MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addid1d 10829
Description: 0 is an additive identity. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
addid1d (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Proof of Theorem addid1d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 addid1 10809 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2111  (class class class)co 7135  cc 10524  0cc0 10526   + caddc 10529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669
This theorem is referenced by:  ltaddneg  10844  subsub2  10903  negsub  10923  ltaddpos  11119  addge01  11139  add20  11141  nnge1  11653  nnnn0addcl  11915  un0addcl  11918  uzaddcl  12292  xaddid1  12622  fzosubel3  13093  expadd  13467  faclbnd4lem4  13652  faclbnd6  13655  hashgadd  13734  ccatrid  13932  pfxmpt  14031  pfxfv  14035  pfxswrd  14059  pfxccatin12lem1  14081  pfxccatin12lem2  14084  swrdccat3blem  14092  cshweqrep  14174  relexpaddg  14404  reim0b  14470  rereb  14471  immul2  14488  max0add  14662  iseraltlem2  15031  fsumsplit  15089  sumsplit  15115  binomfallfaclem2  15386  pwp1fsum  15732  bitsinv1lem  15780  sadadd2lem2  15789  sadcaddlem  15796  bezoutlem1  15877  pcadd  16215  pcadd2  16216  pcmpt  16218  vdwapun  16300  vdwlem1  16307  mulgnn0dir  18249  psgnunilem2  18615  sylow1lem1  18715  efginvrel2  18845  efgredleme  18861  efgcpbllemb  18873  frgpnabllem1  18986  regsumfsum  20159  regsumsupp  20311  mplcoe5  20708  xrsxmet  23414  reparphti  23602  minveclem6  24038  ovolunnul  24104  voliunlem3  24156  ovolioo  24172  itg2splitlem  24352  itg2split  24353  itgrevallem1  24398  itgsplitioo  24441  ditgsplit  24464  dvnadd  24532  dvlipcn  24597  ply1divex  24737  dvntaylp  24966  ulmshft  24985  abelthlem6  25031  cosmpi  25081  sinppi  25082  sinhalfpip  25085  logrnaddcl  25166  affineequiv  25409  chordthmlem3  25420  atanlogaddlem  25499  atanlogsublem  25501  leibpi  25528  scvxcvx  25571  dmgmn0  25611  lgamgulmlem2  25615  lgambdd  25622  logexprlim  25809  2sqblem  26015  2sq2  26017  2sqnn  26023  dchrvmasum2if  26081  dchrvmasumlem  26107  axcontlem8  26765  elntg2  26779  crctcshlem4  27606  eupth2lem3lem6  28018  ipidsq  28493  minvecolem6  28665  normpyc  28929  pjspansn  29360  lnfnmuli  29827  hstoh  30015  archirngz  30868  indsumin  31391  esumpfinvallem  31443  signsvtp  31963  signlem0  31967  fsum2dsub  31988  cvxpconn  32602  cvxsconn  32603  elmrsubrn  32880  faclim2  33093  fwddifn0  33738  fwddifnp1  33739  dnizeq0  33927  knoppndvlem6  33969  bj-bary1lem  34724  poimirlem1  35058  poimirlem5  35062  poimirlem6  35063  poimirlem7  35064  poimirlem11  35068  poimirlem12  35069  poimirlem17  35074  poimirlem20  35077  poimirlem22  35079  poimirlem24  35081  poimirlem25  35082  poimirlem29  35086  poimirlem31  35088  mblfinlem2  35095  mbfposadd  35104  itg2addnc  35111  itgaddnclem2  35116  ftc1anclem5  35134  ftc1anclem8  35137  areacirc  35150  lcmineqlem4  39320  lcmineqlem18  39334  metakunt29  39376  metakunt30  39377  3cubeslem2  39624  3cubeslem3r  39626  pell1qrgaplem  39812  jm2.19lem3  39930  jm2.25  39938  relexpaddss  40417  int-add01d  40888  binomcxplemnn0  41051  fperiodmullem  41933  xralrple3  42004  sumnnodd  42270  fprodaddrecnncnvlem  42549  ioodvbdlimc1lem2  42572  volioc  42612  volico  42623  stoweidlem11  42651  stoweidlem26  42666  stirlinglem12  42725  fourierdlem4  42751  fourierdlem42  42789  fourierdlem60  42806  fourierdlem61  42807  fourierdlem92  42838  fourierdlem107  42853  fouriersw  42871  etransclem24  42898  etransclem35  42909  hoidmvlelem2  43233  hspmbllem1  43263  sharhght  43477  deccarry  43866  nn0mnd  44437  altgsumbcALT  44753  itcovalpclem1  45082  eenglngeehlnmlem2  45150  line2y  45167  itschlc0xyqsol1  45178  itschlc0xyqsol  45179  2itscp  45193
  Copyright terms: Public domain W3C validator