Theorem ballotlemfelz 34669

Description: (𝐹‘𝐶) has values in ℤ. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotlemfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑂)
ballotlemfval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfelz	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶)‘𝐽) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝐽   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑐)   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotth.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotth.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5		ballotth.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		ballotlemfval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑂)
7		ballotlemfval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ballotlemfval 34668	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶)‘𝐽) = ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))))
9		fzfi 13907	. . . . . 6 ⊢ (1...𝐽) ∈ Fin
10		inss1 4191	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)
11		ssfi 9109	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝐽) ∈ Fin ∧ ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)) → ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ∈ Fin)
12	9, 10, 11	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ∈ Fin
13		hashcl 14291	. . . . 5 ⊢ (((1...𝐽) ∩ 𝐶) ∈ Fin → (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℕ0)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℕ0
15	14	nn0zi 12528	. . 3 ⊢ (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℤ
16		difss 4090	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)
17		ssfi 9109	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝐽) ∈ Fin ∧ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)) → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin)
18	9, 16, 17	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin
19		hashcl 14291	. . . . 5 ⊢ (((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin → (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℕ0)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℕ0
21	20	nn0zi 12528	. . 3 ⊢ (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℤ
22		zsubcl 12545	. . 3 ⊢ (((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℤ ∧ (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℤ) → ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) ∈ ℤ)
23	15, 21, 22	mp2an 693	. 2 ⊢ ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) ∈ ℤ
24	8, 23	eqeltrdi 2845	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶)‘𝐽) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11376   / cdiv 11806  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ...cfz 13435  ♯chash 14265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266

This theorem is referenced by:  ballotlemfc0  34671  ballotlemfcc  34672  ballotlemodife  34676  ballotlemic  34685  ballotlem1c  34686  ballotlemfrceq  34707  ballotlemfrcn0  34708