Theorem absefi 16170

Description: The absolute value of the exponential of an imaginary number is one. Equation 48 of [Rudin] p. 167. (Contributed by Jason Orendorff, 9-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
absefi	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1)

Proof of Theorem absefi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11164	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		efival 16126	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
4	3	fveq2d 6864	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = (abs‘((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
5		recoscl 16115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
6		resincl 16114	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
7		absreim 15265	. . . 4 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) → (abs‘((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = (√‘(((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2))))
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = (√‘(((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2))))
9	5	resqcld 14096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11208	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
11	6	resqcld 14096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11208	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
13	10, 12	addcomd 11382	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
14		sincossq 16150	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
15	1, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
16	13, 15	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = 1)
17	16	fveq2d 6864	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (√‘(((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2))) = (√‘1))
18		sqrt1 15243	. . . 4 ⊢ (√‘1) = 1
19	17, 18	eqtrdi 2781	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (√‘(((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2))) = 1)
20	8, 19	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = 1)
21	4, 20	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  ℝcr 11073  1c1 11075  ici 11076   + caddc 11077   · cmul 11079  2c2 12242  ↑cexp 14032  √csqrt 15205  abscabs 15206  expce 16033  sincsin 16035  cosccos 16036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-ico 13318  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14245  df-bc 14274  df-hash 14302  df-shft 15039  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-limsup 15443  df-clim 15460  df-rlim 15461  df-sum 15659  df-ef 16039  df-sin 16041  df-cos 16042

This theorem is referenced by:  absef  16171  efieq1re  16173  pige3ALT  26435  efif1olem4  26460  efifo  26462  cos9thpinconstrlem1  33785