Theorem termcterm 50979

Description: A terminal category is a terminal object of the category of small categories. (Contributed by Zhi Wang, 17-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
termcterm.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
termcterm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
termcterm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
termcterm.t	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)

Assertion

Ref	Expression
termcterm	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸))

Proof of Theorem termcterm

Dummy variables 𝑑 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝑑 ∈ (Base‘𝐸))
2		termcterm.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
3		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
4		termcterm.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
5	2, 3, 4	catcbas 18326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
6	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
7	1, 6	eleqtrd 2866	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
8	7	elin2d 4105	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝑑 ∈ Cat)
9		termcterm.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝐶 ∈ TermCat)
11	8, 10	functermceu 50976	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶))
12	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
13		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
14		termcterm.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
15	9	termccatd 50945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
16	14, 15	elind 4100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
17	16, 5	eleqtrrd 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
18	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
19	2, 3, 12, 13, 1, 18	catchom 18328	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶) = (𝑑 Func 𝐶))
20	19	eleq2d 2850	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → (𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶) ↔ 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶)))
21	20	eubidv 2614	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶) ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶)))
22	11, 21	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶))
23	22	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ (Base‘𝐸)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶))
24	2	catccat 18333	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐸 ∈ Cat)
25	4, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
26	3, 13, 25, 17	istermo 18222	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (TermO‘𝐸) ↔ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝐸)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶)))
27	23, 26	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃!weu 2596  ∀wral 3080   ∩ cin 4092  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  Hom chom 17483  Catccat 17888   Func cfunc 18079  TermOctermo 18207  CatCatccatc 18323  TermCatctermc 50938

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-hom 17497  df-cco 17498  df-cat 17892  df-cid 17893  df-func 18083  df-idfu 18084  df-cofu 18085  df-termo 18210  df-catc 18324  df-thinc 50884  df-termc 50939

This theorem is used by:  termcterm2  50980  termcterm3  50981  termcciso  50982  termccisoeu  50983