Theorem archiexdiv 31346

Description: In an Archimedean group, given two positive elements, there exists a "divisor" 𝑛. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiexdiv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiexdiv.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiexdiv.i	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiexdiv.x	⊢ · = (.g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
archiexdiv	⊢ (((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑊 ∈ Archi) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑌 < (𝑛 · 𝑋))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌   0 ,𝑛   < ,𝑛   · ,𝑛

Proof of Theorem archiexdiv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		archiexdiv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		archiexdiv.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		archiexdiv.i	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝑊)
4		archiexdiv.x	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	isarchi3 31343	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥))))
6	5	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑊 ∈ Archi) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥)))
7	6	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑊 ∈ Archi) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥)))
8		simp3 1136	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑊 ∈ Archi) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑋) → 0 < 𝑋)
9		breq2 5074	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ( 0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑋))
10		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑛 · 𝑋))
11	10	breq2d 5082	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 < (𝑛 · 𝑥) ↔ 𝑦 < (𝑛 · 𝑋)))
12	11	rexbidv 3225	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑋)))
13	9, 12	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑋))))
14		breq1 5073	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 < (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑌 < (𝑛 · 𝑋)))
15	14	rexbidv 3225	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑋) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑌 < (𝑛 · 𝑋)))
16	15	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (( 0 < 𝑋 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑋)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑌 < (𝑛 · 𝑋))))
17	13, 16	rspc2v 3562	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥)) → ( 0 < 𝑋 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑌 < (𝑛 · 𝑋))))
18	17	3ad2ant2 1132	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑊 ∈ Archi) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥)) → ( 0 < 𝑋 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑌 < (𝑛 · 𝑋))))
19	7, 8, 18	mp2d 49	1 ⊢ (((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑊 ∈ Archi) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑌 < (𝑛 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℕcn 11903  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  ltcplt 17941  ._gcmg 18615  oGrpcogrp 31226  Archicarchi 31333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650  df-0g 17069  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-toset 18050  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-omnd 31227  df-ogrp 31228  df-inftm 31334  df-archi 31335

This theorem is referenced by: (None)