MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isercolllem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isercolllem3 15557
Description: Lemma for isercoll 15558. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
isercoll.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isercoll.g (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑍)
isercoll.i ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
isercoll.0 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑍 ∖ ran 𝐺)) → (𝐹𝑛) = 0)
isercoll.f ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
isercoll.h ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
isercolllem3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq1( + , 𝐻)‘(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝑁,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝑘,𝐺,𝑛   𝑘,𝐻,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝑛,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem isercolllem3
StepHypRef Expression
1 addid2 11343 . . 3 (𝑛 ∈ ℂ → (0 + 𝑛) = 𝑛)
21adantl 483 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (0 + 𝑛) = 𝑛)
3 addid1 11340 . . 3 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 + 0) = 𝑛)
43adantl 483 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑛 + 0) = 𝑛)
5 addcl 11138 . . 3 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑘) ∈ ℂ)
65adantl 483 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑘) ∈ ℂ)
7 0cnd 11153 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 0 ∈ ℂ)
8 cnvimass 6034 . . . . 5 (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ dom 𝐺
9 isercoll.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑍)
109adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
118, 10fssdm 6689 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℕ)
12 isercoll.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
13 isercoll.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 isercoll.i . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
1512, 13, 9, 14isercolllem1 15555 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ ℕ) → (𝐺 ↾ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) Isom < , < ((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
1611, 15syldan 592 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 ↾ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) Isom < , < ((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
1712, 13, 9, 14isercolllem2 15556 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))) = (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
18 isoeq4 7266 . . . 4 ((1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))) = (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) → ((𝐺 ↾ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) Isom < , < ((1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))), (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) ↔ (𝐺 ↾ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) Isom < , < ((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))))
1917, 18syl 17 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → ((𝐺 ↾ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) Isom < , < ((1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))), (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) ↔ (𝐺 ↾ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) Isom < , < ((𝐺 “ (𝑀...𝑁)), (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))))
2016, 19mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 ↾ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) Isom < , < ((1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))), (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))
218a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ dom 𝐺)
22 sseqin2 4176 . . . . 5 ((𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ⊆ dom 𝐺 ↔ (dom 𝐺 ∩ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
2321, 22sylib 217 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (dom 𝐺 ∩ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
24 1nn 12169 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 1 ∈ ℕ)
26 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ℕ⟶𝑍 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐺‘1) ∈ 𝑍)
279, 24, 26sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘1) ∈ 𝑍)
2827, 12eleqtrdi 2844 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺‘1) ∈ (ℤ𝑀))
2928adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺‘1) ∈ (ℤ𝑀))
30 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1)))
31 elfzuzb 13441 . . . . . . 7 ((𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝐺‘1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))))
3229, 30, 31sylanbrc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁))
33 ffn 6669 . . . . . . 7 (𝐺:ℕ⟶𝑍𝐺 Fn ℕ)
34 elpreima 7009 . . . . . . 7 (𝐺 Fn ℕ → (1 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (1 ∈ ℕ ∧ (𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁))))
3510, 33, 343syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (1 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ↔ (1 ∈ ℕ ∧ (𝐺‘1) ∈ (𝑀...𝑁))))
3625, 32, 35mpbir2and 712 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 1 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
3736ne0d 4296 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝑀...𝑁)) ≠ ∅)
3823, 37eqnetrd 3008 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (dom 𝐺 ∩ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ≠ ∅)
39 imadisj 6033 . . . 4 ((𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = ∅ ↔ (dom 𝐺 ∩ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = ∅)
4039necon3bii 2993 . . 3 ((𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐺 ∩ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ≠ ∅)
4138, 40sylibr 233 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ≠ ∅)
42 ffun 6672 . . . 4 (𝐺:ℕ⟶𝑍 → Fun 𝐺)
43 funimacnv 6583 . . . 4 (Fun 𝐺 → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺))
4410, 42, 433syl 18 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) = ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺))
45 inss1 4189 . . 3 ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺) ⊆ (𝑀...𝑁)
4644, 45eqsstrdi 3999 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))) ⊆ (𝑀...𝑁))
47 simpl 484 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → 𝜑)
48 elfzuz 13443 . . . 4 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
4948, 12eleqtrrdi 2845 . . 3 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛𝑍)
50 isercoll.f . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
5147, 49, 50syl2an 597 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
5244difeq2d 4083 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → ((𝑀...𝑁) ∖ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) = ((𝑀...𝑁) ∖ ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺)))
53 difin 4222 . . . . . 6 ((𝑀...𝑁) ∖ ((𝑀...𝑁) ∩ ran 𝐺)) = ((𝑀...𝑁) ∖ ran 𝐺)
5452, 53eqtrdi 2789 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → ((𝑀...𝑁) ∖ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) = ((𝑀...𝑁) ∖ ran 𝐺))
5549ssriv 3949 . . . . . 6 (𝑀...𝑁) ⊆ 𝑍
56 ssdif 4100 . . . . . 6 ((𝑀...𝑁) ⊆ 𝑍 → ((𝑀...𝑁) ∖ ran 𝐺) ⊆ (𝑍 ∖ ran 𝐺))
5755, 56mp1i 13 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → ((𝑀...𝑁) ∖ ran 𝐺) ⊆ (𝑍 ∖ ran 𝐺))
5854, 57eqsstrd 3983 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → ((𝑀...𝑁) ∖ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))) ⊆ (𝑍 ∖ ran 𝐺))
5958sselda 3945 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑀...𝑁) ∖ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))) → 𝑛 ∈ (𝑍 ∖ ran 𝐺))
60 isercoll.0 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑍 ∖ ran 𝐺)) → (𝐹𝑛) = 0)
6160adantlr 714 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑛 ∈ (𝑍 ∖ ran 𝐺)) → (𝐹𝑛) = 0)
6259, 61syldan 592 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑛 ∈ ((𝑀...𝑁) ∖ (𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))) → (𝐹𝑛) = 0)
63 elfznn 13476 . . . 4 (𝑘 ∈ (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))) → 𝑘 ∈ ℕ)
64 isercoll.h . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
6547, 63, 64syl2an 597 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
6617eleq2d 2820 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (𝑘 ∈ (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))) ↔ 𝑘 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))
6766biimpa 478 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))) → 𝑘 ∈ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))
6867fvresd 6863 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))) → ((𝐺 ↾ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))‘𝑘) = (𝐺𝑘))
6968fveq2d 6847 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))) → (𝐹‘((𝐺 ↾ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))‘𝑘)) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
7065, 69eqtr4d 2776 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))))) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘((𝐺 ↾ (𝐺 “ (𝑀...𝑁)))‘𝑘)))
712, 4, 6, 7, 20, 41, 46, 51, 62, 70seqcoll2 14370 1 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐺‘1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq1( + , 𝐻)‘(♯‘(𝐺 “ (𝐺 “ (𝑀...𝑁))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  cdif 3908  cin 3910  wss 3911  c0 4283   class class class wbr 5106  ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635  cres 5636  cima 5637  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  wf 6493  cfv 6497   Isom wiso 6498  (class class class)co 7358  cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194  cn 12158  cz 12504  cuz 12768  ...cfz 13430  seqcseq 13912  chash 14236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-seq 13913  df-hash 14237
This theorem is referenced by:  isercoll  15558
  Copyright terms: Public domain W3C validator