Theorem absreim 15351

Description: Absolute value of a number that has been decomposed into real and imaginary parts. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
absreim	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (√‘((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))

Proof of Theorem absreim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11196	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-icn 11165	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
3		recn 11196	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4		mulcl 11190	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6		addcl 11188	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
7	1, 5, 6	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
8		abscl 15336	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
10		absge0 15345	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
11	7, 10	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
12		sqrtsq 15327	. . 3 ⊢ (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) → (√‘((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) = (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
13	9, 11, 12	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (√‘((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) = (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
14		absreimsq 15350	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
15	14	fveq2d 6885	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (√‘((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) = (√‘((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
16	13, 15	eqtr3d 2799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (√‘((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  ici 11108   + caddc 11109   · cmul 11111   ≤ cle 11250  2c2 12301  ↑cexp 14104  √csqrt 15291  abscabs 15292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294

This theorem is used by:  absefi  16258  ipidsq  31073  constrresqrtcl  34176  ftc1anclem3  38374  resqrtvalex  44399  imsqrtvalex  44400