Theorem termcterm 49545

Description: A terminal category is a terminal object of the category of small categories. (Contributed by Zhi Wang, 17-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
termcterm.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
termcterm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
termcterm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
termcterm.t	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)

Assertion

Ref	Expression
termcterm	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸))

Proof of Theorem termcterm

Dummy variables 𝑑 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝑑 ∈ (Base‘𝐸))
2		termcterm.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
3		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
4		termcterm.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
5	2, 3, 4	catcbas 18003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
7	1, 6	eleqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
8	7	elin2d 4150	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝑑 ∈ Cat)
9		termcterm.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝐶 ∈ TermCat)
11	8, 10	functermceu 49542	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶))
12	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
13		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
14		termcterm.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
15	9	termccd 49511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
16	14, 15	elind 4145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
17	16, 5	eleqtrrd 2834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
19	2, 3, 12, 13, 1, 18	catchom 18005	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶) = (𝑑 Func 𝐶))
20	19	eleq2d 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → (𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶) ↔ 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶)))
21	20	eubidv 2581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶) ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶)))
22	11, 21	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶))
23	22	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ (Base‘𝐸)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶))
24	2	catccat 18010	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐸 ∈ Cat)
25	4, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
26	3, 13, 25, 17	istermo 17899	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (TermO‘𝐸) ↔ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝐸)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶)))
27	23, 26	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃!weu 2563  ∀wral 3047   ∩ cin 3896  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  Hom chom 17167  Catccat 17565   Func cfunc 17756  TermOctermo 17884  CatCatccatc 18000  TermCatctermc 49504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-hom 17180  df-cco 17181  df-cat 17569  df-cid 17570  df-func 17760  df-idfu 17761  df-cofu 17762  df-termo 17887  df-catc 18001  df-thinc 49450  df-termc 49505

This theorem is referenced by:  termcterm2  49546  termcterm3  49547  termcciso  49548  termccisoeu  49549