Theorem catchom 18160

Description: Set of arrows of the category of categories (in a universe). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
catcbas.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catcbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
catcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
catchomfval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
catchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
catchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
catchom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝑋 Func 𝑌))

Proof of Theorem catchom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcbas.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
2		catcbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		catcbas.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		catchomfval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
5	1, 2, 3, 4	catchomfval 18159	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 Func 𝑦)))
6		oveq12 7420	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑥 Func 𝑦) = (𝑋 Func 𝑌))
7	6	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑥 Func 𝑦) = (𝑋 Func 𝑌))
8		catchom.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		catchom.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		ovexd 7446	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 Func 𝑌) ∈ V)
11	5, 7, 8, 9, 10	ovmpod 7563	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝑋 Func 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  Hom chom 17321   Func cfunc 17911  CatCatccatc 18155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-hom 17334  df-cco 17335  df-catc 18156

This theorem is referenced by:  catccatid  18163  resscatc  18166  catcisolem  18167  catciso  18168  elcatchom  50060  termcterm  50176  termc2  50181