Theorem ballotlemfelz 35171

Description: (𝐹‘𝐶) has values in ℤ. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotlemfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑂)
ballotlemfval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfelz	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶)‘𝐽) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝐽   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑐)   𝐶(𝑥, 𝑐)   𝑃(𝑥, 𝑖, 𝑐)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥, 𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotth.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotth.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5		ballotth.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		ballotlemfval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑂)
7		ballotlemfval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ballotlemfval 35170	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶)‘𝐽) = ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))))
9		fzfi 14120	. . . . . 6 ⊢ (1...𝐽) ∈ Fin
10		inss1 4132	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)
11		ssfi 9193	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝐽) ∈ Fin ∧ ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)) → ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ∈ Fin)
12	9, 10, 11	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ∈ Fin
13		hashcl 14505	. . . . 5 ⊢ (((1...𝐽) ∩ 𝐶) ∈ Fin → (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℕ0)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℕ0
15	14	nn0zi 12726	. . 3 ⊢ (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℤ
16		difss 4071	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)
17		ssfi 9193	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝐽) ∈ Fin ∧ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)) → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin)
18	9, 16, 17	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin
19		hashcl 14505	. . . . 5 ⊢ (((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin → (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℕ0)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℕ0
21	20	nn0zi 12726	. . 3 ⊢ (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℤ
22		zsubcl 12743	. . 3 ⊢ (((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℤ ∧ (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℤ) → ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) ∈ ℤ)
23	15, 21, 22	mp2an 705	. 2 ⊢ ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) ∈ ℤ
24	8, 23	eqeltrdi 2868	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶)‘𝐽) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   ∩ cin 4088  𝒫 cpw 4556   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Fincfn 8978  1c1 11206   + caddc 11208   − cmin 11546   / cdiv 11978  ℕcn 12340  ℕ₀cn0 12611  ℤcz 12698  ...cfz 13644  ♯chash 14479

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-hash 14480

This theorem is used by:  ballotlemfc0  35173  ballotlemfcc  35174  ballotlemodife  35178  ballotlemic  35187  ballotlem1c  35188  ballotlemfrceq  35209  ballotlemfrcn0  35210