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Theorem addid1 10421
Description: 0 is an additive identity. This used to be one of our complex number axioms, until it was found to be dependent on the others. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
addid1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Proof of Theorem addid1
Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 10244 . 2 1 ∈ ℝ
2 ax-rnegex 10212 . 2 (1 ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ (1 + 𝑐) = 0)
3 ax-1ne0 10210 . . . . . 6 1 ≠ 0
4 oveq2 6803 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 0 → (1 + 𝑐) = (1 + 0))
54eqeq1d 2773 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 0 → ((1 + 𝑐) = 0 ↔ (1 + 0) = 0))
65biimpcd 239 . . . . . . . 8 ((1 + 𝑐) = 0 → (𝑐 = 0 → (1 + 0) = 0))
7 oveq2 6803 . . . . . . . . 9 ((1 + 0) = 0 → (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0))
8 ax-icn 10200 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ∈ ℂ
98, 8mulcli 10250 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · i) ∈ ℂ
109, 9mulcli 10250 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · i) · (i · i)) ∈ ℂ
11 ax-1cn 10199 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
12 0cn 10237 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
1310, 11, 12adddii 10255 . . . . . . . . . . . 12 (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = ((((i · i) · (i · i)) · 1) + (((i · i) · (i · i)) · 0))
1410mulid1i 10247 . . . . . . . . . . . . 13 (((i · i) · (i · i)) · 1) = ((i · i) · (i · i))
15 mul01 10420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((i · i) · (i · i)) ∈ ℂ → (((i · i) · (i · i)) · 0) = 0)
1610, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i · i) · (i · i)) · 0) = 0
17 ax-i2m1 10209 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i · i) + 1) = 0
1816, 17eqtr4i 2796 . . . . . . . . . . . . 13 (((i · i) · (i · i)) · 0) = ((i · i) + 1)
1914, 18oveq12i 6807 . . . . . . . . . . . 12 ((((i · i) · (i · i)) · 1) + (((i · i) · (i · i)) · 0)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
2013, 19eqtri 2793 . . . . . . . . . . 11 (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
2120, 16eqeq12i 2785 . . . . . . . . . 10 ((((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0) ↔ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = 0)
2210, 9, 11addassi 10253 . . . . . . . . . . . 12 ((((i · i) · (i · i)) + (i · i)) + 1) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
239mulid1i 10247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i · i) · 1) = (i · i)
2423oveq2i 6806 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1)) = (((i · i) · (i · i)) + (i · i))
259, 9, 11adddii 10255 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i · i) · ((i · i) + 1)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1))
2617oveq2i 6806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · i) · ((i · i) + 1)) = ((i · i) · 0)
27 mul01 10420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i · i) ∈ ℂ → ((i · i) · 0) = 0)
289, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · i) · 0) = 0
2926, 28eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i · i) · ((i · i) + 1)) = 0
3025, 29eqtr3i 2795 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1)) = 0
3124, 30eqtr3i 2795 . . . . . . . . . . . . 13 (((i · i) · (i · i)) + (i · i)) = 0
3231oveq1i 6805 . . . . . . . . . . . 12 ((((i · i) · (i · i)) + (i · i)) + 1) = (0 + 1)
3322, 32eqtr3i 2795 . . . . . . . . . . 11 (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = (0 + 1)
34 00id 10416 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 0) = 0
3534eqcomi 2780 . . . . . . . . . . 11 0 = (0 + 0)
3633, 35eqeq12i 2785 . . . . . . . . . 10 ((((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = 0 ↔ (0 + 1) = (0 + 0))
37 0re 10245 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
38 readdcan 10415 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0))
391, 37, 37, 38mp3an 1572 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0)
4021, 36, 393bitri 286 . . . . . . . . 9 ((((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0) ↔ 1 = 0)
417, 40sylib 208 . . . . . . . 8 ((1 + 0) = 0 → 1 = 0)
426, 41syl6 35 . . . . . . 7 ((1 + 𝑐) = 0 → (𝑐 = 0 → 1 = 0))
4342necon3d 2964 . . . . . 6 ((1 + 𝑐) = 0 → (1 ≠ 0 → 𝑐 ≠ 0))
443, 43mpi 20 . . . . 5 ((1 + 𝑐) = 0 → 𝑐 ≠ 0)
45 ax-rrecex 10213 . . . . 5 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1)
4644, 45sylan2 580 . . . 4 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1)
47 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
48 simplrl 762 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
4948recnd 10273 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5047, 49mulcld 10265 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
51 simplll 758 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑐 ∈ ℝ)
5251recnd 10273 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑐 ∈ ℂ)
5312a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
5450, 52, 53adddid 10269 . . . . . . . 8 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · (𝑐 + 0)) = (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)))
5511a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
5655, 52, 53addassd 10267 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑐) + 0) = (1 + (𝑐 + 0)))
57 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝑐) = 0)
5857oveq1d 6810 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑐) + 0) = (0 + 0))
5956, 58eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + (𝑐 + 0)) = (0 + 0))
6034, 59, 573eqtr4a 2831 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐))
6137a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℝ)
6251, 61readdcld 10274 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 + 0) ∈ ℝ)
631a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℝ)
64 readdcan 10415 . . . . . . . . . . 11 (((𝑐 + 0) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐) ↔ (𝑐 + 0) = 𝑐))
6562, 51, 63, 64syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐) ↔ (𝑐 + 0) = 𝑐))
6660, 65mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 + 0) = 𝑐)
6766oveq2d 6811 . . . . . . . 8 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · (𝑐 + 0)) = ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐))
6854, 67eqtr3d 2807 . . . . . . 7 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)) = ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐))
69 mul31 10409 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴))
7047, 49, 52, 69syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴))
71 simplrr 763 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 · 𝑥) = 1)
7271oveq1d 6810 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
7347mulid2d 10263 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
7470, 72, 733eqtrd 2809 . . . . . . . 8 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = 𝐴)
75 mul01 10420 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ → ((𝐴 · 𝑥) · 0) = 0)
7650, 75syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 0) = 0)
7774, 76oveq12d 6813 . . . . . . 7 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)) = (𝐴 + 0))
7868, 77, 743eqtr3d 2813 . . . . . 6 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
7978exp42 422 . . . . 5 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑐 · 𝑥) = 1 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))))
8079rexlimdv 3178 . . . 4 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)))
8146, 80mpd 15 . . 3 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))
8281rexlimiva 3176 . 2 (∃𝑐 ∈ ℝ (1 + 𝑐) = 0 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))
831, 2, 82mp2b 10 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  (class class class)co 6795  cc 10139  cr 10140  0cc0 10141  1c1 10142  ici 10143   + caddc 10144   · cmul 10146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6798  df-er 7899  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-ltxr 10284
This theorem is referenced by:  cnegex  10422  addid2  10424  addcan2  10426  addid1i  10428  addid1d  10441  subid  10505  subid1  10506  addid0  10655  swrdccat3blem  13703  shftval3  14023  reim0  14065  isercolllem3  14604  fsumcvg  14650  summolem2a  14653  risefac1  14969  cnaddid  18479  ovolicc1  23503  brbtwn2  26005  axsegconlem1  26017  ax5seglem4  26032  axeuclid  26063  axcontlem2  26065  axcontlem4  26067  stoweidlem26  40757  2zrngamnd  42466  aacllem  43075
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