Theorem absefi 15299

Description: The absolute value of the exponential of an imaginary number is one. Equation 48 of [Rudin] p. 167. (Contributed by Jason Orendorff, 9-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
absefi	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1)

Proof of Theorem absefi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 10343	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		efival 15255	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
4	3	fveq2d 6438	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = (abs‘((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
5		recoscl 15244	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
6		resincl 15243	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
7		absreim 14411	. . . 4 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) → (abs‘((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = (√‘(((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2))))
8	5, 6, 7	syl2anc 581	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = (√‘(((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2))))
9	5	resqcld 13332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
10	9	recnd 10386	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
11	6	resqcld 13332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
12	11	recnd 10386	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
13	10, 12	addcomd 10558	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
14		sincossq 15279	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
15	1, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
16	13, 15	eqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = 1)
17	16	fveq2d 6438	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (√‘(((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2))) = (√‘1))
18		sqrt1 14390	. . . 4 ⊢ (√‘1) = 1
19	17, 18	syl6eq 2878	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (√‘(((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2))) = 1)
20	8, 19	eqtrd 2862	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = 1)
21	4, 20	eqtrd 2862	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  ℂcc 10251  ℝcr 10252  1c1 10254  ici 10255   + caddc 10256   · cmul 10258  2c2 11407  ↑cexp 13155  √csqrt 14351  abscabs 14352  expce 15165  sincsin 15167  cosccos 15168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331  ax-addf 10332  ax-mulf 10333

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-ico 12470  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-fl 12889  df-seq 13097  df-exp 13156  df-fac 13355  df-bc 13384  df-hash 13412  df-shft 14185  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-limsup 14580  df-clim 14597  df-rlim 14598  df-sum 14795  df-ef 15171  df-sin 15173  df-cos 15174

This theorem is referenced by:  absef  15300  efieq1re  15302  pige3  24670  efif1olem4  24692  efifo  24694