Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemrinv 33463
Description: 𝑅 is its own inverse : it is an involution. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
ballotth.r 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
Assertion
Ref Expression
ballotlemrinv 𝑅 = 𝑅
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐   𝑆,𝑘,𝑖,𝑐   𝑅,𝑖,𝑘   𝑥,𝑐,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁,𝑖,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑐)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemrinv
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . . . . . . 8 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 ballotth.e . . . . . . . 8 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
7 ballotth.mgtn . . . . . . . 8 𝑁 < 𝑀
8 ballotth.i . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
9 ballotth.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
10 ballotth.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlemrinv0 33462 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑑 = ((𝑆𝑐) “ 𝑐)) → (𝑑 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑐 = ((𝑆𝑑) “ 𝑑)))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlemrinv0 33462 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑐 = ((𝑆𝑑) “ 𝑑)) → (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑑 = ((𝑆𝑐) “ 𝑐)))
1311, 12impbii 208 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑑 = ((𝑆𝑐) “ 𝑐)) ↔ (𝑑 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑐 = ((𝑆𝑑) “ 𝑑)))
1413a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ((𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑑 = ((𝑆𝑐) “ 𝑐)) ↔ (𝑑 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑐 = ((𝑆𝑑) “ 𝑑))))
1514mptcnv 6131 . . . 4 (⊤ → (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐)) = (𝑑 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑑) “ 𝑑)))
1615mptru 1549 . . 3 (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐)) = (𝑑 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑑) “ 𝑑))
17 fveq2 6881 . . . . 5 (𝑑 = 𝑐 → (𝑆𝑑) = (𝑆𝑐))
18 id 22 . . . . 5 (𝑑 = 𝑐𝑑 = 𝑐)
1917, 18imaeq12d 6053 . . . 4 (𝑑 = 𝑐 → ((𝑆𝑑) “ 𝑑) = ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
2019cbvmptv 5257 . . 3 (𝑑 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑑) “ 𝑑)) = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
2116, 20eqtri 2761 . 2 (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐)) = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
2210cnveqi 5869 . 2 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
2321, 22, 103eqtr4i 2771 1 𝑅 = 𝑅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2107  wral 3062  {crab 3433  cdif 3943  cin 3945  ifcif 4524  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5144  cmpt 5227  ccnv 5671  cima 5675  cfv 6535  (class class class)co 7396  infcinf 9423  cr 11096  0cc0 11097  1c1 11098   + caddc 11100   < clt 11235  cle 11236  cmin 11431   / cdiv 11858  cn 12199  cz 12545  ...cfz 13471  chash 14277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9424  df-inf 9425  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12962  df-fz 13472  df-hash 14278
This theorem is referenced by:  ballotlem7  33465
  Copyright terms: Public domain W3C validator