Theorem absefi 16219

Description: The absolute value of the exponential of an imaginary number is one. Equation 48 of [Rudin] p. 167. (Contributed by Jason Orendorff, 9-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
absefi	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1)

Proof of Theorem absefi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11157	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		efival 16175	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
4	3	fveq2d 6866	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = (abs‘((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
5		recoscl 16164	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
6		resincl 16163	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
7		absreim 15311	. . . 4 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) → (abs‘((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = (√‘(((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2))))
8	5, 6, 7	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = (√‘(((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2))))
9	5	resqcld 14132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11204	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
11	6	resqcld 14132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11204	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
13	10, 12	addcomd 11379	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
14		sincossq 16199	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
15	1, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
16	13, 15	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = 1)
17	16	fveq2d 6866	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (√‘(((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2))) = (√‘1))
18		sqrt1 15289	. . . 4 ⊢ (√‘1) = 1
19	17, 18	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (√‘(((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2))) = 1)
20	8, 19	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = 1)
21	4, 20	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  ℝcr 11066  1c1 11068  ici 11069   + caddc 11070   · cmul 11072  2c2 12266  ↑cexp 14068  √csqrt 15251  abscabs 15252  expce 16082  sincsin 16084  cosccos 16085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-ico 13349  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14281  df-bc 14310  df-hash 14338  df-shft 15074  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-limsup 15489  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091

This theorem is referenced by:  absef  16220  efieq1re  16222  pige3ALT  26573  efif1olem4  26598  efifo  26600  cos9thpinconstrlem1  34047