MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isercolllem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isercolllem3 15551
Description: Lemma for isercoll 15552. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
isercoll.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isercoll.g (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑍)
isercoll.i ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
isercoll.0 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑍 ∖ ran 𝐺)) → (𝐹𝑛) = 0)
isercoll.f ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
isercoll.h ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
isercolllem3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq1( + , 𝐻)‘(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝑁,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝑘,𝐺,𝑛   𝑘,𝐻,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝑛,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem isercolllem3
StepHypRef Expression
1 addid2 11338 . . 3 (𝑛 ∈ ℂ → (0 + 𝑛) = 𝑛)
21adantl 482 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (0 + 𝑛) = 𝑛)
3 addid1 11335 . . 3 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 + 0) = 𝑛)
43adantl 482 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑛 + 0) = 𝑛)
5 addcl 11133 . . 3 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑘) ∈ ℂ)
65adantl 482 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑘) ∈ ℂ)
7 0cnd 11148 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 0 ∈ ℂ)
8 cnvimass 6033 . . . . 5 (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ dom 𝐺
9 isercoll.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑍)
109adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
118, 10fssdm 6688 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℕ)
12 isercoll.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
13 isercoll.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 isercoll.i . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
1512, 13, 9, 14isercolllem1 15549 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℕ) → (𝐺 ↾ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) Isom < , < ((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
1611, 15syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 ↾ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) Isom < , < ((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
1712, 13, 9, 14isercolllem2 15550 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))) = (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
18 isoeq4 7265 . . . 4 ((1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))) = (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) → ((𝐺 ↾ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) Isom < , < ((1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))), (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) ↔ (𝐺 ↾ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) Isom < , < ((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))))
1917, 18syl 17 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → ((𝐺 ↾ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) Isom < , < ((1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))), (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) ↔ (𝐺 ↾ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) Isom < , < ((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))))
2016, 19mpbird 256 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 ↾ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) Isom < , < ((1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))), (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
218a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ dom 𝐺)
22 sseqin2 4175 . . . . 5 ((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ dom 𝐺 ↔ (dom 𝐺 ∩ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
2321, 22sylib 217 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (dom 𝐺 ∩ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
24 1nn 12164 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 1 ∈ ℕ)
26 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ℕ⟶𝑍 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐺‘1) ∈ 𝑍)
279, 24, 26sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘1) ∈ 𝑍)
2827, 12eleqtrdi 2848 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺‘1) ∈ (ℤ𝑀))
2928adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺‘1) ∈ (ℤ𝑀))
30 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1)))
31 elfzuzb 13435 . . . . . . 7 ((𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝐺‘1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))))
3229, 30, 31sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁))
33 ffn 6668 . . . . . . 7 (𝐺:ℕ⟶𝑍𝐺 Fn ℕ)
34 elpreima 7008 . . . . . . 7 (𝐺 Fn ℕ → (1 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (1 ∈ ℕ ∧ (𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁))))
3510, 33, 343syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (1 ∈ ℕ ∧ (𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁))))
3625, 32, 35mpbir2and 711 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 1 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
3736ne0d 4295 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≠ ∅)
3823, 37eqnetrd 3011 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (dom 𝐺 ∩ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ≠ ∅)
39 imadisj 6032 . . . 4 ((𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = ∅ ↔ (dom 𝐺 ∩ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = ∅)
4039necon3bii 2996 . . 3 ((𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐺 ∩ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ≠ ∅)
4138, 40sylibr 233 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ≠ ∅)
42 ffun 6671 . . . 4 (𝐺:ℕ⟶𝑍 → Fun 𝐺)
43 funimacnv 6582 . . . 4 (Fun 𝐺 → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺))
4410, 42, 433syl 18 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺))
45 inss1 4188 . . 3 ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺) ⊆ (𝑀...𝑁)
4644, 45eqsstrdi 3998 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ⊆ (𝑀...𝑁))
47 simpl 483 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝜑)
48 elfzuz 13437 . . . 4 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
4948, 12eleqtrrdi 2849 . . 3 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛𝑍)
50 isercoll.f . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
5147, 49, 50syl2an 596 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
5244difeq2d 4082 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → ((𝑀...𝑁) ∖ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) = ((𝑀...𝑁) ∖ ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺)))
53 difin 4221 . . . . . 6 ((𝑀...𝑁) ∖ ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺)) = ((𝑀...𝑁) ∖ ran 𝐺)
5452, 53eqtrdi 2792 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → ((𝑀...𝑁) ∖ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) = ((𝑀...𝑁) ∖ ran 𝐺))
5549ssriv 3948 . . . . . 6 (𝑀...𝑁) ⊆ 𝑍
56 ssdif 4099 . . . . . 6 ((𝑀...𝑁) ⊆ 𝑍 → ((𝑀...𝑁) ∖ ran 𝐺) ⊆ (𝑍 ∖ ran 𝐺))
5755, 56mp1i 13 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → ((𝑀...𝑁) ∖ ran 𝐺) ⊆ (𝑍 ∖ ran 𝐺))
5854, 57eqsstrd 3982 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → ((𝑀...𝑁) ∖ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) ⊆ (𝑍 ∖ ran 𝐺))
5958sselda 3944 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑀...𝑁) ∖ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))) → 𝑛 ∈ (𝑍 ∖ ran 𝐺))
60 isercoll.0 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑍 ∖ ran 𝐺)) → (𝐹𝑛) = 0)
6160adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑛 ∈ (𝑍 ∖ ran 𝐺)) → (𝐹𝑛) = 0)
6259, 61syldan 591 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑀...𝑁) ∖ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))) → (𝐹𝑛) = 0)
63 elfznn 13470 . . . 4 (𝑘 ∈ (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))) → 𝑘 ∈ ℕ)
64 isercoll.h . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
6547, 63, 64syl2an 596 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
6617eleq2d 2823 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑘 ∈ (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))) ↔ 𝑘 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
6766biimpa 477 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))) → 𝑘 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
6867fvresd 6862 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))) → ((𝐺 ↾ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))‘𝑘) = (𝐺𝑘))
6968fveq2d 6846 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))) → (𝐹‘((𝐺 ↾ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))‘𝑘)) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
7065, 69eqtr4d 2779 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘((𝐺 ↾ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))‘𝑘)))
712, 4, 6, 7, 20, 41, 46, 51, 62, 70seqcoll2 14364 1 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq1( + , 𝐻)‘(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496   Isom wiso 6497  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cn 12153  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  seqcseq 13906  chash 14230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-hash 14231
This theorem is referenced by:  isercoll  15552
  Copyright terms: Public domain W3C validator