MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addid1i 11339
Description: 0 is an additive identity. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
addid1i (𝐴 + 0) = 𝐴

Proof of Theorem addid1i
StepHypRef Expression
1 mul.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 addid1 11332 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
31, 2ax-mp 5 1 (𝐴 + 0) = 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7354  cc 11046  0cc0 11048   + caddc 11051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7357  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-ltxr 11191
This theorem is referenced by:  1p0e1  12274  9p1e10  12617  num0u  12626  numnncl2  12638  decrmanc  12672  decaddi  12675  decaddci  12676  decmul1  12679  decmulnc  12682  fsumrelem  15689  bpoly4  15939  demoivreALT  16080  decexp2  16944  decsplit0  16950  37prm  16990  43prm  16991  139prm  16993  163prm  16994  317prm  16995  631prm  16996  1259lem2  17001  1259lem3  17002  1259lem4  17003  1259lem5  17004  2503lem1  17006  2503lem2  17007  2503lem3  17008  4001lem1  17010  4001lem2  17011  4001lem3  17012  4001lem4  17013  sinhalfpilem  25816  efipi  25826  asin1  26240  log2ublem3  26294  log2ub  26295  emcllem6  26346  lgam1  26409  ip2i  29668  pythi  29690  normlem6  29955  normpythi  29982  normpari  29994  pjneli  30563  dp20u  31629  1mhdrd  31667  ballotth  33028  hgt750lemd  33152  hgt750lem2  33156  420gcd8e4  40452  60lcm7e420  40456  420lcm8e840  40457  3lexlogpow5ineq1  40500  3lexlogpow5ineq5  40506  dirkertrigeqlem3  44311  fourierdlem103  44420  fourierdlem104  44421  fouriersw  44442  257prm  45723  fmtno4nprmfac193  45736  fmtno5faclem3  45743  fmtno5fac  45744  139prmALT  45758  127prm  45761  m11nprm  45763
  Copyright terms: Public domain W3C validator