Theorem termcterm 49674

Description: A terminal category is a terminal object of the category of small categories. (Contributed by Zhi Wang, 17-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
termcterm.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
termcterm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
termcterm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
termcterm.t	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)

Assertion

Ref	Expression
termcterm	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸))

Proof of Theorem termcterm

Dummy variables 𝑑 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝑑 ∈ (Base‘𝐸))
2		termcterm.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
3		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
4		termcterm.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
5	2, 3, 4	catcbas 18016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
7	1, 6	eleqtrd 2835	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
8	7	elin2d 4154	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝑑 ∈ Cat)
9		termcterm.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝐶 ∈ TermCat)
11	8, 10	functermceu 49671	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶))
12	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
13		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
14		termcterm.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
15	9	termccd 49640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
16	14, 15	elind 4149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
17	16, 5	eleqtrrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
19	2, 3, 12, 13, 1, 18	catchom 18018	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶) = (𝑑 Func 𝐶))
20	19	eleq2d 2819	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → (𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶) ↔ 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶)))
21	20	eubidv 2583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶) ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶)))
22	11, 21	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶))
23	22	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ (Base‘𝐸)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶))
24	2	catccat 18023	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐸 ∈ Cat)
25	4, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
26	3, 13, 25, 17	istermo 17912	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (TermO‘𝐸) ↔ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝐸)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶)))
27	23, 26	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃!weu 2565  ∀wral 3048   ∩ cin 3897  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17127  Hom chom 17179  Catccat 17578   Func cfunc 17769  TermOctermo 17897  CatCatccatc 18013  TermCatctermc 49633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-struct 17065  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-hom 17192  df-cco 17193  df-cat 17582  df-cid 17583  df-func 17773  df-idfu 17774  df-cofu 17775  df-termo 17900  df-catc 18014  df-thinc 49579  df-termc 49634

This theorem is referenced by:  termcterm2  49675  termcterm3  49676  termcciso  49677  termccisoeu  49678