Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemic 34488
Description: If the first vote is for B, the vote on the first tie is for A. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
ballotlemic ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑐,𝐸   𝑖,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemic
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . 3 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . 3 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . 3 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 eldifi 4141 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 𝐶𝑂)
76ad2antrr 726 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 𝐶𝑂)
8 ballotth.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
9 ballotth.mgtn . . . . . . . . . 10 𝑁 < 𝑀
10 ballotth.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
111, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemiex 34483 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
1211simpld 494 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
13 elfznn 13590 . . . . . . . 8 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼𝐶) ∈ ℕ)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℕ)
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ∈ ℕ)
161, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemi1 34484 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ≠ 1)
17 eluz2b3 12962 . . . . . 6 ((𝐼𝐶) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐼𝐶) ∈ ℕ ∧ (𝐼𝐶) ≠ 1))
1815, 16, 17sylanbrc 583 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ∈ (ℤ‘2))
19 uz2m1nn 12963 . . . . 5 ((𝐼𝐶) ∈ (ℤ‘2) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ)
2120adantr 480 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ)
22 elnnuz 12920 . . . . . . 7 (((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝐼𝐶) − 1) ∈ (ℤ‘1))
2322biimpi 216 . . . . . 6 (((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ (ℤ‘1))
24 eluzfz1 13568 . . . . . 6 (((𝐼𝐶) − 1) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)))
2520, 23, 243syl 18 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → 1 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)))
2625adantr 480 . . . 4 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 1 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)))
27 1nn 12275 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ∈ ℕ)
291, 2, 3, 4, 5, 6, 28ballotlemfp1 34473 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1)) ∧ (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1))))
3029simpld 494 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
3130imp 406 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
32 1m1e0 12336 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
3332fveq2i 6910 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) = ((𝐹𝐶)‘0)
3433oveq1i 7441 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1) = (((𝐹𝐶)‘0) − 1)
3534a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1) = (((𝐹𝐶)‘0) − 1))
361, 2, 3, 4, 5ballotlemfval0 34477 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
376, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
3837adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
3938oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹𝐶)‘0) − 1) = (0 − 1))
4031, 35, 393eqtrrd 2780 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (0 − 1) = ((𝐹𝐶)‘1))
41 0le1 11784 . . . . . . 7 0 ≤ 1
42 0re 11261 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
43 1re 11259 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
44 suble0 11775 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((0 − 1) ≤ 0 ↔ 0 ≤ 1))
4542, 43, 44mp2an 692 . . . . . . 7 ((0 − 1) ≤ 0 ↔ 0 ≤ 1)
4641, 45mpbir 231 . . . . . 6 (0 − 1) ≤ 0
4740, 46eqbrtrrdi 5188 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘1) ≤ 0)
4847adantr 480 . . . 4 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘1) ≤ 0)
49 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → ((𝐹𝐶)‘𝑖) = ((𝐹𝐶)‘1))
5049breq1d 5158 . . . . 5 (𝑖 = 1 → (((𝐹𝐶)‘𝑖) ≤ 0 ↔ ((𝐹𝐶)‘1) ≤ 0))
5150rspcev 3622 . . . 4 ((1 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) ∧ ((𝐹𝐶)‘1) ≤ 0) → ∃𝑖 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑖) ≤ 0)
5226, 48, 51syl2anc 584 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ∃𝑖 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑖) ≤ 0)
53 0lt1 11783 . . . . 5 0 < 1
54 1p0e1 12388 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
551, 2, 3, 4, 5, 6, 14ballotlemfp1 34473 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) − 1)) ∧ ((𝐼𝐶) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) + 1))))
5655simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) − 1)))
5756imp 406 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) − 1))
5811simprd 495 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0)
5958adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0)
6057, 59eqtr3d 2777 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) − 1) = 0)
616adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 𝐶𝑂)
6214nnzd 12638 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
6362adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
64 1zzd 12646 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 1 ∈ ℤ)
6563, 64zsubcld 12725 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℤ)
661, 2, 3, 4, 5, 61, 65ballotlemfelz 34472 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) ∈ ℤ)
6766zcnd 12721 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) ∈ ℂ)
68 1cnd 11254 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 1 ∈ ℂ)
69 0cnd 11252 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 0 ∈ ℂ)
7067, 68, 69subaddd 11636 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) − 1) = 0 ↔ (1 + 0) = ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1))))
7160, 70mpbid 232 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → (1 + 0) = ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)))
7254, 71eqtr3id 2789 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 1 = ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)))
7353, 72breqtrid 5185 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 0 < ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)))
7473adantlr 715 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 0 < ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)))
751, 2, 3, 4, 5, 7, 21, 52, 74ballotlemfc0 34474 . 2 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
761, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemimin 34487 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ¬ ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
7776ad2antrr 726 . 2 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ¬ ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
7875, 77condan 818 1 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  cdif 3960  cin 3962  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  infcinf 9479  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  chash 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367
This theorem is referenced by:  ballotlem7  34517
  Copyright terms: Public domain W3C validator