Theorem archiexdiv 33251

Description: In an Archimedean group, given two positive elements, there exists a "divisor" 𝑛. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiexdiv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiexdiv.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiexdiv.i	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiexdiv.x	⊢ · = (.g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
archiexdiv	⊢ (((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑊 ∈ Archi) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑌 < (𝑛 · 𝑋))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌   0 ,𝑛   < ,𝑛   · ,𝑛

Proof of Theorem archiexdiv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		archiexdiv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		archiexdiv.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		archiexdiv.i	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝑊)
4		archiexdiv.x	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	isarchi3 33248	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥))))
6	5	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑊 ∈ Archi) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥)))
7	6	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑊 ∈ Archi) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥)))
8		simp3 1139	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑊 ∈ Archi) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑋) → 0 < 𝑋)
9		breq2 5089	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ( 0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑋))
10		oveq2 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑛 · 𝑋))
11	10	breq2d 5097	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 < (𝑛 · 𝑥) ↔ 𝑦 < (𝑛 · 𝑋)))
12	11	rexbidv 3161	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑋)))
13	9, 12	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑋))))
14		breq1 5088	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 < (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑌 < (𝑛 · 𝑋)))
15	14	rexbidv 3161	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑋) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑌 < (𝑛 · 𝑋)))
16	15	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (( 0 < 𝑋 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑋)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑌 < (𝑛 · 𝑋))))
17	13, 16	rspc2v 3575	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥)) → ( 0 < 𝑋 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑌 < (𝑛 · 𝑋))))
18	17	3ad2ant2 1135	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑊 ∈ Archi) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥)) → ( 0 < 𝑋 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑌 < (𝑛 · 𝑋))))
19	7, 8, 18	mp2d 49	1 ⊢ (((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑊 ∈ Archi) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑌 < (𝑛 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℕcn 12174  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  ltcplt 18274  ._gcmg 19043  oGrpcogrp 20095  Archicarchi 33238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-seq 13964  df-0g 17404  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-toset 18381  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-mulg 19044  df-omnd 20096  df-ogrp 20097  df-inftm 33239  df-archi 33240

This theorem is referenced by: (None)