Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiexdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem archiexdiv 32607
Description: In an Archimedean group, given two positive elements, there exists a "divisor" ๐‘›. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiexdiv.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Š)
archiexdiv.0 0 = (0gโ€˜๐‘Š)
archiexdiv.i < = (ltโ€˜๐‘Š)
archiexdiv.x ยท = (.gโ€˜๐‘Š)
Assertion
Ref Expression
archiexdiv (((๐‘Š โˆˆ oGrp โˆง ๐‘Š โˆˆ Archi) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง 0 < ๐‘‹) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘Œ < (๐‘› ยท ๐‘‹))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘›   ๐‘›,๐‘Š   ๐‘›,๐‘‹   ๐‘›,๐‘Œ   0 ,๐‘›   < ,๐‘›   ยท ,๐‘›

Proof of Theorem archiexdiv
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 archiexdiv.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Š)
2 archiexdiv.0 . . . . 5 0 = (0gโ€˜๐‘Š)
3 archiexdiv.i . . . . 5 < = (ltโ€˜๐‘Š)
4 archiexdiv.x . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐‘Š)
51, 2, 3, 4isarchi3 32604 . . . 4 (๐‘Š โˆˆ oGrp โ†’ (๐‘Š โˆˆ Archi โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ( 0 < ๐‘ฅ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฆ < (๐‘› ยท ๐‘ฅ))))
65biimpa 476 . . 3 ((๐‘Š โˆˆ oGrp โˆง ๐‘Š โˆˆ Archi) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ( 0 < ๐‘ฅ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฆ < (๐‘› ยท ๐‘ฅ)))
763ad2ant1 1132 . 2 (((๐‘Š โˆˆ oGrp โˆง ๐‘Š โˆˆ Archi) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง 0 < ๐‘‹) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ( 0 < ๐‘ฅ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฆ < (๐‘› ยท ๐‘ฅ)))
8 simp3 1137 . 2 (((๐‘Š โˆˆ oGrp โˆง ๐‘Š โˆˆ Archi) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง 0 < ๐‘‹) โ†’ 0 < ๐‘‹)
9 breq2 5152 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ( 0 < ๐‘ฅ โ†” 0 < ๐‘‹))
10 oveq2 7420 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘› ยท ๐‘ฅ) = (๐‘› ยท ๐‘‹))
1110breq2d 5160 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฆ < (๐‘› ยท ๐‘ฅ) โ†” ๐‘ฆ < (๐‘› ยท ๐‘‹)))
1211rexbidv 3177 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฆ < (๐‘› ยท ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฆ < (๐‘› ยท ๐‘‹)))
139, 12imbi12d 344 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (( 0 < ๐‘ฅ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฆ < (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) โ†” ( 0 < ๐‘‹ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฆ < (๐‘› ยท ๐‘‹))))
14 breq1 5151 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฆ < (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†” ๐‘Œ < (๐‘› ยท ๐‘‹)))
1514rexbidv 3177 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฆ < (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘Œ < (๐‘› ยท ๐‘‹)))
1615imbi2d 340 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (( 0 < ๐‘‹ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฆ < (๐‘› ยท ๐‘‹)) โ†” ( 0 < ๐‘‹ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘Œ < (๐‘› ยท ๐‘‹))))
1713, 16rspc2v 3622 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ( 0 < ๐‘ฅ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฆ < (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) โ†’ ( 0 < ๐‘‹ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘Œ < (๐‘› ยท ๐‘‹))))
18173ad2ant2 1133 . 2 (((๐‘Š โˆˆ oGrp โˆง ๐‘Š โˆˆ Archi) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง 0 < ๐‘‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ( 0 < ๐‘ฅ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘ฆ < (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) โ†’ ( 0 < ๐‘‹ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘Œ < (๐‘› ยท ๐‘‹))))
197, 8, 18mp2d 49 1 (((๐‘Š โˆˆ oGrp โˆง ๐‘Š โˆˆ Archi) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง 0 < ๐‘‹) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ๐‘Œ < (๐‘› ยท ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3060  โˆƒwrex 3069   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„•cn 12217  Basecbs 17149  0gc0g 17390  ltcplt 18266  .gcmg 18987  oGrpcogrp 32487  Archicarchi 32594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-seq 13972  df-0g 17392  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-toset 18375  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-mulg 18988  df-omnd 32488  df-ogrp 32489  df-inftm 32595  df-archi 32596
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator