Theorem absreim 15250

Description: Absolute value of a number that has been decomposed into real and imaginary parts. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
absreim	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (√‘((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))

Proof of Theorem absreim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11123	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-icn 11092	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
3		recn 11123	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4		mulcl 11117	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 594	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6		addcl 11115	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
7	1, 5, 6	syl2an 603	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
8		abscl 15235	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
10		absge0 15244	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
11	7, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
12		sqrtsq 15226	. . 3 ⊢ (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) → (√‘((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) = (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
13	9, 11, 12	syl2anc 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (√‘((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) = (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
14		absreimsq 15249	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
15	14	fveq2d 6835	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (√‘((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) = (√‘((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
16	13, 15	eqtr3d 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (√‘((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  ℝcr 11032  0cc0 11033  ici 11035   + caddc 11036   · cmul 11038   ≤ cle 11175  2c2 12231  ↑cexp 14018  √csqrt 15190  abscabs 15191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193

This theorem is referenced by:  absefi  16158  ipidsq  30803  constrresqrtcl  33973  ftc1anclem3  38077  resqrtvalex  44104  imsqrtvalex  44105