MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addid1 11342
Description: 0 is an additive identity. This used to be one of our complex number axioms, until it was found to be dependent on the others. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
addid1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด + 0) = ๐ด)

Proof of Theorem addid1
Dummy variables ๐‘ ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 11162 . 2 1 โˆˆ โ„
2 ax-rnegex 11129 . 2 (1 โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ (1 + ๐‘) = 0)
3 ax-1ne0 11127 . . . . . 6 1 โ‰  0
4 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = 0 โ†’ (1 + ๐‘) = (1 + 0))
54eqeq1d 2739 . . . . . . . . 9 (๐‘ = 0 โ†’ ((1 + ๐‘) = 0 โ†” (1 + 0) = 0))
65biimpcd 249 . . . . . . . 8 ((1 + ๐‘) = 0 โ†’ (๐‘ = 0 โ†’ (1 + 0) = 0))
7 oveq2 7370 . . . . . . . . 9 ((1 + 0) = 0 โ†’ (((i ยท i) ยท (i ยท i)) ยท (1 + 0)) = (((i ยท i) ยท (i ยท i)) ยท 0))
8 ax-icn 11117 . . . . . . . . . . . . . . 15 i โˆˆ โ„‚
98, 8mulcli 11169 . . . . . . . . . . . . . 14 (i ยท i) โˆˆ โ„‚
109, 9mulcli 11169 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ยท i) ยท (i ยท i)) โˆˆ โ„‚
11 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„‚
12 0cn 11154 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„‚
1310, 11, 12adddii 11174 . . . . . . . . . . . 12 (((i ยท i) ยท (i ยท i)) ยท (1 + 0)) = ((((i ยท i) ยท (i ยท i)) ยท 1) + (((i ยท i) ยท (i ยท i)) ยท 0))
1410mulid1i 11166 . . . . . . . . . . . . 13 (((i ยท i) ยท (i ยท i)) ยท 1) = ((i ยท i) ยท (i ยท i))
15 mul01 11341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((i ยท i) ยท (i ยท i)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((i ยท i) ยท (i ยท i)) ยท 0) = 0)
1610, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i ยท i) ยท (i ยท i)) ยท 0) = 0
17 ax-i2m1 11126 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ยท i) + 1) = 0
1816, 17eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . 13 (((i ยท i) ยท (i ยท i)) ยท 0) = ((i ยท i) + 1)
1914, 18oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . 12 ((((i ยท i) ยท (i ยท i)) ยท 1) + (((i ยท i) ยท (i ยท i)) ยท 0)) = (((i ยท i) ยท (i ยท i)) + ((i ยท i) + 1))
2013, 19eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 (((i ยท i) ยท (i ยท i)) ยท (1 + 0)) = (((i ยท i) ยท (i ยท i)) + ((i ยท i) + 1))
2120, 16eqeq12i 2755 . . . . . . . . . 10 ((((i ยท i) ยท (i ยท i)) ยท (1 + 0)) = (((i ยท i) ยท (i ยท i)) ยท 0) โ†” (((i ยท i) ยท (i ยท i)) + ((i ยท i) + 1)) = 0)
2210, 9, 11addassi 11172 . . . . . . . . . . . 12 ((((i ยท i) ยท (i ยท i)) + (i ยท i)) + 1) = (((i ยท i) ยท (i ยท i)) + ((i ยท i) + 1))
239mulid1i 11166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ยท i) ยท 1) = (i ยท i)
2423oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i ยท i) ยท (i ยท i)) + ((i ยท i) ยท 1)) = (((i ยท i) ยท (i ยท i)) + (i ยท i))
259, 9, 11adddii 11174 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ยท i) ยท ((i ยท i) + 1)) = (((i ยท i) ยท (i ยท i)) + ((i ยท i) ยท 1))
2617oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ยท i) ยท ((i ยท i) + 1)) = ((i ยท i) ยท 0)
27 mul01 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ยท i) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท i) ยท 0) = 0)
289, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ยท i) ยท 0) = 0
2926, 28eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ยท i) ยท ((i ยท i) + 1)) = 0
3025, 29eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i ยท i) ยท (i ยท i)) + ((i ยท i) ยท 1)) = 0
3124, 30eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (((i ยท i) ยท (i ยท i)) + (i ยท i)) = 0
3231oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((((i ยท i) ยท (i ยท i)) + (i ยท i)) + 1) = (0 + 1)
3322, 32eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . 11 (((i ยท i) ยท (i ยท i)) + ((i ยท i) + 1)) = (0 + 1)
34 00id 11337 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 0) = 0
3534eqcomi 2746 . . . . . . . . . . 11 0 = (0 + 0)
3633, 35eqeq12i 2755 . . . . . . . . . 10 ((((i ยท i) ยท (i ยท i)) + ((i ยท i) + 1)) = 0 โ†” (0 + 1) = (0 + 0))
37 0re 11164 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„
38 readdcan 11336 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((0 + 1) = (0 + 0) โ†” 1 = 0))
391, 37, 37, 38mp3an 1462 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1) = (0 + 0) โ†” 1 = 0)
4021, 36, 393bitri 297 . . . . . . . . 9 ((((i ยท i) ยท (i ยท i)) ยท (1 + 0)) = (((i ยท i) ยท (i ยท i)) ยท 0) โ†” 1 = 0)
417, 40sylib 217 . . . . . . . 8 ((1 + 0) = 0 โ†’ 1 = 0)
426, 41syl6 35 . . . . . . 7 ((1 + ๐‘) = 0 โ†’ (๐‘ = 0 โ†’ 1 = 0))
