Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemrinv 32800
Description: 𝑅 is its own inverse : it is an involution. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
ballotth.r 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
Assertion
Ref Expression
ballotlemrinv 𝑅 = 𝑅
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐   𝑆,𝑘,𝑖,𝑐   𝑅,𝑖,𝑘   𝑥,𝑐,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁,𝑖,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑐)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemrinv
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . . . . . . 8 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 ballotth.e . . . . . . . 8 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
7 ballotth.mgtn . . . . . . . 8 𝑁 < 𝑀
8 ballotth.i . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
9 ballotth.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
10 ballotth.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlemrinv0 32799 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑑 = ((𝑆𝑐) “ 𝑐)) → (𝑑 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑐 = ((𝑆𝑑) “ 𝑑)))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlemrinv0 32799 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑐 = ((𝑆𝑑) “ 𝑑)) → (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑑 = ((𝑆𝑐) “ 𝑐)))
1311, 12impbii 208 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑑 = ((𝑆𝑐) “ 𝑐)) ↔ (𝑑 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑐 = ((𝑆𝑑) “ 𝑑)))
1413a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ((𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑑 = ((𝑆𝑐) “ 𝑐)) ↔ (𝑑 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑐 = ((𝑆𝑑) “ 𝑑))))
1514mptcnv 6078 . . . 4 (⊤ → (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐)) = (𝑑 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑑) “ 𝑑)))
1615mptru 1547 . . 3 (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐)) = (𝑑 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑑) “ 𝑑))
17 fveq2 6825 . . . . 5 (𝑑 = 𝑐 → (𝑆𝑑) = (𝑆𝑐))
18 id 22 . . . . 5 (𝑑 = 𝑐𝑑 = 𝑐)
1917, 18imaeq12d 6000 . . . 4 (𝑑 = 𝑐 → ((𝑆𝑑) “ 𝑑) = ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
2019cbvmptv 5205 . . 3 (𝑑 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑑) “ 𝑑)) = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
2116, 20eqtri 2764 . 2 (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐)) = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
2210cnveqi 5816 . 2 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
2321, 22, 103eqtr4i 2774 1 𝑅 = 𝑅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2105  wral 3061  {crab 3403  cdif 3895  cin 3897  ifcif 4473  𝒫 cpw 4547   class class class wbr 5092  cmpt 5175  ccnv 5619  cima 5623  cfv 6479  (class class class)co 7337  infcinf 9298  cr 10971  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975   < clt 11110  cle 11111  cmin 11306   / cdiv 11733  cn 12074  cz 12420  ...cfz 13340  chash 14145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-oadd 8371  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-inf 9300  df-dju 9758  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-fz 13341  df-hash 14146
This theorem is referenced by:  ballotlem7  32802
  Copyright terms: Public domain W3C validator