MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addid1i 10482
Description: 0 is an additive identity. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
addid1i (𝐴 + 0) = 𝐴

Proof of Theorem addid1i
StepHypRef Expression
1 mul.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 addid1 10475 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
31, 2ax-mp 5 1 (𝐴 + 0) = 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1652  wcel 2155  (class class class)co 6846  cc 10191  0cc0 10193   + caddc 10196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-po 5200  df-so 5201  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6849  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-ltxr 10337
This theorem is referenced by:  1p0e1  11408  9p1e10  11748  num0u  11757  numnncl2  11770  decrmanc  11804  decaddi  11807  decaddci  11808  decmul1  11811  decmul1OLD  11812  decmulnc  11815  fsumrelem  14839  bpoly4  15088  demoivreALT  15229  decexp2  16074  decsplit0  16080  37prm  16117  43prm  16118  139prm  16120  163prm  16121  317prm  16122  631prm  16123  1259lem2  16128  1259lem3  16129  1259lem4  16130  1259lem5  16131  2503lem1  16133  2503lem2  16134  2503lem3  16135  4001lem1  16137  4001lem2  16138  4001lem3  16139  4001lem4  16140  sinhalfpilem  24523  efipi  24533  asin1  24928  log2ublem3  24982  log2ub  24983  birthday  24988  emcllem6  25034  lgam1  25097  ip2i  28162  pythi  28184  normlem6  28451  normpythi  28478  normpari  28490  pjneli  29061  dp20u  30056  1mhdrd  30094  ballotth  31070  hgt750lemd  31200  hgt750lem2  31204  dirkertrigeqlem3  40980  fourierdlem103  41089  fourierdlem104  41090  fouriersw  41111  257prm  42175  fmtno4nprmfac193  42188  fmtno5faclem3  42195  fmtno5fac  42196  139prmALT  42213  127prm  42217  m11nprm  42220
  Copyright terms: Public domain W3C validator