵))
10	2	fveq1i 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘2)
11		s4fv2 14937	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘2) = 𝐶)
12	10, 11	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝑃‘2) = 𝐶)
13	2	fveq1i 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘3) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘3)
14		s4fv3 14938	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩‘3) = 𝐷)
15	13, 14	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝑃‘3) = 𝐷)
16	12, 15	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷))
17	9, 16	anim12i 613	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
18	1, 17	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  0cc0 11156  1c1 11157  2c2 12322  3c3 12323  ⟨“cs3 14882  ⟨“cs4 14883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-hash 14371  df-word 14554  df-concat 14610  df-s1 14635  df-s2 14888  df-s3 14889  df-s4 14890

This theorem is referenced by:  3wlkdlem4  30182  3wlkdlem5  30183  3pthdlem1  30184  3wlkdlem6  30185  3wlkdlem10  30189  3wlkond  30191