Theorem ballotlemfelz 31858

Description: (𝐹‘𝐶) has values in ℤ. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotlemfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑂)
ballotlemfval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfelz	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶)‘𝐽) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝐽   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑐)   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotth.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotth.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5		ballotth.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		ballotlemfval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑂)
7		ballotlemfval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ballotlemfval 31857	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶)‘𝐽) = ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))))
9		fzfi 13335	. . . . . 6 ⊢ (1...𝐽) ∈ Fin
10		inss1 4155	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)
11		ssfi 8722	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝐽) ∈ Fin ∧ ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)) → ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ∈ Fin)
12	9, 10, 11	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ∈ Fin
13		hashcl 13713	. . . . 5 ⊢ (((1...𝐽) ∩ 𝐶) ∈ Fin → (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℕ0)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℕ0
15	14	nn0zi 11995	. . 3 ⊢ (♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℤ
16		difss 4059	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)
17		ssfi 8722	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝐽) ∈ Fin ∧ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)) → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin)
18	9, 16, 17	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin
19		hashcl 13713	. . . . 5 ⊢ (((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin → (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℕ0)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℕ0
21	20	nn0zi 11995	. . 3 ⊢ (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℤ
22		zsubcl 12012	. . 3 ⊢ (((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℤ ∧ (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℤ) → ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) ∈ ℤ)
23	15, 21, 22	mp2an 691	. 2 ⊢ ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) ∈ ℤ
24	8, 23	eqeltrdi 2898	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶)‘𝐽) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110   ∖ cdif 3878   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  1c1 10527   + caddc 10529   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ...cfz 12885  ♯chash 13686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687

This theorem is referenced by:  ballotlemfc0  31860  ballotlemfcc  31861  ballotlemodife  31865  ballotlemic  31874  ballotlem1c  31875  ballotlemfrceq  31896  ballotlemfrcn0  31897