Theorem ballotlemrinv 35166

Description: 𝑅 is its own inverse : it is an involution. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn	⊢ 𝑁 < 𝑀
ballotth.i	⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s	⊢ 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼‘𝑐), (((𝐼‘𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
ballotth.r	⊢ 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ ((𝑆‘𝑐) “ 𝑐))

Assertion

Ref	Expression
ballotlemrinv	⊢ ◡𝑅 = 𝑅

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐   𝑆,𝑘,𝑖,𝑐   𝑅,𝑖,𝑘   𝑥,𝑐,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁,𝑖,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥, 𝑖, 𝑘, 𝑐)   𝑅(𝑥, 𝑐)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemrinv

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotth.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotth.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5		ballotth.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		ballotth.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
7		ballotth.mgtn	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 < 𝑀
8		ballotth.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
9		ballotth.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼‘𝑐), (((𝐼‘𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
10		ballotth.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ ((𝑆‘𝑐) “ 𝑐))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ballotlemrinv0 35165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝑑 = ((𝑆‘𝑐) “ 𝑐)) → (𝑑 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝑐 = ((𝑆‘𝑑) “ 𝑑)))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ballotlemrinv0 35165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝑐 = ((𝑆‘𝑑) “ 𝑑)) → (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝑑 = ((𝑆‘𝑐) “ 𝑐)))
13	11, 12	impbii 212	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝑑 = ((𝑆‘𝑐) “ 𝑐)) ↔ (𝑑 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝑐 = ((𝑆‘𝑑) “ 𝑑)))
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝑑 = ((𝑆‘𝑐) “ 𝑐)) ↔ (𝑑 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝑐 = ((𝑆‘𝑑) “ 𝑑))))
15	14	mptcnv 6132	. . . 4 ⊢ (⊤ → ◡(𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ ((𝑆‘𝑐) “ 𝑐)) = (𝑑 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ ((𝑆‘𝑑) “ 𝑑)))
16	15	mptru 1577	. . 3 ⊢ ◡(𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ ((𝑆‘𝑐) “ 𝑐)) = (𝑑 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ ((𝑆‘𝑑) “ 𝑑))
17		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → (𝑆‘𝑑) = (𝑆‘𝑐))
18		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → 𝑑 = 𝑐)
19	17, 18	imaeq12d 6053	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝑐 → ((𝑆‘𝑑) “ 𝑑) = ((𝑆‘𝑐) “ 𝑐))
20	19	cbvmptv 5209	. . 3 ⊢ (𝑑 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ ((𝑆‘𝑑) “ 𝑑)) = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ ((𝑆‘𝑐) “ 𝑐))
21	16, 20	eqtri 2784	. 2 ⊢ ◡(𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ ((𝑆‘𝑐) “ 𝑐)) = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ ((𝑆‘𝑐) “ 𝑐))
22	10	cnveqi 5852	. 2 ⊢ ◡𝑅 = ◡(𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ ((𝑆‘𝑐) “ 𝑐))
23	21, 22, 10	3eqtr4i 2794	1 ⊢ ◡𝑅 = 𝑅

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {crab 3413   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898  ifcif 4482  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  infcinf 9433  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   / cdiv 11973  ℕcn 12335  ℤcz 12693  ...cfz 13639  ♯chash 14474

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-hash 14475

This theorem is used by:  ballotlem7  35168