MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addid1i 10426
Description: 0 is an additive identity. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
addid1i (𝐴 + 0) = 𝐴

Proof of Theorem addid1i
StepHypRef Expression
1 mul.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 addid1 10419 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
31, 2ax-mp 5 1 (𝐴 + 0) = 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6794  cc 10137  0cc0 10139   + caddc 10142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-ov 6797  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-ltxr 10282
This theorem is referenced by:  1p0e1  11336  9p1e10  11699  num0u  11711  numnncl2  11727  dec10OLD  11758  decrmanc  11778  decaddi  11781  decaddci  11782  decmul1  11787  decmul1OLD  11788  decmulnc  11793  fsumrelem  14747  bpoly4  14997  demoivreALT  15138  decexp2  15987  decsplit0  15993  decsplit0OLD  15997  37prm  16036  43prm  16037  139prm  16039  163prm  16040  317prm  16041  631prm  16042  1259lem2  16047  1259lem3  16048  1259lem4  16049  1259lem5  16050  2503lem1  16052  2503lem2  16053  2503lem3  16054  4001lem1  16056  4001lem2  16057  4001lem3  16058  4001lem4  16059  sinhalfpilem  24437  efipi  24447  asin1  24843  log2ublem3  24897  log2ub  24898  birthday  24903  emcllem6  24949  lgam1  25012  ip2i  28024  pythi  28046  normlem6  28313  normpythi  28340  normpari  28352  pjneli  28923  dp20u  29926  1mhdrd  29965  ballotth  30940  hgt750lemd  31067  hgt750lem2  31071  dirkertrigeqlem3  40835  fourierdlem103  40944  fourierdlem104  40945  fouriersw  40966  257prm  42002  fmtno4nprmfac193  42015  fmtno5faclem3  42022  fmtno5fac  42023  139prmALT  42040  127prm  42044  m11nprm  42047
  Copyright terms: Public domain W3C validator