Theorem termcterm 49118

Description: A terminal category is a terminal object of the category of small categories. (Contributed by Zhi Wang, 17-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
termcterm.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
termcterm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
termcterm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
termcterm.t	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)

Assertion

Ref	Expression
termcterm	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸))

Proof of Theorem termcterm

Dummy variables 𝑑 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝑑 ∈ (Base‘𝐸))
2		termcterm.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
3		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
4		termcterm.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
5	2, 3, 4	catcbas 18142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
7	1, 6	eleqtrd 2842	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
8	7	elin2d 4204	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝑑 ∈ Cat)
9		termcterm.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝐶 ∈ TermCat)
11	8, 10	functermceu 49115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶))
12	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
13		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
14		termcterm.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
15	9	termccd 49099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
16	14, 15	elind 4199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
17	16, 5	eleqtrrd 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
19	2, 3, 12, 13, 1, 18	catchom 18144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶) = (𝑑 Func 𝐶))
20	19	eleq2d 2826	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → (𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶) ↔ 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶)))
21	20	eubidv 2585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶) ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑 Func 𝐶)))
22	11, 21	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝐸)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶))
23	22	ralrimiva 3145	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ (Base‘𝐸)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶))
24	2	catccat 18149	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐸 ∈ Cat)
25	4, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
26	3, 13, 25, 17	istermo 18038	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (TermO‘𝐸) ↔ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝐸)∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑑(Hom ‘𝐸)𝐶)))
27	23, 26	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃!weu 2567  ∀wral 3060   ∩ cin 3949  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  Basecbs 17243  Hom chom 17304  Catccat 17703   Func cfunc 17895  TermOctermo 18023  CatCatccatc 18139  TermCatctermc 49092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-er 8741  df-map 8864  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13544  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-hom 17317  df-cco 17318  df-cat 17707  df-cid 17708  df-func 17899  df-idfu 17900  df-cofu 17901  df-termo 18026  df-catc 18140  df-thinc 49041  df-termc 49093

This theorem is referenced by:  termcterm2  49119  termcterm3  49120