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Theorem addid1 10813
Description: 0 is an additive identity. This used to be one of our complex number axioms, until it was found to be dependent on the others. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
addid1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Proof of Theorem addid1
Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 10634 . 2 1 ∈ ℝ
2 ax-rnegex 10601 . 2 (1 ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ (1 + 𝑐) = 0)
3 ax-1ne0 10599 . . . . . 6 1 ≠ 0
4 oveq2 7147 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 0 → (1 + 𝑐) = (1 + 0))
54eqeq1d 2803 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 0 → ((1 + 𝑐) = 0 ↔ (1 + 0) = 0))
65biimpcd 252 . . . . . . . 8 ((1 + 𝑐) = 0 → (𝑐 = 0 → (1 + 0) = 0))
7 oveq2 7147 . . . . . . . . 9 ((1 + 0) = 0 → (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0))
8 ax-icn 10589 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ∈ ℂ
98, 8mulcli 10641 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · i) ∈ ℂ
109, 9mulcli 10641 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · i) · (i · i)) ∈ ℂ
11 ax-1cn 10588 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
12 0cn 10626 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
1310, 11, 12adddii 10646 . . . . . . . . . . . 12 (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = ((((i · i) · (i · i)) · 1) + (((i · i) · (i · i)) · 0))
1410mulid1i 10638 . . . . . . . . . . . . 13 (((i · i) · (i · i)) · 1) = ((i · i) · (i · i))
15 mul01 10812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((i · i) · (i · i)) ∈ ℂ → (((i · i) · (i · i)) · 0) = 0)
1610, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i · i) · (i · i)) · 0) = 0
17 ax-i2m1 10598 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i · i) + 1) = 0
1816, 17eqtr4i 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (((i · i) · (i · i)) · 0) = ((i · i) + 1)
1914, 18oveq12i 7151 . . . . . . . . . . . 12 ((((i · i) · (i · i)) · 1) + (((i · i) · (i · i)) · 0)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
2013, 19eqtri 2824 . . . . . . . . . . 11 (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
2120, 16eqeq12i 2816 . . . . . . . . . 10 ((((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0) ↔ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = 0)
2210, 9, 11addassi 10644 . . . . . . . . . . . 12 ((((i · i) · (i · i)) + (i · i)) + 1) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
239mulid1i 10638 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i · i) · 1) = (i · i)
2423oveq2i 7150 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1)) = (((i · i) · (i · i)) + (i · i))
259, 9, 11adddii 10646 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i · i) · ((i · i) + 1)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1))
2617oveq2i 7150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · i) · ((i · i) + 1)) = ((i · i) · 0)
27 mul01 10812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i · i) ∈ ℂ → ((i · i) · 0) = 0)
289, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · i) · 0) = 0
2926, 28eqtri 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i · i) · ((i · i) + 1)) = 0
3025, 29eqtr3i 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1)) = 0
3124, 30eqtr3i 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (((i · i) · (i · i)) + (i · i)) = 0
3231oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . 12 ((((i · i) · (i · i)) + (i · i)) + 1) = (0 + 1)
3322, 32eqtr3i 2826 . . . . . . . . . . 11 (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = (0 + 1)
34 00id 10808 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 0) = 0
3534eqcomi 2810 . . . . . . . . . . 11 0 = (0 + 0)
3633, 35eqeq12i 2816 . . . . . . . . . 10 ((((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = 0 ↔ (0 + 1) = (0 + 0))
37 0re 10636 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
38 readdcan 10807 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0))
391, 37, 37, 38mp3an 1458 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0)
4021, 36, 393bitri 300 . . . . . . . . 9 ((((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0) ↔ 1 = 0)
417, 40sylib 221 . . . . . . . 8 ((1 + 0) = 0 → 1 = 0)
426, 41syl6 35 . . . . . . 7 ((1 + 𝑐) = 0 → (𝑐 = 0 → 1 = 0))
4342necon3d 3011 . . . . . 6 ((1 + 𝑐) = 0 → (1 ≠ 0 → 𝑐 ≠ 0))
443, 43mpi 20 . . . . 5 ((1 + 𝑐) = 0 → 𝑐 ≠ 0)
45 ax-rrecex 10602 . . . . 5 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1)
4644, 45sylan2 595 . . . 4 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1)
47 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
48 simplrl 776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
4948recnd 10662 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5047, 49mulcld 10654 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
51 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑐 ∈ ℝ)
5251recnd 10662 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑐 ∈ ℂ)
5312a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
5450, 52, 53adddid 10658 . . . . . . . 8 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · (𝑐 + 0)) = (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)))
5511a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
5655, 52, 53addassd 10656 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑐) + 0) = (1 + (𝑐 + 0)))
57 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝑐) = 0)
5857oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑐) + 0) = (0 + 0))
5956, 58eqtr3d 2838 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + (𝑐 + 0)) = (0 + 0))
6034, 59, 573eqtr4a 2862 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐))
6137a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℝ)
6251, 61readdcld 10663 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 + 0) ∈ ℝ)
631a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℝ)
64 readdcan 10807 . . . . . . . . . . 11 (((𝑐 + 0) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐) ↔ (𝑐 + 0) = 𝑐))
6562, 51, 63, 64syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐) ↔ (𝑐 + 0) = 𝑐))
6660, 65mpbid 235 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 + 0) = 𝑐)
6766oveq2d 7155 . . . . . . . 8 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · (𝑐 + 0)) = ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐))
6854, 67eqtr3d 2838 . . . . . . 7 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)) = ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐))
69 mul31 10800 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴))
7047, 49, 52, 69syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴))
71 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 · 𝑥) = 1)
7271oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
7347mulid2d 10652 . . . . . . . . 9 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
7470, 72, 733eqtrd 2840 . . . . . . . 8 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = 𝐴)
75 mul01 10812 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ → ((𝐴 · 𝑥) · 0) = 0)
7650, 75syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 0) = 0)
7774, 76oveq12d 7157 . . . . . . 7 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)) = (𝐴 + 0))
7868, 77, 743eqtr3d 2844 . . . . . 6 ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
7978exp42 439 . . . . 5 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑐 · 𝑥) = 1 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))))
8079rexlimdv 3245 . . . 4 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)))
8146, 80mpd 15 . . 3 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))
8281rexlimiva 3243 . 2 (∃𝑐 ∈ ℝ (1 + 𝑐) = 0 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))
831, 2, 82mp2b 10 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wrex 3110  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531  ici 10532   + caddc 10533   · cmul 10535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673
This theorem is referenced by:  cnegex  10814  addid2  10816  addcan2  10818  addid1i  10820  addid1d  10833  subid  10898  subid1  10899  addid0  11052  swrdccat3blem  14096  shftval3  14430  reim0  14472  isercolllem3  15018  fsumcvg  15064  summolem2a  15067  risefac1  15382  cnaddid  18986  ovolicc1  24123  addsqnreup  26030  brbtwn2  26702  axsegconlem1  26714  ax5seglem4  26729  axeuclid  26760  axcontlem2  26762  axcontlem4  26764  2xp3dxp2ge1d  39374  factwoffsmonot  39375  stoweidlem26  42655  2zrngamnd  44552  aacllem  45316
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