Theorem ballotlemfelz 34163

Description: (𝐹‘𝐶) has values in ℤ. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotlemfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑂)
ballotlemfval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfelz	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶)‘𝐽) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝐽   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑐)   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotth.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotth.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5		ballotth.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		ballotlemfval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑂)
7		ballotlemfval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ballotlemfval 34162	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶)‘𝐽) = ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))))
9		fzfi 13964	. . . . . 6 ⊢ (1...𝐽) ∈ Fin
10		inss1 4224	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)
11		ssfi 9191	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝐽) ∈ Fin ∧ ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)) → ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ∈ Fin)
12	9, 10, 11	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ∈ Fin
13		hashcl 14342	. . . . 5 ⊢ (((1...𝐽) ∩ 𝐶) ∈ Fin → (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℕ0)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℕ0
15	14	nn0zi 12612	. . 3 ⊢ (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℤ
16		difss 4125	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)
17		ssfi 9191	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝐽) ∈ Fin ∧ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)) → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin)
18	9, 16, 17	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin
19		hashcl 14342	. . . . 5 ⊢ (((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin → (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℕ0)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℕ0
21	20	nn0zi 12612	. . 3 ⊢ (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℤ
22		zsubcl 12629	. . 3 ⊢ (((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℤ ∧ (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℤ) → ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) ∈ ℤ)
23	15, 21, 22	mp2an 690	. 2 ⊢ ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) ∈ ℤ
24	8, 23	eqeltrdi 2833	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶)‘𝐽) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419   ∖ cdif 3938   ∩ cin 3940   ⊆ wss 3941  𝒫 cpw 4599   ↦ cmpt 5227  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  Fincfn 8957  1c1 11134   + caddc 11136   − cmin 11469   / cdiv 11896  ℕcn 12237  ℕ₀cn0 12497  ℤcz 12583  ...cfz 13511  ♯chash 14316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-hash 14317

This theorem is referenced by:  ballotlemfc0  34165  ballotlemfcc  34166  ballotlemodife  34170  ballotlemic  34179  ballotlem1c  34180  ballotlemfrceq  34201  ballotlemfrcn0  34202