Theorem catchom 17989

Description: Set of arrows of the category of categories (in a universe). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
catcbas.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catcbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
catcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
catchomfval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
catchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
catchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
catchom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝑋 Func 𝑌))

Proof of Theorem catchom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcbas.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
2		catcbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		catcbas.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		catchomfval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
5	1, 2, 3, 4	catchomfval 17988	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 Func 𝑦)))
6		oveq12 7366	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑥 Func 𝑦) = (𝑋 Func 𝑌))
7	6	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑥 Func 𝑦) = (𝑋 Func 𝑌))
8		catchom.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		catchom.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		ovexd 7392	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 Func 𝑌) ∈ V)
11	5, 7, 8, 9, 10	ovmpod 7507	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝑋 Func 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  Hom chom 17144   Func cfunc 17740  CatCatccatc 17984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-hom 17157  df-cco 17158  df-catc 17985

This theorem is referenced by:  catccatid  17992  resscatc  17995  catcisolem  17996  catciso  17997