4342necon3d 2965 . . . . . 6 ((1 + ๐‘) = 0 โ†’ (1 โ‰  0 โ†’ ๐‘ โ‰  0))
443, 43mpi 20 . . . . 5 ((1 + ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ โ‰  0)
45 ax-rrecex 11130 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)
4644, 45sylan2 594 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)
47 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
48 simplrl 776 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
4948recnd 11190 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
5047, 49mulcld 11182 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
51 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5251recnd 11190 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5312a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
5450, 52, 53adddid 11186 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) ยท (๐‘ + 0)) = (((๐ด ยท ๐‘ฅ) ยท ๐‘) + ((๐ด ยท ๐‘ฅ) ยท 0)))
5511a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5655, 52, 53addassd 11184 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + ๐‘) + 0) = (1 + (๐‘ + 0)))
57 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + ๐‘) = 0)
5857oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + ๐‘) + 0) = (0 + 0))
5956, 58eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (๐‘ + 0)) = (0 + 0))
6034, 59, 573eqtr4a 2803 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (๐‘ + 0)) = (1 + ๐‘))
6137a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
6251, 61readdcld 11191 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ + 0) โˆˆ โ„)
631a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
64 readdcan 11336 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ + 0) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((1 + (๐‘ + 0)) = (1 + ๐‘) โ†” (๐‘ + 0) = ๐‘))
6562, 51, 63, 64syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + (๐‘ + 0)) = (1 + ๐‘) โ†” (๐‘ + 0) = ๐‘))
6660, 65mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ + 0) = ๐‘)
6766oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) ยท (๐‘ + 0)) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) ยท ๐‘))
6854, 67eqtr3d 2779 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘ฅ) ยท ๐‘) + ((๐ด ยท ๐‘ฅ) ยท 0)) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) ยท ๐‘))
69 mul31 11329 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) ยท ๐‘) = ((๐‘ ยท ๐‘ฅ) ยท ๐ด))
7047, 49, 52, 69syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) ยท ๐‘) = ((๐‘ ยท ๐‘ฅ) ยท ๐ด))
71 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)
7271oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘ฅ) ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด))
7347mulid2d 11180 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
7470, 72, 733eqtrd 2781 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) ยท ๐‘) = ๐ด)
75 mul01 11341 . . . . . . . . 9 ((๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) ยท 0) = 0)
7650, 75syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) ยท 0) = 0)
7774, 76oveq12d 7380 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘ฅ) ยท ๐‘) + ((๐ด ยท ๐‘ฅ) ยท 0)) = (๐ด + 0))
7868, 77, 743eqtr3d 2785 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + 0) = ๐ด)
7978exp42 437 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1 โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด + 0) = ๐ด))))
8079rexlimdv 3151 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ ยท ๐‘ฅ) = 1 โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด + 0) = ๐ด)))
8146, 80mpd 15 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 + ๐‘) = 0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด + 0) = ๐ด))
8281rexlimiva 3145 . 2 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ (1 + ๐‘) = 0 โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด + 0) = ๐ด))
831, 2, 82mp2b 10 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด + 0) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆƒwrex 3074  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201
This theorem is referenced by:  cnegex  11343  addid2  11345  addcan2  11347  addid1i  11349  addid1d  11362  subid  11427  subid1  11428  addid0  11581  swrdccat3blem  14634  shftval3  14968  reim0  15010  isercolllem3  15558  fsumcvg  15604  summolem2a  15607  risefac1  15923  cnaddid  19655  ovolicc1  24896  addsqnreup  26807  brbtwn2  27896  axsegconlem1  27908  ax5seglem4  27923  axeuclid  27954  axcontlem2  27956  axcontlem4  27958  2xp3dxp2ge1d  40643  factwoffsmonot  40644  stoweidlem26  44341  2zrngamnd  46313  aacllem  47322
  Copyright terms: Public domain W3C validator