Theorem termcterm 50590

Description: A terminal category is a terminal object of the category of small categories. (Contributed by Zhi Wang, 17-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
termcterm.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
termcterm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
termcterm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
termcterm.t	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)

Assertion

Ref	Expression
termcterm	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸))

Proof of Theorem termcterm

Dummy variables 𝑑 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝑑 ∈ (Base‘𝐸))
2		termcterm.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
3		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
4		termcterm.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
5	2, 3, 4	catcbas 18269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
6	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
7	1, 6	eleqtrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
8	7	elin2d 4151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝑑 ∈ Cat)
9		termcterm.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝐶 ∈ TermCat)
11	8, 10	functermceu 50587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶))
12	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
13		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
14		termcterm.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
15	9	termccatd 50556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
16	14, 15	elind 4146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
17	16, 5	eleqtrrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
18	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
19	2, 3, 12, 13, 1, 18	catchom 18271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶) = (𝑑 Func 𝐶))
20	19	eleq2d 2847	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → (𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶) ↔ 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶)))
21	20	eubidv 2612	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶) ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶)))
22	11, 21	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶))
23	22	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ (Base‘𝐸)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶))
24	2	catccat 18276	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐸 ∈ Cat)
25	4, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
26	3, 13, 25, 17	istermo 18165	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (TermO‘𝐸) ↔ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝐸)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶)))
27	23, 26	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2594  ∀wral 3077   ∩ cin 3898  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  Hom chom 17432  Catccat 17831   Func cfunc 18022  TermOctermo 18150  CatCatccatc 18266  TermCatctermc 50549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-hom 17445  df-cco 17446  df-cat 17835  df-cid 17836  df-func 18026  df-idfu 18027  df-cofu 18028  df-termo 18153  df-catc 18267  df-thinc 50495  df-termc 50550

This theorem is used by:  termcterm2  50591  termcterm3  50592  termcciso  50593  termccisoeu  50594