Theorem archiexdiv 33266

Description: In an Archimedean group, given two positive elements, there exists a "divisor" 𝑛. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiexdiv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiexdiv.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiexdiv.i	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiexdiv.x	⊢ · = (.g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
archiexdiv	⊢ (((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑊 ∈ Archi) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑌 < (𝑛 · 𝑋))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌   0 ,𝑛   < ,𝑛   · ,𝑛

Proof of Theorem archiexdiv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		archiexdiv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		archiexdiv.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		archiexdiv.i	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝑊)
4		archiexdiv.x	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	isarchi3 33263	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥))))
6	5	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑊 ∈ Archi) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥)))
7	6	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑊 ∈ Archi) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥)))
8		simp3 1139	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑊 ∈ Archi) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑋) → 0 < 𝑋)
9		breq2 5090	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ( 0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑋))
10		oveq2 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑛 · 𝑋))
11	10	breq2d 5098	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 < (𝑛 · 𝑥) ↔ 𝑦 < (𝑛 · 𝑋)))
12	11	rexbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑋)))
13	9, 12	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑋))))
14		breq1 5089	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 < (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑌 < (𝑛 · 𝑋)))
15	14	rexbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑋) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑌 < (𝑛 · 𝑋)))
16	15	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (( 0 < 𝑋 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑋)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑌 < (𝑛 · 𝑋))))
17	13, 16	rspc2v 3576	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥)) → ( 0 < 𝑋 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑌 < (𝑛 · 𝑋))))
18	17	3ad2ant2 1135	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑊 ∈ Archi) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥)) → ( 0 < 𝑋 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑌 < (𝑛 · 𝑋))))
19	7, 8, 18	mp2d 49	1 ⊢ (((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑊 ∈ Archi) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑌 < (𝑛 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℕcn 12165  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  ltcplt 18265  ._gcmg 19034  oGrpcogrp 20086  Archicarchi 33253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-seq 13955  df-0g 17395  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-toset 18372  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035  df-omnd 20087  df-ogrp 20088  df-inftm 33254  df-archi 33255

This theorem is referenced by: (None)