Theorem addid1 10977

Description: 0 is an additive identity. This used to be one of our complex number axioms, until it was found to be dependent on the others. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
addid1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Proof of Theorem addid1

Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10798	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 10765	. 2 ⊢ (1 ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ (1 + 𝑐) = 0)
3		ax-1ne0 10763	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
4		oveq2 7199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 0 → (1 + 𝑐) = (1 + 0))
5	4	eqeq1d 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 0 → ((1 + 𝑐) = 0 ↔ (1 + 0) = 0))
6	5	biimpcd 252	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 𝑐) = 0 → (𝑐 = 0 → (1 + 0) = 0))
7		oveq2 7199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 0) = 0 → (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0))
8		ax-icn 10753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ i ∈ ℂ
9	8, 8	mulcli 10805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
10	9, 9	mulcli 10805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) · (i · i)) ∈ ℂ
11		ax-1cn 10752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		0cn 10790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
13	10, 11, 12	adddii 10810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = ((((i · i) · (i · i)) · 1) + (((i · i) · (i · i)) · 0))
14	10	mulid1i 10802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · 1) = ((i · i) · (i · i))
15		mul01 10976	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((i · i) · (i · i)) ∈ ℂ → (((i · i) · (i · i)) · 0) = 0)
16	10, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · 0) = 0
17		ax-i2m1 10762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
18	16, 17	eqtr4i 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · 0) = ((i · i) + 1)
19	14, 18	oveq12i 7203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) · 1) + (((i · i) · (i · i)) · 0)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
20	13, 19	eqtri 2759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
21	20, 16	eqeq12i 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0) ↔ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = 0)
22	10, 9, 11	addassi 10808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) + (i · i)) + 1) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
23	9	mulid1i 10802	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · 1) = (i · i)
24	23	oveq2i 7202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1)) = (((i · i) · (i · i)) + (i · i))
25	9, 9, 11	adddii 10810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · ((i · i) + 1)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1))
26	17	oveq2i 7202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · i) · ((i · i) + 1)) = ((i · i) · 0)
27		mul01 10976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i · i) ∈ ℂ → ((i · i) · 0) = 0)
28	9, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · i) · 0) = 0
29	26, 28	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · ((i · i) + 1)) = 0
30	25, 29	eqtr3i 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1)) = 0
31	24, 30	eqtr3i 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · i) · (i · i)) + (i · i)) = 0
32	31	oveq1i 7201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) + (i · i)) + 1) = (0 + 1)
33	22, 32	eqtr3i 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = (0 + 1)
34		00id 10972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 0) = 0
35	34	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0 + 0)
36	33, 35	eqeq12i 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = 0 ↔ (0 + 1) = (0 + 0))
37		0re 10800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
38		readdcan 10971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0))
39	1, 37, 37, 38	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0)
40	21, 36, 39	3bitri 300	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0) ↔ 1 = 0)
41	7, 40	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 0) = 0 → 1 = 0)
42	6, 41	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 𝑐) = 0 → (𝑐 = 0 → 1 = 0))
43	42	necon3d 2953	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 𝑐) = 0 → (1 ≠ 0 → 𝑐 ≠ 0))
44	3, 43	mpi 20	. . . . 5 ⊢ ((1 + 𝑐) = 0 → 𝑐 ≠ 0)
45		ax-rrecex 10766	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1)
46	44, 45	sylan2 596	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1)
47		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
48		simplrl 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
49	48	recnd 10826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
50	47, 49	mulcld 10818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
51		simplll 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑐 ∈ ℝ)
52	51	recnd 10826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑐 ∈ ℂ)
53	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
54	50, 52, 53	adddid 10822	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · (𝑐 + 0)) = (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)))
55	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
56	55, 52, 53	addassd 10820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑐) + 0) = (1 + (𝑐 + 0)))
57		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝑐) = 0)
58	57	oveq1d 7206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑐) + 0) = (0 + 0))
59	56, 58	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + (𝑐 + 0)) = (0 + 0))
60	34, 59, 57	3eqtr4a 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐))
61	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℝ)
62	51, 61	readdcld 10827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 + 0) ∈ ℝ)
63	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℝ)
64		readdcan 10971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑐 + 0) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐) ↔ (𝑐 + 0) = 𝑐))
65	62, 51, 63, 64	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐) ↔ (𝑐 + 0) = 𝑐))
66	60, 65	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 + 0) = 𝑐)
67	66	oveq2d 7207	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · (𝑐 + 0)) = ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐))
68	54, 67	eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)) = ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐))
69		mul31 10964	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴))
70	47, 49, 52, 69	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴))
71		simplrr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 · 𝑥) = 1)
72	71	oveq1d 7206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
73	47	mulid2d 10816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
74	70, 72, 73	3eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = 𝐴)
75		mul01 10976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ → ((𝐴 · 𝑥) · 0) = 0)
76	50, 75	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 0) = 0)
77	74, 76	oveq12d 7209	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)) = (𝐴 + 0))
78	68, 77, 74	3eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
79	78	exp42 439	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑐 · 𝑥) = 1 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))))
80	79	rexlimdv 3192	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)))
81	46, 80	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))
82	81	rexlimiva 3190	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ (1 + 𝑐) = 0 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))
83	1, 2, 82	mp2b 10	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  ∃wrex 3052  (class class class)co 7191  ℂcc 10692  ℝcr 10693  0cc0 10694  1c1 10695  ici 10696   + caddc 10697   · cmul 10699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-ltxr 10837

This theorem is referenced by:  cnegex  10978  addid2  10980  addcan2  10982  addid1i  10984  addid1d  10997  subid  11062  subid1  11063  addid0  11216  swrdccat3blem  14269  shftval3  14604  reim0  14646  isercolllem3  15195  fsumcvg  15241  summolem2a  15244  risefac1  15558  cnaddid  19209  ovolicc1  24367  addsqnreup  26278  brbtwn2  26950  axsegconlem1  26962  ax5seglem4  26977  axeuclid  27008  axcontlem2  27010  axcontlem4  27012  2xp3dxp2ge1d  39825  factwoffsmonot  39826  stoweidlem26  43185  2zrngamnd  45115  aacllem  46119