Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemic 31085
Description: If the first vote is for B, the vote on the first tie is for A. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
ballotlemic ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑐,𝐸   𝑖,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemic
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . 3 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . 3 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . 3 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 eldifi 3930 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 𝐶𝑂)
76ad2antrr 718 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 𝐶𝑂)
8 ballotth.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
9 ballotth.mgtn . . . . . . . . . 10 𝑁 < 𝑀
10 ballotth.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
111, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemiex 31080 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
1211simpld 489 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
13 elfznn 12624 . . . . . . . 8 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼𝐶) ∈ ℕ)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℕ)
1514adantr 473 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ∈ ℕ)
161, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemi1 31081 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ≠ 1)
17 eluz2b3 12007 . . . . . 6 ((𝐼𝐶) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐼𝐶) ∈ ℕ ∧ (𝐼𝐶) ≠ 1))
1815, 16, 17sylanbrc 579 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ∈ (ℤ‘2))
19 uz2m1nn 12008 . . . . 5 ((𝐼𝐶) ∈ (ℤ‘2) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ)
2120adantr 473 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ)
22 elnnuz 11968 . . . . . . 7 (((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝐼𝐶) − 1) ∈ (ℤ‘1))
2322biimpi 208 . . . . . 6 (((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ (ℤ‘1))
24 eluzfz1 12602 . . . . . 6 (((𝐼𝐶) − 1) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)))
2520, 23, 243syl 18 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → 1 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)))
2625adantr 473 . . . 4 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 1 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)))
27 1nn 11325 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ∈ ℕ)
291, 2, 3, 4, 5, 6, 28ballotlemfp1 31070 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1)) ∧ (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1))))
3029simpld 489 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
3130imp 396 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
32 1m1e0 11385 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
3332fveq2i 6414 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) = ((𝐹𝐶)‘0)
3433oveq1i 6888 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1) = (((𝐹𝐶)‘0) − 1)
3534a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1) = (((𝐹𝐶)‘0) − 1))
361, 2, 3, 4, 5ballotlemfval0 31074 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
376, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
3837adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
3938oveq1d 6893 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹𝐶)‘0) − 1) = (0 − 1))
4031, 35, 393eqtrrd 2838 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (0 − 1) = ((𝐹𝐶)‘1))
41 0le1 10843 . . . . . . 7 0 ≤ 1
42 0re 10330 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
43 1re 10328 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
44 suble0 10834 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((0 − 1) ≤ 0 ↔ 0 ≤ 1))
4542, 43, 44mp2an 684 . . . . . . 7 ((0 − 1) ≤ 0 ↔ 0 ≤ 1)
4641, 45mpbir 223 . . . . . 6 (0 − 1) ≤ 0
4740, 46syl6eqbrr 4883 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘1) ≤ 0)
4847adantr 473 . . . 4 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘1) ≤ 0)
49 fveq2 6411 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → ((𝐹𝐶)‘𝑖) = ((𝐹𝐶)‘1))
5049breq1d 4853 . . . . 5 (𝑖 = 1 → (((𝐹𝐶)‘𝑖) ≤ 0 ↔ ((𝐹𝐶)‘1) ≤ 0))
5150rspcev 3497 . . . 4 ((1 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) ∧ ((𝐹𝐶)‘1) ≤ 0) → ∃𝑖 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑖) ≤ 0)
5226, 48, 51syl2anc 580 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ∃𝑖 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑖) ≤ 0)
53 0lt1 10842 . . . . 5 0 < 1
54 1p0e1 11444 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
551, 2, 3, 4, 5, 6, 14ballotlemfp1 31070 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) − 1)) ∧ ((𝐼𝐶) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) + 1))))
5655simpld 489 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) − 1)))
5756imp 396 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) − 1))
5811simprd 490 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0)
5958adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0)
6057, 59eqtr3d 2835 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) − 1) = 0)
616adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 𝐶𝑂)
6214nnzd 11771 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
6362adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
64 1zzd 11698 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 1 ∈ ℤ)
6563, 64zsubcld 11777 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℤ)
661, 2, 3, 4, 5, 61, 65ballotlemfelz 31069 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) ∈ ℤ)
6766zcnd 11773 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) ∈ ℂ)
68 1cnd 10323 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 1 ∈ ℂ)
69 0cnd 10321 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 0 ∈ ℂ)
7067, 68, 69subaddd 10702 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) − 1) = 0 ↔ (1 + 0) = ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1))))
7160, 70mpbid 224 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → (1 + 0) = ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)))
7254, 71syl5eqr 2847 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 1 = ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)))
7353, 72syl5breq 4880 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 0 < ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)))
7473adantlr 707 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 0 < ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)))
751, 2, 3, 4, 5, 7, 21, 52, 74ballotlemfc0 31071 . 2 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
761, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemimin 31084 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ¬ ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
7776ad2antrr 718 . 2 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ¬ ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
7875, 77condan 853 1 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wral 3089  wrex 3090  {crab 3093  cdif 3766  cin 3768  𝒫 cpw 4349   class class class wbr 4843  cmpt 4922  cfv 6101  (class class class)co 6878  infcinf 8589  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   < clt 10363  cle 10364  cmin 10556   / cdiv 10976  cn 11312  2c2 11368  cz 11666  cuz 11930  ...cfz 12580  chash 13370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-hash 13371
This theorem is referenced by:  ballotlem7  31114
  Copyright terms: Public domain W3C validator